Понятие коллинеарных векторов

Определение: Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

Замечание:Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

 
  Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru Þ Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарные Понятие коллинеарных векторов - student2.ru Þ Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарные

Векторы векторы

Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Необходимый и достаточный признак коллинеарности двух векторов.

Теорема: Для того, чтобы вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru был коллинеарен ненулевому вектору Понятие коллинеарных векторов - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Теорема: Любой вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru может быть представлен и, притом, единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Дано: Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru неколлинеарны;

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru - произвольный вектор плоскости.

Доказать:

1. Понятие коллинеарных векторов - student2.ru существует;

2. Понятие коллинеарных векторов - student2.ru единственным образом.

Доказательство:

1. Докажем, что разложение Понятие коллинеарных векторов - student2.ru существует.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru Пусть Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов Понятие коллинеарных векторов - student2.ru . Значит, верно равенство Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Пусть Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов Понятие коллинеарных векторов - student2.ru . Значит, верно равенство Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

Пусть Понятие коллинеарных векторов - student2.ru неколлинеарен векторам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru ( Понятие коллинеарных векторов - student2.ru ; Понятие коллинеарных векторов - student2.ru ).

Через конец вектора Понятие коллинеарных векторов - student2.ru проведем прямые, параллельные векторам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru . Прямые, которым принадлежат векторы Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru , продолжим до пересечения с построенными прямыми, достраивая параллелограмм ОАМВ.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru ;

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru ; Понятие коллинеарных векторов - student2.ru , что и требовалось доказать.

2. Единственность разложения Понятие коллинеарных векторов - student2.ru доказывается методом от противного.

Замечание:Если Понятие коллинеарных векторов - student2.ru , то говорят, что вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru разложен по векторам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Базис плоскости. Декартова система координат на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

 
  Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

Определение: Базисом плоскости называется пара неколлинеарных векторов этой плоскости, взятых в определенном порядке.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru – базис плоскости, где Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

Определение: Декартовой системой координат на плоскости называется множество, состоящее из точки О и базиса плоскости.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru – декартова система координат на плоскости .

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

О – начало координат;

О х – ось абсцисс;

О у – ось ординат.

Замечание:Любой вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru может быть единственным образом разложен по базисным векторам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru и Понятие коллинеарных векторов - student2.ru : Понятие коллинеарных векторов - student2.ru . Числа х и у называются координатами вектора Понятие коллинеарных векторов - student2.ru в данной декартовой системе координат.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru – прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru .

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат.

Замечание:

1. Базисные векторы Понятие коллинеарных векторов - student2.ru в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

2. Любой вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru может быть единственным образом разложен по ортам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru : Понятие коллинеарных векторов - student2.ru . Числа х и у являются координатами вектора Понятие коллинеарных векторов - student2.ru в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Упражнения:

1. Доказать, что Понятие коллинеарных векторов - student2.ruи Понятие коллинеарных векторов - student2.ruколлинеарны.

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru 2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD , пересекающиеся в точке О. Понятие коллинеарных векторов - student2.ru, Понятие коллинеарных векторов - student2.ru. Выразить через Понятие коллинеарных векторов - student2.ruи Понятие коллинеарных векторов - student2.ruследующие векторы: Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

4. Декартова система координат в пространстве

4. 1. Понятие компланарных векторов

Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.

Замечание:Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Векторы Понятие коллинеарных векторов - student2.ru компланарны, а векторы Понятие коллинеарных векторов - student2.ru компланарными не являются.

4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам

Теорема: Если даны три некомпланарных вектора Понятие коллинеарных векторов - student2.ru , то любой вектор Понятие коллинеарных векторов - student2.ru можно разложить по векторам Понятие коллинеарных векторов - student2.ru единственным образом.

 
  Понятие коллинеарных векторов - student2.ru

Дано: Понятие коллинеарных векторов - student2.ru - некомпланарные векторы;

Понятие коллинеарных векторов - student2.ru - произвольный вектор пространства.

Доказать: 1. Понятие коллинеарных векторов - student2.ru - существует;

2. Понятие коллинеарных векторов - student2.ru - единственное.

Наши рекомендации