Понятие коллинеарных векторов
Определение: Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.
Замечание:Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
![]() |
Þ
и
коллинеарные
Þ
и
коллинеарные
Векторы векторы
Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Необходимый и достаточный признак коллинеарности двух векторов.
Теорема: Для того, чтобы вектор был коллинеарен ненулевому вектору
, необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию
.
Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам
Теорема: Любой вектор может быть представлен и, притом, единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов
и
.
Дано: и
неколлинеарны;
- произвольный вектор плоскости.
Доказать:
1. существует;
2. единственным образом.
Доказательство:
1. Докажем, что разложение существует.
Пусть
и
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов
. Значит, верно равенство
.
Пусть и
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов
. Значит, верно равенство
.
Пусть неколлинеарен векторам
и
(
;
).
Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам
и
. Прямые, которым принадлежат векторы
и
, продолжим до пересечения с построенными прямыми, достраивая параллелограмм ОАМВ.
;
и
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов
.
и
коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов
.
;
, что и требовалось доказать.
2. Единственность разложения доказывается методом от противного.
Замечание:Если , то говорят, что вектор
разложен по векторам
и
.
Базис плоскости. Декартова система координат на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
![]() |
Определение: Базисом плоскости называется пара неколлинеарных векторов этой плоскости, взятых в определенном порядке.
– базис плоскости, где
.
Определение: Декартовой системой координат на плоскости называется множество, состоящее из точки О и базиса плоскости.
– декартова система координат на плоскости .
О – начало координат;
О х – ось абсцисс;
О у – ось ординат.
Замечание:Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам
и
:
. Числа х и у называются координатами вектора
в данной декартовой системе координат.
Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны.
– прямоугольная декартова система координат на плоскости.
.
О – начало координат;
Ох – ось абсцисс;
Оу – ось ординат.
Замечание:
1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.
2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам
:
. Числа х и у являются координатами вектора
в данной прямоугольной декартовой системе координат.
Упражнения:
1. Доказать, что и
коллинеарны.
2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD , пересекающиеся в точке О.
,
. Выразить через
и
следующие векторы:
4. Декартова система координат в пространстве
4. 1. Понятие компланарных векторов
Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Замечание:Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.
Векторы компланарны, а векторы
компланарными не являются.
4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам
Теорема: Если даны три некомпланарных вектора , то любой вектор
можно разложить по векторам
единственным образом.
![]() |
Дано: - некомпланарные векторы;
- произвольный вектор пространства.
Доказать: 1. - существует;
2. - единственное.