Билинейный функционал. Его матрица

Пусть V – линейное вещественное пространство. Если имеется закон, по которому "х, уÎV соответствует некоторое aÎR (числовое поле). Т.е. "х, уÎV ® a = j(х, у)ÎRтакое, что выполняются требования:

– линейность по 1^ому аргументу;

– линейность по 2^ому аргументу,

то говорят, что в линейном пространстве V над полем R задан билинейный функцио­нал или билинейная форма j(х, у).

Пусть – базис в V. Тогда , и тогда

, т.е. , где а_ij =j(е_i, е_j). Матрица называется матрицей билиней­ного функционала (или билинейной формы) в базисе .

Билинейный функционал (форма) называется симметричным, если "х, уÎV j(х, у) = j(у, х) и антисимметричным, если "х, уÎV j(х, у) = –j(у, х).

Естественно, что симметричной билинейной форме соответствует симметричная мат­рица (и наоборот), а антисимметричной билинейной форме соответствует кососимметрич­ная матрица (и наоборот).

1°.Всякая билинейная форма может быть представлена в виде суммы симметрической и антисимметрической билинейных форм. Это представление единственно.

◀ . ▶

Квадратичная форма

Если в билинейной форме j(х, у) положить у = х, то получим частный случай билиней­ной формы – квадратичную форму j(х, х).

Представив билинейную форму j(х, у) в виде суммы симметрической и антисимметри­ческой билинейных форм, получим:

.

Отсюда, ясно, что каждой билинейной форме однозначно ставится в соответствие квадратичная форма (ее матрица симметричная), но не наоборот. Т.е., в общем случае, по имеющейся квадратичной форме нельзя однозначно восстановить билинейную форму, из которой она получена. НО …

2°. Для каждой квадратичной формы существует, и при том только одна, симметричная били­нейная форма, из которой получена данная квадратичная форма. (Эта симметричная били­нейная форма называется полярной к заданной квадратичной форме).

◀ j(х + у, х + у) = j(х, х) + j(у, х) + j(х, у) + j(у, у) если j(х, у) = j(у, х), то

j(х+у, х+у) = j(х, х) + 2j(х, у) + j(у, у), т.е. j(х, у) = {j(х+у, х+у) – j(х, х) – j(у, у)}. ▶

Классификация квадратичных форм

а) Если rangA = n (А – матрица квадратичной формы, n – размерность пространства V), то форма j(х, х) (и форма j(х, у)) называется невырожденной.

б) Форма называется положительно (отрицательно) определенной, если "х ¹ q j(х, х) > 0 (j(х, х) < 0). Такие формы называются знакопостоянными.

в) Если "х ¹ q j(х, х) ³ 0 (или j(х, х) £ 0) то, форма j(х, х) называется квазизнакопостоянной.

г) Если $х ¹ 0 и $у ¹ 0 такое, что j(х, х) > 0 и j(у, у) < 0, то форма j(х, х) называется знако­пе­ременной.

3°. Если форма j(х, у) полярная к форме j(х, х) и j(х, у) положительно определена то j(х, у) – задает в V скалярное произведение.

Доказать самостоятельно.