Связь линейных операторов с матрицами

Пусть А – линейный оператор на V, а базис V. Тогда "хÎV .

= .

Таким образом действие оператора А на "хÎV полностью определяется числами (а_ij) образующими матрицу которая называется матрицей линейного оператора А.

Преобразование, проведенное выше, указывает и способ построения матрицы линейного оператора в заданном базисе. Подействуем линейным оператором на векторы базиса, получившиеся векторы разложим в том же базисе и коэффициенты разложения запишем в соответствующие столбцы матрицы линейного оператора.

1°.В заданном базисе между квадратичными матрицами и линейными операторами существует взаимно однозначное соответствие.

Пример. Найти матрицу линейного оператора в пространстве функций вида {Acos(t + a)} в базисе e₁ = cost, e₂ = sint.

Подействуем оператором А на е_i , полученный вектор разложим в базисе {cost, sint} и координаты этого вектора запишем в i-й столбец: . Тогда . Это и есть матрица линейного оператора .

В самом деле: (3cos(t + 5))¢ = ?

3cos(t+ 5) = 3cos5cost – 3sin5sint = 3cos5e₁ – 3sin5e₂.

Тогда .

у = –3sin5e₁ – 3cos5e₂ = –3sin5cost – 3cos5sint = –3sin(t+ 5).

Закон умножения матриц

Рассмотрим линейный оператор А, который действует из пространства R_n в пространство R_m, а оператор В действует из пространства R_m в пространство R_p. Тогда оператор С = ВА действует из пространства R_n в пространство. Пусть , и – базисы пространств R_n, R_m и R_p соответственно, т.е.

.

Тогда ; ;

Þ , т.е.

2^°. Матрица оператора С = В·А есть произведение матриц оператора В и оператора А.

Ядро и образ линейного оператора

Пусть в линейном пространстве V задан линейный оператор А.

Множество M(A) º {yÎV½у = Ax, xÎV} называется образом линейного оператора А.

Множество N(A) º {xÎV½Ax = 0} называется ядром линейного оператора А.

Пример. Если в трехмерном геометрическом пространстве рассмотреть оператор A проектирования векторов на плоскость xOy , то сама плоскость xOy будет образом линейного оператора, а ось Oz будет ядром этого же оператора.

3°.Образ линейного оператора А есть подпространство.

◀1) Пусть Ax₁ = y₁, Ax₂ = y₂Þ A(ax₁ + bx₂) = ay₁ + by₂, т.е. если y₁, y₂ÎM(A)Þ ay₁ + by₂ÎV.

2) y = Ax = A(x + q_x) = Ax + Aq_x = y + q_y Þ q_y = q т.е. нейтральный элемент переходит в нейтральный. ▶

4°. Ядро линейного оператора А есть подпространство. ◀ ▶

Если N(A) = {q} то оператор А называется невырожденным.

5°. dimM(A) = rangA = r; dimN(A) = n – r; dimV = dimM(A) + dimN(A).

Доказать самостоятельно

Величина (n – r)т.е. размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора.