Некоторые приемы вычисления

определителей n^ГО порядка

1. Метод приведения к треугольному виду.

а) Вычислить определитель: .

Вычитая первую строку из всех остальных, получаем определитель, который имеет треугольный вид и, следовательно, равен произведению диагональных элементов:

. В итоге D_n = (–1)^n–1.

б) Вычислить определитель: .

Вычитаем первую строку из всех остальных, а затем, из столбцов определителя выносим: из первого а₁ – х; из второго а₂ – х; …..; из n ^го а_n – х. Получим:

D = (a₁ – x) (a₂ – x)… (a_n – x) .

Запишем первый элемент первого столбца в виде: = 1 + , и все столбцы полученного определителя прибавим к первому столбцу. Получим определитель треугольного вида, который равен произведению диагональных элементов. Следовательно:

D = (a₁– x) (a₂ – x)…(a_n – x)x + + + … + .

2. Метод выделения линейных множителей.

а) Вычислить определитель .

1. Прибавляя к первому столбцу определителя остальные три, обнаружим, что в первом столбце есть общий множитель, который равен х + у + z. Следовательно, определитель делится на х + у + z.

2. Аналогично, прибавляя к первому столбцу второй и вычитая из него третий и четвертый столбцы, получаем, что определитель делится на х – у – z.

3. Если первый столбец сложить с третьим и вычесть второй и четвертый, то получим, что определитель делится на х – у + z.

4. Если к первому столбцу прибавить четвертый и вычесть второй и третий столбцы, то обнаружим, что определитель имеет множитель х – у + z. Итак:

= .

Ясно, что определитель является многочленом 4^й степени по x, по y и по z. Справа тоже многочлен той же степени. Поэтому V = const. В определитель x⁴ входит в слагаемом:

a₁₂a₂₁a₃₄a₄₃ = (–1)²×х×х×х×х = х⁴.

В правой части старший член по х: Vx⁴, т.е. V = 1. Получаем результат:

= (x + y + z)(x – y – z)(x – y + z)(x + y – z) = x⁴ + y⁴ + z⁴ – 2x²y² – 2x²z² – 2у²z².

б) Вычислить определитель n-го порядка: .

Этот определитель называется определителем Вандермонда. Рассматривая его как многочлен (n –1)^й степени относительно x_n увидим, что он обращается в 0 при x_n = x_1, x_n = x_2, … x_n = x_{n – 1}. Тогда D_n = a_{n – 1}(x_n – x₁)(x_n – x₂) … (x_n – x_n–1), причем a_n–1 = = D_n–1. Повторяя эту процедуру, получим: D_n = (x₂ – x₁)(x₃ – x₂)(x₃ – x₁)(x₄ – x₃)(x₄ – x₂)(x₄ – –x₁)… = .

3. Метод представления определителя в виде суммы определителей.

Вычислить определитель: .

Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:

.

Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т.д. Проделав это, получим (n > 2), что строки полученных определителей будут такими: a_i, a_i, … _, a_i или b_1,b_2,… _,b_n . Строки 1^го типа пропорциональны, 2^го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: D_n = 0 ("n > 2).

Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:

D₁ = | a₁+ b₁ | = a₁+ b₁; D₂ = =

= a₁b₂– a₂b₂+ b₁a₂ – a₁b₁ = (a₁ – a₂)b₂ + (a₂ + a₁)b₁ = (a₁ – a₂)(b₂ – b₁).

Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Вычислить определитель n–го порядка: .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: D_n= .

Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: D_n = 5D_n–1 – 6D_n–2.

Представляя это соотношение в виде: D_n – 2D_n–1 = 3(D_n–1 – 2D_n–2) и вводя обозначение:

Т_n = D_n – 2D_n–1 получим: Т_n = 3Т_n–1 – 3²Т_n–2 = … =3 ^n-2T₂=3ⁿ.

Аналогично, записав рекурентное соотношение в виде: D_n – 3D_n–1 = 2(D_n–1 – 3D_n–2) и обозначая: V_n = D_n – 3D_n–1 получим V_n = 2V_n=1 = 2²V_n–2=…= 2ⁿ .

т.е. D_n = 3^{n + 1} – 2^{n + 1}.

В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: D_n = pD_{n – 1} + qD_{n – 2 .}можно проделать следующее: пусть a и b корни уравнения x² – px – q = 0, т.е. p = a + b,

q = –ab. Тогда D_n = aD_{n – 1} + bD_{n –1} – abD_{n – 2}^; D_n – aD_{n -–1} = b(D_{n – 1} – aD_{n – 2}), т.е. S_{n =} bS_{n – 1} или D_n – bD_{n -–1} = a(D_{n – 1} – bD_{n – 2}), т.е. V_{n =} bV_{n – 1} .

Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.

5. Метод изменения элементов определителя.

19°. Если ко всем элементам определителя D добавить одно и то же число x, то определитель увеличится на произведение числа x на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D.

◀ Пусть D = | a_ij |; D¢ = | a_ij + x |. Разложим D¢ в сумму двух определителей относительно первой строки, каждый из них на два относительно второй строки и т.д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов x, равны нулю.

Слагаемые, содержащие одну строку элементов x, разложим по этой строке. Получим D¢ = D + x.▶

а). . Вычтем из всех элементов определителя число x

. Тогда D_n = (a₁ – x)(a₂ – x)…(a_n – x) + x = (a₁ – x)(a₂ – x)...

…(a_n – x) + x = (a₁ – x) (a₂ – x) … (a_n – x) + x = (a₁ – x )( a₂– x )…( a_n– x ) +

+ x =

= x(a₁ – x) (a₂ – x) … (a_n – x) .