РАЗДЕЛ 5. СистемЫ линейных уравнений

Постановка задачи И ТЕРМИНОЛОГИЯ

Требуется найти x₁, x₂ … x_n удовлетворяющие следующим соотношениям:

.

Здесь a_ijÎR (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2,… , n) и b_iÎR (i =1, 2,… , m) – заданные числа.

Введем обозначения: – главная матрица системы уравнений;

– вектор-столбец неизвестных; – вектор-столбец правых частей.

При таких обозначениях система может быть записана в матричной форме: Ax = b.

Вектор называется решением системы Ax = b,если Ac º b.

Если b₁ = b₂ = … = b_m= 0, то система уравнений называется однородной.

.

Если хотя бы одно из значений b_i (i = 1,…, m) отлично от нуля система уравнений называется неоднородной.

Матрица называется расширенной матрицей системы уравнений.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система линейных уравнений имеет единственное решение, то она называется определенной.

Вопросы, на которые нам предстоит ответить по отношению к системе линейных уравнений:

А. Совместна ли система, т.е. имеет ли она хотя бы одно решение?

В. При положительном ответе на предыдущий вопрос определена ли система, т.е. будет ли ее решение единственным?

С. Как находить решение системы?

В случае однородной системы на вопрос А, можно ответить сразу:

Однородная система уравнений всегда совместна. Набор x₁ = x₂ = … = x_n = 0 является решением системы. Такое решение называется тривиальным решением. Поэтому для однородной системы линейных уравнений вопрос В звучит следующим образом:

Имеет ли система линейных однородных уравнений другие решения, кроме тривиальных?

Формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей (А_nn):

(j = 1, 2, …, n). Умножим обе части этого равенства на . Получим справа: = = x_kdetA, и слева: .

Отсюда получим: .

Здесь через ∆ обозначен detA, называемый главным определителем (определитель матрицы системы). Через ∆_k обозначены определитель матрицы А_k, который получается из матрицы системы А заменой k^го столбца на столбец свободных членов.

Доказана теорема Крамера:

Т°. Если ∆ ¹ 0, то система Ax = b имеет единственное решение, которое задается формулами

Крамера: x_k = , k = 1, 2, … , n.

Обратная матрица

Если для квадратной матрицы А существует матрица D, такая что DА = АD = Е, то матрица D называется матрицей обратной к матрице А и обозначается: D = A^–1.

1°. Если A^–1 существует, то она единственна.

◀ . ▶

2°. (A^–1)^–1 = A.◀ A = AE = A(A^–1(A^–1)^–1) = (AA^–1) (A^–1)^–1 = E(A^–1)^–1 = (A^–1)^–1. ▶

3°. (AB)^–1 = B^–1A^–1.

◀ B^–1A^–1 = B^–1A^–1E = B^–1A^–1((AB)×(AB)^–1(AB)) = B^–1(A^–1A)B×(AB)^–1 = B^–1B(AB)^–1 = (AB)^–1. ▶

4°. det(A^–1) = (detA)^–1. ◀ AA^–1 = E Þ detAA^–1 = detA ×det(A^–1) = 1 Þ det(А^–1) = . ▶ 5°. Чтобы квадратная матрица А имела обратную А^–1 необходимо и достаточно, чтобы detA ¹ 0.

Если detA ¹ 0, то матрица А называется невырожденной.

◀ Необходимость. $А^–1 Þ det(A^–1) = Þ detA ¹ 0.

Достаточность. Возьмем матицу D с элементами

Þ (DA)_ij = . ▶

Доказательство теоремы одновременно дало и способ построения матрицы, обратной к невырожденной матрице А. Чтобы построить матрицу обратную к А, надо:

найдем detA.Если detA = 0, то А^–1 не существует. Если detA ¹ 0, то продолжаем построение обратной матрицы;

для элементов a_ij матрицы А найдем их алгебраические дополнения A_ij;

разделим матрицу из алгебраических дополнений на detA;

транспонировав полученную матрицу, получим матрицу А^–1.

Пример: : 1. detA = 2. 2. А^–1 = .

В идеологии обратной матрицы решение квадратных систем с невырожденной матрицей становится весьма прозрачным: Ax = b Þ A^–1Ax = A^–1b Þ x = A^–1b.

Есть и другие способы нахождения обратной матрицы.

А.

Запишем матрицу А, а справа от нее, через вертикальную черту, запишем единичную матрицу. Получим матрицу n – строк, 2n – столбцов;

В получившейся матрице с помощью применения к строкам (и только) преобразований не изменяющих ранг матрицы образуем на месте матрицы А – единичную матрицу.

На месте единичной матрицы будет стоять А^–1.

Б.

Справа от матрицы припишем единичную матрицу Е, а снизу припишем матрицу (–Е). В правом нижнем углу поставим нулевую матрицу.

Используя операции только над строками, получившейся матрицы, на месте матрицы (–Е), образуем нулевую матрицу.

Тогда, в правом нижнем углу будет стоять А^–1.

В.

Для обращения матрицы, имеющей блочную структуру, т.е. матрицы вида: , где А – квадратная матрица порядка n´n, а D – квадратная матрица q´q, справедливы следующие формулы:

Первая формула Фробениуса (если detA ¹ 0):

, где H = D – CA^–1B.

Вторая формула Фробениуса (если detD ¹ 0):

, где K = A – BD^–1C.

Ранг матрицы

Имеется матрица А_mn порядка m´n и не все элементы ее равны 0. ($a_ij ¹ 0).

Пусть существует минор r^го порядка, который не равен нулю, и при этом любой минор порядка большего r равен нулю, т.е. $M_r ¹ 0, "M_{r + i} = 0 (i =1, 2,… , n – r) .

Минор M_r называется базисным минором матрицы А (он необязательно единственный), строки и столбцы, выбором которых получен минор называются базисными строками и столбцами, число r называется рангом матрицы А: r = rangA. Другими словами rangА – это наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

6°. Теорема о базисном миноре. Строки базисного минора – линейно независимы, и любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк.

Примечание: Теорема может быть сформулирована и доказана не только для строк, но и для столбцов.

◀ 1) Пусть rangA = r. Не ограничивая общности можно считать, что первые r строк матрицы a₁, a₂,…, a_r – базисные. Докажем их линейную независимость.

Пусть a₁a₁ + a₂a₂ +…+ a_ra_r = q и пусть a₁ ¹ 0. Тогда a₁ = , т.е. первая строка является линейной комбинацией остальных, но тогда detM_r = 0, что противоречит базисности минора M_r .

Значит a₁ = a₂ =…= a_r = 0 и, следовательно, базисные строки матрицы линейно независимы.

2) Пусть rangA = r и базисный минор M_r стоит в левом верхнем углу:

.

Рассмотрим определитель (r + 1)^го порядка, состоящий из подчеркнутых элементов: A_r+1.

По условию базисности минора M_r detA_r+1 = 0.

Разложим определитель A_r+1 по последнему столбцу. a_1lA_1l + … + a_rlA_rl + a_klA_kl = 0; При этом A_kl ¹ 0 (это detM_r). Тогда .

Обозначим ; ; A_kl – это минор M_r и не зависит ни от k,ни от l. A_il — не зависит от l (при вычитании выбрасывается). Тогда c_1, c_2, ... c_r не зависит от l,а зависит только от k. Имеем a_kl = с₁a_1l + с₂a_2l +...+ c_ra_rl. Последнее равенство показывает, что элементы k^й строки выражены через элементы первых r строк. ▶

Из этой теоремы следует, что:

7°. detA = 0 тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

8°. rangA = dimℒ(a_1, a_2, … , a_m) = dimℒ(s_1, s_2, … , s_n); a_1, a_2, … , a_m – строки; s_1, s_2, … , s_n – столбцы.