Канонический вид квадратичных форм

Учитывая, что элементы матрицы квадратичной формы a_ij = j(e_i, e_j) мы можем заклю­чить, что элементы матрица квадратичной формы зависят от выбора базиса.

Если для формы j(х, х) в пространстве V существует базис в котором матрица j(х, х) имеет диагональный вид (т.е. a_ij = 0для i ¹ j), и следовательно форма j(х, х) записы­вается так то такой базис называется каноническим базисом j(х, х) в пространстве V а запись формы в этом базисе называется каноническим видом формы.

Постановказадачи: Для формы j(х, х) ¹ 0 найти базис, в котором форма имеет канони­ческий вид.

Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) приведения формы к канони­ческому виду.

Пусть в некотором базисе форма имеет вид: .

1). Пусть a_ii = 0 ("i), но $a_ij ¹ 0. Не ограничивая общности можно считать, что а₁₂≠ 0. Тогда и получим (в записи формы появились члены, содержащие квадраты координат).

2). $a_ii ¹ 0. Допустим, что а₁₂≠ 0. Тогда:

.

При этом: .

Связь между координатами ξ_i и η_i позволяет установить векторы нового базиса .

Пример:

=

= = = .

При этом , т.е. .

Векторы нового базиса е₁, е₂, е₃, е₃, получаются из старых f₁, f₂, f₃, f₄так:

e₁ = f₁; e₂ = 3f₁ + 2f₂; e₃ = –2f₁ + 0,5f₃ + 0,5f₄; e₄ = 0,5f₃ – 0,5f₄.

Метод Якоби приведения формы к каноническому виду.

Пусть форма j(x, x) в базисе имеет матрицу А, где a_ik = j(f_i, f_k); и, при этом, главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля: D₁¹0, D₂¹0, D₃¹0, …, D_n = detA ¹0 . Форма j(x, x) в базисе имеет вид: j(x, x) = . Требуется найти базис {e₁, e₂, …, e_n}, чтобы j(e_i, e_k) = 0 (i ¹ k). Векторы канонического базиса {e₁, e₂, …, e_n}, ищем из соотно­шений:

. (1)

Приэтом, нетрудно заметить, что ℒ(е₁, е₂, …, е_n) = ℒ(f₁, f₂,…, f_n). Отметим, что если j(e_k, f_i) = 0, i = 1, 2, …, k –1, то j(e_i, e_k) = 0 i = 1, 2, …, k –1. В счамом деле

j(e_i, e_k) = j(e_k, a_i1f₁ + a_i2f₂ + … + a_iif_i) = 0.

Тогда коэффициенты a_ij будем искать из соотношений:

j(e_k, f_i) = 0 (j < k)

j(e_k, f_k) = 1. (*)

Тогда для коэффициентов разложения: e_k = a_k1f₁ + a_k2f₂ + a_k3f₃ +…+ a_knf_n из условий (*),

получим систему уравнений :

j (e_k,f₁) = a_k1j (f₁,f₁) + a_k2 j (f₂,f₁) + a_k3 j (f₃,f₁) + … … … + a_kk j (f_k,f₁) = 0

j (e_k,f₂) = a_k1j (f₁,f₂) + a_k2 j (f₂,f₂) + a_k3 j (f₃,f₂) + … … … + a_kk j (f_k,f₂) = 0

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

j (e_k,f_k-1) = a_k1j (f₁,f_k-1) + a_k2 j (f₂,f_k-1) + a_k3 j (f₃,f_k-1) + … … + a_kk j (f_k,f_k-1) = 0

j (e_k,f_k) = a_k1j (f₁,f_k) + a_k2 j (f₂,f_k) + a_k3 j (f₃,f_k) + … … … … + a_kk j (f_k,f_k) = 1

Полученная система линейных уравнений имеет единственное решение, ибо ее определи­тель Δ_k ¹ 0. При этом получим, что: j(e_k, e_i) = 0 (k < i), и j(e_k, e_k) ¹ 0.

Запишем:

j (e_k,e_k) = a_k1j (e_k,f₁) + a_k2 j (e_k,f₂) + a_k3 j (e_k,f₃) + … + a_kk-1j (e_k,f_k-1) + a_kk j (e_k,f_k) = a_kk.

Найти a_kk можем из системы уравнений, которая записана выше, по правилу Крамера:

a_kk = . Таким образом, форма j(x, x) в базисе имеет канонический вид:

j(x, x) = , где a₁₁= , a₂₂= , a₃₃= , …, a_nn= . Здесь D₀ = 1.

Пример приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Пусть форма: задана в базисе f₁(2, 0, 0), f₂(0, 1, 0), f₃(0, 0, 1), а полярная ей билинейная форма имеет вид:

.

Матрица билинейной формы и соответствующей ей квадратичной формы равна: и ее главные миноры: D₁ = 2; D₂ = –1/4; D₃ = –17/4. Векторы е₁, е₂, е₃ ищем в виде:

e₁ = a₁₁f₁ = ( a₁₁,0,0 ), e₂ = a₂₁f₁ + a₂₂f₂ = (a₂₁, a₂₂, 0), e₃ = a₃₁f₁ + a₃₂f₂ + a₃₃f = (a₃₁, a₃₂, a₃₃).

Получаем:

а) j(e₁, f₁) = 1 Þ 2a₁₁ = 1 ® a₁₁ = Þ e₁ ;

б) Þ е₂(6, –8, 0);

в) Þ Þ

.

Получены векторы канонического базиса:

e₁ = f₁; е₂(6, –8, 0) = 6f₁ – 8f₂; = (8f₁ –12f₂ + f₃)

и в этом базисе форма j(х, х) имеет канонический вид:

.

Критерий Сильвестра

4°.Для того чтобы форма j(x, x) была положительно определена необходимо и доста­точно, чтобы D_i > 0 ("i = 1, 2, …, n).

◀ Достаточность. Если D_i > 0, то , где т.е. l_i > 0 и тогда форма j(x, x) > 0.

Необходимость: j(x, x) > 0. покажем, что D_k > 0. От противного:

а) Предположим, что D_k > 0, D_i < 0 и нет D_j= 0 по Якоби $l_i тогда j(x, x) < 0 если: , что противоречит положительной определенности квадратичной формы.

б). Пусть D_k = 0, , т.е. одна из строк минора есть линейная комбинация остальных:

m₁j(f₁, f_i) + … + m_kj(f_k, f_i) = 0, m_k ¹ 0, i = 1, 2, …, k,

j(m₁f₁ + … + m_k f_k, f_i) = 0 Þ "i = 1, 2, …, k Þ

Þ Þ j(x, x) = 0, x ¹ 0. Вновь получено противоречие с положительной определенностью формы. ▶

5°. Для того чтобы форма j(x, x) была отрицательно определена необходимо и доста­точно чтобы: D₁ < 0, D₂ > 0, D₃ < 0 … (главные миноры чередуются по знаку, начиная с “–”).

◀ Если форма j(x, x) отрицательно определена, то форма j^­–(x, x) = –j(x, x) положительно определена. Тогда матрицы формы j(x, x) отличаются на множитель (–1)а, следовательно, миноры D_k отличаются на множитель (–1)^k . ▶