Ортогональные системы векторов

Def: Векторы x, yÎV называются ортогональными, если (х, у) = 0.

1°. Если "yÎV, (x, y) = 0 Þ x = q.

◀ Т.к. (x, y) = 0 "y,положим у = х. Тогда (x, х) = 0 Þ x = q. ▶

Система векторов называется ортогональной, если (f_i, f_j) = 0 для i ¹ j (отметим, что (f_i, f_i) = |f_i|²).

Система векторов называется ортонормированной, если .

2°. Ортонормированная система векторов – линейно независима.

◀ – ортонормированна. Пусть a₁e₁ + a₂e₂ + …+ a_ne_n = q. Умножим обе части равенства скалярно на e_j и получим: в левой части , а в правой части (q, e_j) = 0, т.е. a_j = 0. Равенство a_j = 0 для любого j означает линейную независимость ортогональной системы векторов. ▶

3°. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов есть сумма произведений одноименных координат.

◀ – ортонормированный базис . Тогда

. ▶

Следствие. В ортонормированном базисе

4°. В любом (конечномерном) евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

◀ Пусть f₁, f₂, …, f_n базис в V. Покажем, что по указанному базису можно построить ортогональный базис (этот процесс называют процессом ортогонализации).

а) e₁ = f₁;

б) e₂ = f₂ + ae₁ и a найдем из условия (e₁, f₁) = 0,

0 = (e₁, e2) = (e₁, f₂) + a(e₁, e₂) Þ a = ;

в) e₃ = f₃ + ae₁ + be₂ и a, b найдем из условий (e₃, e₁) = (e₃, e₂) = 0,

0 = (e₁, e₃) = (f₃, e₁) + a(e₁, e₂) Þ a = ,

0 = (e₂, e₃) = (f₃, e₂) + b(e₂, e₂) Þ b = ;

………………

………………

г) . ▶

Нормируя векторы ортогонального базиса получим ортонормированный базис пространства, т.е.

5°. В каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Процесс построения ортонормированного базиса, примененный в предыдущей теореме называется процессом ортогонализации Штурма.

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства V и V¢ называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и, кроме того, "x, yÎV и "x¢, y¢ÎV¢ (x, y) = (x¢, y¢).

6°. Два евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда dimV = dimV¢.

◀ Необходимость. Пространства изоморфны как линейные и, следовательно,

dimV = dimV¢.

Достаточность. dimV = dimV¢. Пусть и ортонормированные базисы в V и V¢ . « "i = 1, 2, …, n, , , . ▶

Унитарные пространства

Пусть V линейное пространство над полем C. Говорят, что в V определено скалярное произведение, если "x, yÎV, $a = (x, y)ÎC, такое что:

а) (x, y) = ; б) (lx, y) = l(x, y), lÎC;

в) (x + y, z) = (x, z) + (y, z); г) (x, x) ³ 0, при этом (x, x) = 0 Û x = q.

Примеры:

1) В арифметическом пространстве A_n с базисом {e₁, e₂, …, e_n}скалярное произведение можно задать следующим образом: если и .

2) В пространстве непрерывных на [a, b] комплекснозначных функций можно задать скалярное произведение формулой: .

Конечномерное комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется унитарным пространством.

Свойства скалярного произведения в