Метод выделения квадратов (Лагранжа)

Базис называется каноническим для симметричной (эрмитовой) билинейной функции, если ее матрица в этом базисе диагональная.

Теорема 4.3 Лагранжа. Для любой эрмитовой функции существует канонический базис.

Доказательство проведём индукцией по рангу r матрицы эрмитовой формы F. Если r=0, то матрица нулевая, утверждение очевидно. Допустим, что теорема верна для r-1. Докажем ее истинность для r. Рассмотрим три случая

а) , тогда положим и , где k>1. В данном случае матрица перехода S будет отличаться от единичной матрицы только первой строкой, равной и S[x]=[x’], Q[x’]=[x], где . Матрица Q отличается от единичной матрицы только первой строкой, равной (1, ,…, ) . После замены координат, получим матрицу билинейной формы , которая имеет следующий блочный вид . Поскольку ранг равен r-1, то по предположению индукции эрмитову матрицу можно привести к каноническому виду. Пусть . Тогда и теорема в этом случае доказана.

б) и существует k, что переставим первый и k базисные вектора, и далее перейдем к пункту а).

в) для всех k и найдётся не нулевой элемент , где . Возможны два случая:

1. тогда прибавим к k базисному вектору l базисный вектор и получим случай б)
2. тогда прибавим к k базисному вектору l базисный вектор, умноженный на i, и получим случай б). Теорема доказана.

Базис эрмитовой билинейной функции f(x,y) называется нормальным, если матрица билинейной функции в этом базисе имеет диагональный вид, и ее главная диагональ равна (1,..,1,-1,..,-1,0..,0).

Для отыскания матрицы перехода можно поступать следующим образом. Припишем к матрице F единичную матрицу справа. Затем будем производить элементарные преобразования со строками расширенной матрицы и столбцами матрицы F. Причем, если к строке k прибавим строку j, умноженную на число , то затем к столбцу k прибавим столбец j, умноженный на число . После приведения матрицы F к диагональному виду справа будет расположена матрица, все элементы которой комплексно сопряжены к матрице перехода.

Следствие 4.5 Для эрмитовой формы существует нормальный базис если поле R или C.

Доказательство. Построим канонический базис. Далее, если , то умножим j базисный вектор на число . Затем перестановкой базисных векторов приведем матрицу к нормальному виду.

Следствие 4.6 Если все угловые миноры матрицы F отличны от нуля, то существует верхняя треугольная матрица Q, которая приводит F к диагональному виду.

Доказательство проведем индукцией по рангу F. По теореме Лагранжа существует матрица Q, приводящая F к диагональному виду. Докажем, что она верхняя треугольная матрица. Обозначим через угловой минор j-го порядка матрицы F. Так как , то выполняется пункт а) теоремы Лагранжа. Матрица перехода Q верхняя треугольная. Угловой минор матрицы порядка k-1, умноженный на , равен (угловому минору порядка k матрицы F ). По предположению индукции, найдется

верхняя треугольная матрица Q’, приводящая матрицу к диагональному виду. Но тогда - верхняя треугольная матрица, а - диагональная матрица.