Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара

Свойство 2.7. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i-ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i-ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k=1, то - квадрат длины вектора. Если k>1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k=2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. рис. 1). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k=3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.8 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k-мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.

Покажем теперь неравенство Адамара.

Теорема 2.4.

Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор является ортогональной составляющей вектора на линейную оболочку векторов , и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2.2). Далее, , что и требовалось доказать.

Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.

Следствие 2.5 Справедливы неравенства и .

Доказательство. В n-мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара . Поскольку , то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .

Следствие 2.6 Пусть . Тогда .

Доказательство очевидно.

Положим и, далее, по индукции . Матрица имеет порядок , ее определитель равен и все ее элементы равны . Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2.6) обращается на этой матрице в равенство.