Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения
Расстоянием между множествами X и Y называется .
Рассмотрим задачу нахождения расстояния от точки x до подпространства W. В начале рассмотрим случай, когда подпространство задано в виде линейной оболочки системы векторов.
Теорема 2.5. Расстояние от точки до подпространства достигается на перпендикуляре, опущенном из точки x на подпространство.
Доказательство. Представим . Расстояние от точки x до подпространства W равно
. Векторы
и
ортогональны друг другу, и по неравенству Бесселя
, причем равенство достигается только в случае
. Тем самым установлено
, что и требовалось.
Пусть и система векторов
линейно независимая. Расстояние от точки x до подпространства W можно найти как отношение объема k+1-мерного параллелепипеда натянутого на векторы
к объему k-мерного параллелепипеда натянутого на векторы
. Таким образом, справедлива формула
. К сожалению, эта формула не позволяет находить проекцию и ортогональную составляющую вектора. Для нахождения проекции можно поступать следующим образом. Представим
и
, а затем умножим скалярно на векторы
вектор x. Получим систему линейных уравнений
. Коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Грама, определитель которой не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение. Решив эту систему, найдем проекцию вектора x, а затем и ортогональную составляющую.
Рассмотрим случай, когда линейное подпространство задано системой однородных линейных уравнений Ax=0. Для простоты проведения рассуждений будем считать, что строки матрицы A линейно независимы. В ортонормированном базисе, коэффициенты при неизвестных в уравнении являются координатами вектора из ортогонального дополнения (см. п.2.4). Таким образом, по системе линейных уравнений можно найти базис ортогонального дополнения к пространству W. Обозначим базис через
. Тогда представим
и
, а затем умножим скалярно на векторы
вектор x. Получим систему линейных уравнений
. Коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Грама, определитель которой не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решение. Решив эту систему, найдем ортогональную составляющую вектора x, а затем и проекцию.
Рассмотрим теперь задачу нахождения расстояния от точки x до линейного многообразия M. Эта задача легко сводится к аналогичной задаче построения расстояния от точки до подпространства. Действительно, пусть M=z+W, где z – произвольная точка из M, а W – подпространство. Тогда , то есть задача свелась к определению расстояния от точки x-z до подпространства W.
Линейное многообразие, заданное как множество решений одного линейного уравнения ax=b называется гиперплоскостью. Рассмотрим задачу отыскания расстояния от точки y до гиперплоскости ax=b. Перпендикуляр, опущенный из y на гиперплоскость равен и
. Отсюда находим неизвестный параметр
, а затем и расстояние
.
Рассмотрим задачу определения расстояния между двумя линейными многообразиями и
. Расстояние между ними равно
, то есть задача свелась к нахождению расстояния от точки y-z до подпространства
. Заметим, что расстояние между линейными многообразиями достигается на общем перпендикуляре.