Полярная система координат

На плоскости E² введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем полуплоскость a - одну из двух полуплоскостей, на которые делит плоскость прямая, содержащая луч l.

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,l,a).

Определим отображение v: E² \ O ® (0, +¥)´[0,2p) по следующей формуле:

v (A) = (r, j) (*),

где r = |OA|, j - радианная мера угла (l,OA)(отложенного от луча l, в полуплоскость a)

Напомним, что отложить угол от луча l в полуплоскость a означает найти угол равный данному такой, что одна из его сторон - это луч l, и

- если этот угол меньше развернутого угла, то его внутренность содержится в полуплоскости a,

- если этот угол больше развернутого угла, то его внутренность содержит полуплоскость a.

РИС 11 (1,2)

Замечания.

(1) Как мы видим, из плоскости исключена точка O. Действительно, если точка A совпадает с точкой O, то не определен луч OA, и не ясно каким должно быть число j.

(2) Множество значений функции v волне понятно, так как для любой точки A плоскости E² (кроме точки O) |OA| > 0 и мера угла (l,OA) - это число j такое, что 0 £ j < 2p.

(3) Иногда множество значений функции v рассматривают другое,

например, (0, +¥)´[-p,p).

Существует еще понятие расширенной полярной системы координат, для которой значение r может быть отрицательным.

Определение. Отображение v (*) будем называть полярной системой координат на плоскости.

Определение. Фиксированную точку O будем называть полюсом, фиксированный луч l - полярной осью.

Замечание. Часто под полярной системой координат понимают фиксированную на плоскости структуру ( то есть полюс, полярную ось, и полуплоскость, в которую откладываются углы).

Определение. Числа r и j такие, что v (A) = (r, j) будем называть полярными координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j) будем писать A(r,j).

Теорема. Полярная система координат - это биективное отображение.

Доказательство.

1) Инъективность отображения v.

Пусть точки A, B Î E² \ O таковы, что v (A) = v (B) = (r,j) (то есть полярные координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Так как вторые координаты точек A и B совпадают, то углы (l, OA) и (l, OB) равны, тогда лучи OA и OB совпадают (то есть точки A и B лежат на одно луче с началом в точке O).

Так как первые координаты точек A и B совпадают, то |OA| = |OB|.

Итак, точки A и B лежат на одном луче, и удалены на одно и то де расстояние от начала этого луча, значит, они совпадают.

2) Сюрьективность отображения v.

Пусть числа r и j таковы, что r > 0 и 0 £ j < 2p, найдем такую точку A Î E² \ O, что v (A) = (r,j).

Отложим от луча l в полуплоскость a угол (l,m) , мера которого равна j.

На луче m от его начала отложим отрезок длины r, конец отрезка отличный от точки O назовем A.

Так как |OA| = r, и угол (l,OA) совпадает с углом (l,m), мера которого j, то v (A) = (r,j).

Замечание.

Координатными линиями в некоторой системе координат на плоскости называют линии, которые задаются уравнениями вида: одна из координат равна константе. В декартовой системе координат это линии, которые задаются уравнениями x = const или y = const, то есть это линии параллельные координатным осям; и через каждую точку плоскости проходит ровно две координатные линии: одна x = const, другая y = const. В полярной системе координат координатные линии r = const - это окружности с центром в точке O, а координатные линии j = const - это лучи с началом в точке O (без точки O); и через каждую точку плоскости (кроме точки O) проходит ровно две координатные линии: одна r = const, другая j = const.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и полярных координат точки).

Пусть на плоскости введены полярная и декартова системы координат так, что полюс полярной системы координат - это начало декартовой системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), фиксированная полуплоскость a содержит положительный луч оси (Oy).

Тогда для любой точки плоскости (кроме точки O) ее декартовы координаты (x,y) выражаются через ее полярные координаты (r,j) по следующим формулам:

x = r cos j, y = r sin j, при этом r² = x² + y².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A Î E² \ O, и пусть A(x,y) и A(r,j).

Точка A лежит на окружности радиуса r с центром в начале координат.

Рассмотрим проекции точки A на координатные оси декартовой системы координат - точки A_x и A_y.

РИС 12

По определению тригонометрических функций координата точки A_x на оси (Ox) будет равна rcosj, а координата точки A_y будет равна rsinj, то есть x = r cos j, y = r sin j.

В силу последних двух равенств равенство r² = x² + y²очевидно.

Упражнения.

(1)Выразите вторую полярную координату j через декартовы координаты x и y, если выполнены условия предыдущей теоремы.

(2) На плоскости дан правильный шестиугольник ABCDEF. Определите полярные координаты всех вершин этого шестиугольника, если полюс полярной системы координат - это точка A, а полярная ось - луч [AC).

(3) Постройте множество точек, заданное в полярной системе координат уравнением:

1. r = 2 cosj;	5. r2 -2rcosj = 0;
2. r = a sin 3j (a>0);	6. r 2 - r cosj + 4rsinj = 0;
3. r = a j (a > 0, здесь j ³ 0);	7. r2 - 4r + 5 = 0;
4. r = 2a cosj ± b (a > 0, b > 0);	8. rcos j = -3.

(4) На плоскости задана полярная система координат. Постройте точки A, B и C. Определите, является ли D ABC прямоугольным, и вычислите его площадь, если

A(2 ; ), B( ; ), С(4+ , ).

(5) Вывести формулу для вычисления расстояния между точками в полярных координатах.