Ортогональные преобразования
Линейное преобразование называется ортогональным (унитарным) если оно сохраняет скалярное произведение, то есть . Из определения выводим
или
. Таким образом ортогональное преобразование является нормальным.
Свойство 8.6. Собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1.
Доказательство. Пусть , тогда
, и, значит,
.
Следствие 8.1. Ортогональное преобразование евклидова пространства, в некотором ортонормированном базисе, сводится к выполнению последовательности тождественных преобразований, симметрий и поворотов в координатных плоскостях.
Доказательство. Ортогональное преобразование нормально, следовательно, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Блоки первого порядка соответствуют вещественным собственным числам, а блоки второго порядка – комплексным числам. Так как собственные числа ортогонального преобразования по модулю равны 1, то по главной диагонали могут стоять либо 1, либо -1, либо блок второго порядка . Для доказательства осталось заметить, что геометрический смысл указанных преобразований как раз и есть тождественные преобразования, симметрии и повороты в координатных плоскостях.
Самосопряженное преобразование.
Линейное преобразование называется самосопряженным, если .
Свойство 8.7. Собственные числа самосопряженного преобразования – вещественны.
Доказательство. Пусть x –собственный вектор самосопряженного преобразования (т.е.
). Из равенств
выводим
, то есть
.
Следствие 8.2. Для самосопряженного линейного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство. Самосопряженное преобразование является нормальным, и значит, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Поскольку все собственные числа вещественные, то все блоки первого порядка.
Полярное разложение
Самосопряженное преобразование называется положительно определенным, если
.
Следствие 8.3. Все собственные числа положительно определенного самосопряженного линейного преобразования неотрицательны.
Доказательство. Пусть , тогда
, и, значит,
.
Теорема 8.3. (извлечение корня) Для положительно определенного самосопряженного линейного преобразования существует единственное положительно определенное самосопряженное преобразование
, что
.
Доказательство. Пусть - ортонормированный базис линейного пространства, в котором матрица
- диагональная. Пусть
. Все числа стоящие на главной диагонали неотрицательны. Положим
. Легко убедиться, что линейное преобразование
является положительно определенным самосопряженным преобразованием и
. Единственность очевидна.
Теорема 8.4 (полярное разложение) Любое линейное преобразование можно представить в виде произведения самосопряженного положительно определенного линейного преобразования
и ортогонального преобразования
. Если
- невырожденное, то представление единственно. Разложение
называется правым, а разложение
- левым.
Доказательство. Преобразование является самосопряженным и положительно определенным. Построим ортонормированный базис
преобразования
, при этом расположим собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению в конце базиса. Пусть
- собственные векторы с не нулевыми собственными значениями, а
- собственные векторы с нулевым собственным значением. Матрица
- диагональная, поэтому первые k строк матрицы
образуют ортогональную систему, а остальные равны 0. Длина j строки равна
. Обозначим через
первые k строк матрицы
и дополним ортонормированную систему векторов
векторами
до ортонормированного базиса всего пространства. Обозначим через
ортогональное преобразование, матрица которого в базисе
образована строками
, а через
- положительно определенное самосопряженное преобразование, матрица которого в базисе
диагональная и равна
. Легко убедиться, что
.
Для построения левого разложения достаточно найти правое разложение для сопряженного преобразования.
Поскольку , то преобразование
определяется единственным образом. Если преобразование
- невырожденное, то преобразование
невырожденное, и, значит,
определяется единственным образом.