От направленного отрезка к вектору

Обозначения:

Eⁿ – прямая при n = 1, плоскость при n = 2, пространство при n = 3 (с евклидовой геометрией)

Rⁿ =

Î Rⁿ – упорядоченный столбец n×1

A ( ) – координаты точки A в декартовой системе координат в Eⁿ

Определение.Направленным отрезком в Eⁿ будем назвать отрезок, у которого упорядочены концы (то есть один конец отрезка – первый, другой – второй)

Обозначение направленного отрезка:

A

- направленный отрезок AB, у которого первый конец (начало) – точка A, второй конец (конец) – точка B.

Изображение направленного отрезка : (точка A – начало, точка B - конец) РИС. 19

B

Вырожденный отрезок, у которого оба конца совпадают, будем понимать как направленный отрезок, начало и конец которого совпадают. Например, направленный отрезок

Определение. Длиной направленного отрезка называется расстояние между его началом и концом.

Обозначение: | | - длина направленного отрезка .

Пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w.

Определение. Координаты направленного отрезка в системе координат w – это разность координат конца направленного отрезка и начала.

То есть если A( _a), B( _b), то координаты = ( _b- _a).

Замечание. Вычисление длины направленного отрезка в декартовой системе координат осуществляется по той же формуле, что и расстояние между точками. Если же координаты направленного отрезка уже известны, то квадрат его длины равен сумме квадратов координат этого отрезка.

Наблюдение. Все координаты направленного отрезка, у которого начало и конец совпадают, в любой декартовой системе координат равны нулю. Более того, если все координаты некоторого направленного отрезка в некоторой системе координат равны нулю, то начало и конец этого отрезка совпадают.

Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ.

Определение. Будем говорить, что направленный отрезок равен направленному отрезку , если в системе координат w координаты отрезка равны координатам отрезка .

Обозначение равенства направленных отрезков: = .

Замечания.

1)В вышеизложенном определении равенство направленных отрезков зависит от системы координат w. Естественно возникает вопрос, возможно ли, что направленные отрезки равны в одной декартовой системе координат и не равны в другой системе координат? (То есть возникает вопрос о корректности определения).

2)Для любых двух точек A,B ÎEⁿ в любой системе координат = .

Лемма. Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ, и пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w. = тогда, и только тогда когда середины отрезков AD и BC совпадают (то есть отрезки AD и BC имеют общую середину).

Доказательство:

= Û _b- _a= _d - _c Û _b+ _c= _a+ _d Û 1/2( _b+ _c ) = 1/2 ( _a+ _d) Û середины отрезков AD и BC совпадают.

Корректность определения равенства направленных отрезков:Так как понятие середины отрезка и совпадение точек не зависит от выбора системы координат, то согласно доказанной лемме и равенство направленных отрезков тоже не зависит от выбора системы координат.

Следствие. (геометрический смысл равенства направленных отрезков).

Пусть точки A,B,C, D Î Eⁿ такие, что A,B и С не лежат на одной прямой.. Тогда для того, чтобы выполнялось равенство = необходимо и достаточного, чтобы четырехугольник ABDC был параллелограммом.

Теорема.Отношение равенства на множестве всех направленных отрезков в Eⁿ является отношением эквивалентности.

Доказательство:

Проверим, что отношение равенства направленных отрезков обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

1) Рефлективность. Для любых двух точек A,B Î Eⁿ = , так как =

2) Симметричность. Для любых точек A,B,C,D Î Eⁿ если = , то = , то есть = и =

3) Транзитивность Для любых точек A,B,C,D,E,F Î Eⁿ если = и = , то = и = , то есть = и =

Итак, множество всех направленных отрезков в Eⁿ разбивается на классы эквивалентности по данному отношению равенства.

Определение. Вектором (в Eⁿ) будем назвать класс эквивалентности равных направленных отрезков (в Eⁿ).

Направленный отрезок, принадлежащий данному классу (вектору), будем называть представителем этого вектора.

Обозначения.

Вектор будем обозначать маленькой латинской буквой с чертой: - «вектор a».

Формально запись того, что направленный отрезок является представителем вектора должна выглядеть следующим образом: Î , но принято менее формальное обозначение : = .

Определение. Вектор, представителем которого является направленный отрезок с совпадающими началом и концом (то есть отрезок вида ), будем называть нулевым вектором (нуль-вектором).

Обозначение: q - нулевой вектор.

Ясно, что если один из представителей вектора – отрезок вида, то и все остальные представители этого вектора – это отрезки такого же вида (то есть с совпадающими началом и концом).

Определение. Будем говорить, что два вектора равны, если они совпадают как классы эквивалентности (то есть представитель одного вектора равен представителю другого вектора).

Определение. Координатами вектора будем называть координаты любого его представителя.

Замечания.

1) Ясно, что вектор является нулевым тогда, и только тогда, когда все его координаты равны нулю (в любой системе координат).

2) Два вектора равны тогда, и только тогда когда равны их координаты в некоторой системе координат.

Определение.Длиной вектора будем называть длину любого его представителя.

Обозначение: | | - длина вектора a.

Ясно, что у всех представителей одно и того же вектора длины одинаковые (см. вычисление длины направленного отрезка в декартовой системе координат).

Обозначение: Множество всех векторов, представителями которых являются направленные отрезки в Eⁿ, обозначим как Vⁿ.

Определение. Будем говорить, что вектор Î Vⁿ отложен от точки A Î Eⁿ, если нашлась точка B Î Eⁿ такая, что = .

Теорема. Любой вектор из Vⁿ можно отложить от любой точки в Eⁿ , и при этом единственным образом (то есть для любого вектора Î Vⁿ и для любой точки AÎ Eⁿ существует и при том только одна точка BÎ Eⁿ такая, что = ).

Доказательство.

Введем в декартову систему координат. Пусть = ( ), A ( _A).

Существование точки B. Возьмем точку B с координатами _B = ( + _A ) (такая точка существует и притом только одна, так как декартова система координат определяет биекцию между Eⁿ и Rⁿ). Тогда координаты направленного отрезка будет равны + _A - _A = , то есть = .

Единственность точки B. Пусть точка B’ такая, что = . Найдем координаты точки B’: = _B’ - _A , то есть _B’ = + _A, следовательно _B = _B’ и точки B и B’ совпадают.

Упражнения.

1) Постройте направленный отрезок , найдите его координаты и длину, если

На прямой	M (-1), N(2)
M(0), N(-5)
M (-2), N(1)
На плоскости	M (1, -3), N(2,4)
M (0,5), N(2,0)
M (-3,-4), N(7,-1)
В пространстве	M (-2,4,0), N(-2,4,3)
M (3,-2,1), N(1,1,1)
M (5,2,-1), N(0,0,0)

2) Вычислите длину вектора , отложите этот вектор от точек M,N и O, найдите координаты концов построенных направленных отрезков

На прямой	= (2), M(1), N(-4), O(0)
= (-3), M(-2), N(2), O(0)
На плоскости	= (-1,1), M(1,-3), N(2,2), O(0,0)
= (0,5), M(1,4), N(4,-2), O(0,0)
= (3,-2), M(-3,-2), N(2,1), O(0,0)
В пространстве	= (1,2,1), M(5,5,-1), N(4,-3,2), O(0,0,0)
= (2,2,0), M(1,-3,0), N(0,1,4), O(0,0,0)

3) Является ли данное отношение r на множестве X отношением эквивалентности?

X – множество натуральных чисел, a b, если a < b

X – множество действительных чисел, a b, если a ≤ b

X – множество прямых на плоскости, a b, если a | | b.

X – множество целых чисел, a b, если (a - b) делится на 2