Доказательство теоремы

Введем декартову систему координат так, чтобы гиперболический параболоид задавался каноническим уравнением: .

Рассмотрим два семейства прямых:

Семейство (I): (*) (где l - действительный параметр),

Семейство (II): (**) (где µ - действительный параметр).

Докажем, что (I) и (II) семейства обладают свойствами (1) – (4).

(1) Докажем, что любая прямая из (I) лежит на гиперболическом параболоиде (для семейства (II) аналогично).

Пусть прямая l принадлежит семейству (I). Тогда существует такое число l, что прямая l задается системой (*)

Возьмем точку M(x,y,z) на прямой l, тогда ее координаты удовлетворяют системе (*) и, следовательно , значит, точка M лежит на параболоиде.

(2) Пусть точка M(x₀,y₀,z₀) лежит на параболоиде, то есть .

Возьмем l = . Прямая из семейства (I), которая задается системой (*), проходит через точку M (так как координаты (x₀,y₀,z₀) удовлетворяют данной системе).

Аналогично, возьмем µ = . Прямая семейства (II), которая задается системой (**), проходит через точку M.

(3) Исследуем взаимное расположение двух прямых из семейства (I) (семейство (II) аналогично).

Заметим, что различным значениям параметра l соответствуют различные прямые семейства (I), и наоборот, различным прямым семейства (I) соответствую различные значения параметра l.

Найдем направляющий вектор прямой семейства (I): t = = .

Пусть l₁ и l₂ две различные прямые из (I), l₁ и l₂ соответствующие им параметры (l₁≠l₂), t₁ и t₂ – направляющие векторы этих прямых (соответственно). .

1.Векторы t₁ и t₂ не коллинеарны, так как , следовательно, прямые l₁ и l₂ не параллельны;

2. Система не имеет решений, следовательно, прямые l₁ и l₂ не имеют общих точек.

Итак, прямые l₁ и l₂ не параллельны и не имеют общих точек, то есть l₁ и l₂ скрещиваются.

(4) Исследуем взаимное расположение двух прямых из разных семейств.

Пусть прямая l из семейства (I) и задается системой (*), прямая m из семейства (II) и задается системой (II).

Система имеет единственное решение , , ,

следовательно, прямые l и m пересекаются.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида

Теорема.

Для любого однополостного гиперболоида существуют два семейства прямых, такие что: (1) Любая прямая каждого семейства полностью лежит на гиперболоиде;

(2) Через каждую точку гиперболоида проходит ровно одна прямая из каждого семейства;

(3) Любые две прямые из одного семейства скрещиваются;

(4) Любые две прямые из разных семейств либо пересекаются, либо параллельны. При этом, для любой прямой из одного семейства существует ровно одна параллельная ей прямая из другого семейства.

Доказательство.

(Провести самостоятельно).

Указания.

1) Ввести декартову систему координат так, чтобы однополостный гиперболоид задавался каноническим уравнением: .

2) Рассмотреть два семейства прямых:

Семейство (I): или (*) (где l - действительный параметр),

Семейство (II): или (**) (где µ - действительный параметр).

3) Найти направляющие векторы прямых из разных семейств, и доказать, что эти векторы коллнинеарны тогда, и только тогда, когда для параметров l и µ выполняется соотношение lµ = -1.

Упражнения.

(1)Докажите, что существуют прямолинейные образующие для конуса и для любого цилиндра.

(2)Найти прямолинейные образующие поверхности P, проходящие через точку M:

1) P: , M(1,-1, -3); 2) P: , M(1,1, -3).

(3) Найдите все прямолинейные образующие поверхности P (или докажите, что их нет) параллельные плоскости a, заданной уравнением x + y + z = 10, если: 1) P: ; 2) P: .