Барицентрическая система координат в пространстве

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную четверку точек, не лежащих в одной плоскости:(A₁, A₂, A₃, A₄).

Теорема. Для любой точки A плоскости E³ существует однозначно определенный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃+ l₄A₄ и l₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1.
Доказательство (???самостоятельно ***).

Определим отображение b: E³ ® { (l₁, l₂, l₃, l₄) | l₁, l₂, l₃, l₄ Î R , ₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1} (°) по следующей формуле: b (A) = (l₁, l₂, l₃, l₄), если A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃ + l₄A₄.

Определение. Отображение b (°) будем назвать барицентрической системой координат в пространстве.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что b(A) = (l₁, l₂, l₃, l₄) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

Примеры применения барицентрической системы координат

Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂.

Тогда для того, чтобы прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = 1.

Доказательство.

Рассмотрим барицентрическую систему координат на плоскости с фиксированным набором точек (A,B,C).

Точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, тогда ее барицентрические координаты таковы, что C₁ = (1- l₁)A + l₁B и m₁ = .

Точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, тогда ее барицентрические координаты таковы, что A₁ = (1- l₂)B + l₂C и m₂ = .

Точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₃, тогда ее барицентрические координаты таковы, что B₁ = (1- l₃)C + l₃A и m₃ = .

1) Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке - в точке O.

Так как точка O лежит на прямой AA₁, то существует такое число a, что O = (1-a)A + aA₁,

То есть O = (1-a)A + a(1- l₂)B + al₂C (1).

Так как точка O лежит на прямой BB₁, то существует такое число b, что O = (1-b)B + bB₁,

То есть O = (1-b)B + b(1- l₃)C + bl₃A = bl₃A + (1-b)B + b(1- l₃)C (2).

Так как точка O лежит на прямой CC₁, то существует такое число g, что O = (1-g)C + gC₁,

То есть O = (1-g)C + g (1- l₁)A + gl₁B = g (1- l₁)A + gl₁B + (1-g)C (3).

Из равенств (1),(2),(3) (так как барицентрические координаты точки определены однозначно) следует, что bl₃ = g (1- l₁), a(1-l₂) = gl₁, al₂ = b(1-l₃).

Итак, m₁ m₂ m₃ = = = 1.

2) Докажем, что если точки A₁, B₁, C₁ такие, что m₁ m₂ m₃ = 1, то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Пусть точка O - точка пересечения прямых AA₁и BB₁.

Через точки C и O проведем прямую, и пусть точка C₁’ - точка пересечения прямых CO и AB. Докажем, что точки C₁ и C₁’ совпадают.

Пусть точка C₁’ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁’.

По первой части доказательства, так как прямые прямые AA₁, BB₁ и CC₁’ пересекаются в одной точке, то m₁ m₂ m₃’ = 1.

Следовательно, m₃ = m₃’ и барицентрические координаты точек C₁и С₁’ совпадают, значит совпадают и сами точки.

РИС.18 (1,2)

Примеры.

Используя теорему Чевы легко доказать (докажите), что медианы (высоты, серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы углов) в треугольнике пересекаются водной точке.

Теорема Менелая. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂. Тогда для того, чтобы точки A₁, B₁ и C₁ лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = -1.

Доказательство(аналогично доказательству теоремы Чевы).