Основы работы в среде Mathcad
Введение
Современный уровень развития прикладного программного обеспечения для решения задач вычислительной математики позволяет отказаться от использования языков программирования класса FORTRAN, C, PASCAL для решения инженерных задач среднего и даже высокого уровня сложности, связанных с проведением специальных вычислительных операций. К наиболее универсальным системам программирования математических задач, имеющим распространение, можно отнести ``MathCAD" (версии от 2.54 до 12+), ``Matlab" (версии 3.0-8.0), ``Mathematica 6.22", ``Mathview" и ряд других пакетов. Преимущества использования этих математических пакетов для решения расчетных задач прикладного характера, по сравнению с традиционными языками программирования, обусловлены значительно меньшей трудоемкостью написания и отладки вычислительной программы, что достигается за счет применения встроенного языка высокого уровня и удобного пользовательского интерфейса. Перечисленные выше системы могут быть разделены на две группы: 1) системы, обладающие APL-подобным языком программирования (три последних перечисленных пакета); 2) системы, имеющие встроенный процессор написания программ на внутреннем языке системы (MathCAD). В последнем пакете мощный графический интерфейс системы, максимально приближенный к традиционному математическому языку, позволяет пользователю целиком сосредоточиться на решаемой им задаче, а не думать о способах представления данных в памяти ЭВМ, размерностях массивов, типах переменных и т. п.
Указанные выше математические пакеты используются в преподавании ряда технических и естественнонаучных дисциплин. Математические пакеты первой группы, основным достоинством которых является эффективность написания и выполнения вычислительных программ, в которых осуществляются матричные операции линейной алгебры, применяются при изучении некоторых методов моделирования динамики и статики распределенных систем. В частности, такой распространенный численный метод решения задач, как метод конечных элементов для решения статических и динамических задач строительной механики, может быть легко запрограммирован в Мatlab-подобной системе программирования. При этом размер программы и время ее написания и отладки на 1-2 порядка меньше, чем в случае применения традиционного языка FORTRAN. Последнее обстоятельство позволяет учащимся больше внимания уделить сути рассматриваемого алгоритма, отвлекаясь от трудоемкого процесса программирования. Пакет ``Mathematica", имеющий много схожих с ``Matlab" внешних черт (в частности близкий язык программирования), дополнен мощным средством для проведения аналитических операций с математическими выражениями в символьной форме. Количество встроенных численных и символьных функций в этом пакете охватывает большинство математических вопросов, с которыми можно столкнуться в инженерной и исследовательской деятельности. Пакет ``Мathview", так же очень близкий по стилю к ``Matlab", обладает несколько более лучшим интерфейсом, по сравнению с последним, и может быть рекомендован к применению в учебных целях. Использование для расчета Matlab-подобных систем оправдано при необходимости проведения объемных вычислений с большим количеством матриц и в случае разветвленного логического дерева программы. Недостатком этих систем является меньшее быстродействие вычислительных программ. Однако для большинства учебных и практических целей быстродействия этих систем вполне достаточно.
Универсальная система программирования математических задач ``MathCAD" занимает особое место среди других математических пакетов, что связано с предельно упрощенным способом написания и визуального представления разработанных в системе программ. Вычислительная мощность последних версий системы может удовлетворить запросы весьма требовательных пользователей. Начиная с третьей версии, в этой системе возможны символьные операции. В учебном процессе система может использоваться для проведения лабораторных и практических работ по дисциплинам многоканальные системы телекоммуникаций, системы радиосвязи, радиовещания и телевидения, радиоэлектронные системы. Освоение системы позволяет студентам выполнять практические и курсовые задания высокой сложности и трудоемкости с точки зрения объема и характера вычислений, что было бы невозможно при применении традиционных языков и систем программирования (Cи, FORTRAN и т. д.). Так, начиная изучение MathCAD с решения простых задач, студенты овладевают достаточными навыками, чтобы решать в среде ``MathCAD" весьма трудоемкие в вычислительном плане задачи электродинамики (расчет антенн, моделирование электромагнитных полей в волноводах и резонаторах и т. д.). Очевидно, что это становится возможным исключительно благодаря ``дружественности" пользователю интерфейса этой системы.
Mathcad — универсальная программа, которая представляет собой автоматизированную систему, позволяющую динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа Mathcad сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов. Mathcad, в отличие от аналогичных современных математических приложений (Mathematica, MathLab, Maple), построен в соответствии с принципом WYSIWYG («What You See Is What You Get») — (« что Вы видите, то Вы и получите»), поэтому он прост в использовании. Математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации — имеют точно такой же вид, как в книге, тетради, на доске. Запись на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач, благодаря чему Mathcad является сегодня наиболее популярным математическим приложением.
Mathcad ориентирован на IBM-совместимые ПК. Пакет работает в графическом режиме, т.к. только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. Mathcad поддерживает работу со многими типами принтеров и плоттеров, с основными типами адаптеров и дисплеев. Поддерживаются все соглашения и возможности интерфейса Windows, OLE2-технология, архитектура «Клиент-сервер».
Mathcad - уникальный, мощный способ работать с уравнениями, числами, текстом, и графиками. В отличие от любого другого математического программного обеспечения, Mathcad производит математические вычисления тем же самым способом, каким это обычно делается. Дело в том, что они выглядят так, как будто они написаны карандашом и осуществляются при этом они сверхоперативно. Экранный интерфейс Mathcad - незаполненный рабочий лист, в которой Вы можете вводить уравнения, данные графика или функции, и аннотировать текстом - где-нибудь на странице. Mathcad — это идеальный математический инструмент для пользователей, работающих в области техники или естественных наук, а также для студентов, преподавателей и школьников. Mathcad выгодно отличается от других программ компьютерной математики возможностью свободно компоновать рабочий лист и легкостью в изучении. И вместо того, чтобы вынуждать Вас к использованию программно-подобного громоздкого синтаксиса, Mathcad позволяет Вам пользоваться изящным языком математики.
На языке программирования, например, уравнения выглядят следующим образом:
x=(-B+SQRT(B**2-4*A*C))/(2*A)
В электронной таблице, уравнения, вводящие значения в ячейки, выглядят похоже на что-нибудь вроде этого:
+(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/(2*A1)
В Mathcad, то же самое уравнение выглядит таким, каким Вы увидели бы его в тексте учебника или справочнике:
Единственная разница - в том, что уравнения Mathcad и графики являются живыми (действующими). Измените любые данные, переменную, или уравнение, и Mathcad повторно вычисляет математически и перерисовывает графики немедленно.
С Mathcad Вы можете решать в широких пределах технические проблемы - от простого к самому сложному - численно или символьно. Вы можете также делать видимыми уравнения и данные построением двухмерных и трехмерных графиков. Вы можете даже пояснять вашу работу графиками, взятыми из другого приложения Windows.
С Электронными Книгами Mathcad Вы также получаете богатство математического знания и возможность ссылаться на "живой" ("действующий") материал, готовый, по вашему желанию, к помещению в ваши рабочие листы.
Наиболее важно, что Mathcad дает Вам всю мощность, которая Вам необходима для выполненния работы - от начала до конца. С Mathcad Вы можете действительно делать это все - решать проблемы, формировать идеи, анализировать данные, моделировать, проверять сценарии, выбирать лучшее решение, затем документировать, представлять и выводить результаты.
При использовании связей Mathcad с электронной почтой, Lotus Notes®, и Всемирной Паутиной (World Wide Web), Вы можете также делиться вашими рабочими листами Mathcad с коллегами и другими профессионалами. Что означает, что Вы легко можете сотрудничать в течение любой стадии проекта - и Вы можете делать это на богатом и мощном языке математики.
Меню и панели инструментов
Главное меню (рис. 3) является вашими воротами к математическим выражениям, графике и символическим функциями, и обеспечивает команды, посредством которых Вы управляете вашими рабочими листами, и редактируете их.
Рисунок 3 – Главное меню
Подключение дополнительных панелей осуществляется следующим образом (рис. 4).
Рисунок 4 – Вид главного меню с активной позицией Вид/Панели
Используя общую наборную панель, можно вывести или все панели сразу, или только те, что нужны для работы. Для установки с их помощью необходимого шаблона (объекта) достаточно поместить курсор в желаемое место окна редактирования (красный крестик на цветном дисплее) и затем активизировать пиктограмму нужного шаблона, установив на него курсор мыши и нажав ее левую клавишу
Применение панелей для выбора шаблонов математических знаков очень удобно, поскольку не надо запоминать разнообразные сочетания клавиш, используемые для ввода специальных математических символов. Впрочем, и эта возможность сохранена, так что привыкшие к работе с клавиатурой пользователи, имевшие дело с более ранними версиями системы Mathcad (в том числе и под MS-DOS), могут воспользоваться навыками виртуозного набора формул и после перехода на новую версию системы.
Любую панель с математическими знаками можно переместить в удобное место экрана, уцепившись за ее верхнюю часть курсором мыши. Перемещая панель, левую клавишу мыши нужно держать нажатой. В верхнем левом углу каждой наборной панели помещена единственная маленькая кнопка с жирным знаком минуса, служащая для устранения панели с экрана, как только она становится ненужной.
Большинство кнопок на панелях выводят общепринятые и специальные математические знаки и операторы, помещая их шаблоны в место расположения курсора на документе.
Строка сообщения внизу Mathcad-окна (рис. 5) выдает Вам сигнал тревоги, подсказки, горячую клавиатуру, и другую полезную информацию.
Рисунок 5 – Строка сообщения
Там также перечисляются состояния вычислений в вашем рабочем листе - "авто", здесь означает, что рабочий лист находится в автоматическом режиме, что означает, что Mathcad автоматически повторно вычислит любые математические выражения, если Вы редактируете содержание вашего рабочего листа.
Меню в Mathcad похоже на меню приложений Microsoft Office (табл.1).
Таблица 1 - Меню Mathcad
| Пункт меню | Краткое описание назначения |
| Файл | Стандартное меню MS Office |
| Правка | Команды: отменить результат операции, вырезать, копировать, вставить, найти, заменить, удалить, выделить все, проверить орфографию, создать связь с другими файлами, редактировать объект |
| Вид | Команды управления панелями инструментов (стандартная, форматирование, математика и др.), линейками и направляющими, настройка анимации, изменение масштаба изображения, изменение общих настроек программы |
| Вставка | Команды создания графиков, матриц, функций, рисунка, области и прочих объектов |
| Формат | Команды изменения шрифта, цвета, выравнивания, интервалов текста, изменение формата графика, области, колонтитулов |
| Математика | Команды обновления результатов вычисления, корректирование результатов, переключение между автоматическим и ручным вычислением, автоматическая оптимизация, изменение математических параметров |
| Символика | Команды вычисления выражений различными путями, упрощения, расширения, отложения, нахождения термов и коэффициентов полинома, работа с переменными и матрицами, преобразование переменных и изменение отображения символов ответов |
| Окно | Стандартные команды приложения Microsoft Office |
| Помощь | Стандартные команды приложения Microsoft Office |
Предопределенные переменные
Mathcad содержит восемь переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Эти переменные называются предопределенными или встроенными переменными. Предопределенные переменные или имеют общепринятое значение, подобно и e, или используются как внутренние переменные, управляющие работой Mathcad, подобно ORIGIN и TOL.
Хотя эти переменные уже имеют значения при запуске Mathcad, их можно переопределять. Например, если нужно использовать переменную, называемую e, со значением иным, чем используемое Mathcad, введите новое определение, например e:=2 . Переменная e примет в рабочем документе новое значение всюду ниже этого определения.
Предопределенные переменные Mathcad определены для шрифтов всех гарнитур, размеров и начертаний. Это означает, что, если переопределить e как показано выше, можно все еще использовать e, или e как основание натуральных логарифмов. Сказанное не относится к греческим буквам, то есть , хотя она печатается как “e” в шрифте Symbol, не одно и то же, что e.
Можно управлять значениями TOL, ORIGIN, PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH без необходимости явно определять их в рабочем документе. Выберите Встроенные переменные из меню Математика /Опции— появится диалоговое окно, показанное ниже (рис. 6).
Чтобы установить новое значение любой из этих переменных, введите его в соответствующее поле и нажмите “OK”. Затем выберите Пересчитать всё из меню Математика, чтобы новое значение встроенной переменной было учтено при обсчете существующих формул.
Числа в скобках справа от имён переменных представляют значения по умолчанию этих переменных. Справа от полей указаны допустимые диапазоны значений переменных.
Ниже приводится полный список предопределенных переменных Mathcad и их значений по умолчанию (таблица 2).
Имена в Mathcad могут содержать любые из следующих символов:
· Прописные и строчные латинские буквы.
· Цифры 0 до 9.
· Знак подчёркивания ( _ ).
· Штрих ( ` ). Обратите внимание, что это не то же самое, что апостроф. Этот символ находится на одной клавише с тильдой (~).
· Символ процента (%).
· Греческие буквы. Чтобы вставить греческую букву, напечатайте соответствующую римскую букву и нажмите [Ctrl]G. Greek letters;in equations
· Символ бесконечности 
, производимый нажатием [Ctrl]Z.
· Имена функций и переменных не могут включать пробелы или любые иные символы, не перечисленные выше.
· К именам переменных относятся следующие ограничения:
· Имя не может начинаться с цифры, знака подчеркивания(_ ), штриха ( ` ), или символа процента (%).
· Символ бесконечности может быть только первым символом в имени.
· Любые символы, напечатанные после нажатия клавиши точки (.), будут записаны как нижний индекс.
· Все символы в имени должны быть напечатаны шрифтом одной гарнитуры, размера и начертания (курсив, полужирный, и т.д.). Это условие не накладывает ограничений на появление в любом имени греческих букв.
· Mathcad не делает различий между именами переменных и именами функций. Таким образом, если определить вначале f(x), а затем переменную f, окажется невозможным использовать f(x) где-либо ниже определения f.
· Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц измерения и функций. Хотя эти имена можно переопределить, имейте в виду, что это уничтожит их встроенные значения. Например, если определить переменную mean, встроенная функция Mathcad mean(v) не сможет больше использоваться.
Mathcad различает в именах символы верхнего и нижнего регистра. Например, diam — переменная, отличная от DIAM. Mathcad также различает в именах различные шрифты. Поэтому DIAM — также отличная от DIAM.
Рисунок 6 - Окно вкладки меню Математика /Опции/ Встроенные переменные
Таблица 2 - Предопределенные переменные Mathcad и их
значения по умолчанию
| Переменная = значение по умолчанию | Определение и использование |
| π = 3.14159 ... | Пи. В численных расчетах Mathcad использует значение с учётом 15 значащих цифр. В символьных вычислениях сохраняет своё точное значение. Чтобы напечатать , нажмите [Ctrl]P. |
| e = 2.71828 ... | Основание натуральных логарифмов. В численных расчетах Mathcad использует значение e с учётом 15 значащих цифр. В символьных вычислениях e сохраняет своё точное значение. |
| A = 10307 | Бесконечность. В численных расчетах это заданное большое число. В символьных вычислениях — бесконечность. Чтобы напечатать , нажмите [Ctrl]Z. |
| % = 0.01 | Процент. Используйте его в выражениях подобных 10* % или как масштабирующий множитель в поле, отводимом для единиц размерности. |
| TOL = 10-3 | Допускаемая погрешность для различных алгоритмов аппроксимации (интегрирования, решения уравнений и т.д.). Подробнее см. разделы по процедурам, использующим TOL. |
| ORIGIN = 0 | Начало массива. Определяет индекс первого элемента массива. |
| PRNCOLWIDTH = 8 | Ширина столбца, используемая при записи файлов функцией WRITEPRN. |
| PRNPRECISION = 4 | Число значащих цифр, используемых при записи файлов функцией WRITEPRN. |
| FRAME = 0 | Используется для создания и просмотра анимаций. Когда анимации не используются, равна нулю. |
Примеры решения практических задач электродинамики и
Распространения радиоволн
Электромагнитные поля определяются [1] путём задания в каждой точке пространства четырёх векторов:
(х,y,z,t) – вектор напряженности электрического поля 
.
(x,y,z,t) – вектор электрического смещения 
.
(x,y,z,t) – вектор индукции магнитного поля 
.
(x,y,z,t) – вектор напряженности магнитного поля 
.
Эти векторы не являются независимыми. Попарно векторы , а также , связаны друг с другом с помощью материальных уравнений. Наиболее простой вид материальные уравнения имеют для однородных изотропных сред, относительные значения диэлектрической 
и магнитной 
проницаемостей которых имеют постоянные значения для любой точки наблюдения электромагнитного поля:
; 
(2.1)
Вектора , , , в общем случае зависят как от координат точки наблюдения 
так и от времени 
и могут быть найдены из системы уравнений Максвелла, решениями которой они являются:
1) 
;
2) 
;
3) 
; (2.2)
4) 
;
В этих уравнениях: 
- коэффициент удельной электропроводности среды, в которой рассматривается электромагнитное поле, 
- напряженность электрического поля сторонних источников , 
- объемная плотность сторонних электрических зарядов; 
- плотность токов проводимости.
В дальнейшем будем называть сторонними токами, такие токи, которые вызываются электрическими полями 
сторонних источников, причём, их плотность 
может быть вычислена по формуле: 
.
Отметим, что для полей независящих от времени
.
В этом случае система (2.2) распадается на две независимые системы: а) систему уравнений электростатики, определяющую постоянные во времени поля , и б) систему уравнений магнитостатики, определяющую постоянные во времени поля , .
Для электромагнитных полей, зависящих от времени из системы уравнений Максвелла (2.2) следует взаимосвязь изменения их электрических и магнитных полей. Наиболее просто в этом убедиться, если рассматривать зависящее от времени электромагнитное поле в среде, в которой нет сторонних зарядов, сторонних токов , плотность которых может быть вычислена по формуле , и отсутствует проводимость ( 
) .
Таким условиям соответствует электромагнитное поле в вакууме, в котором отсутствуют источники сторонних токов и зарядов. Очень близкими свойствами обладает сухой воздух, проводимостью которого в обычных условиях можно пренебречь.
В этом случае первые два уравнения системы (2.2) связывают между собой изменение в пространстве и времени электрического и магнитного полей. Отсюда следует основное свойство зависящих от времени электромагнитных полей, состоящее в согласованности изменения электрического и магнитного поля.
Так, при изменении во времени электрического поля возникает изменяющееся в пространстве переменное магнитное поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве электрического поля. И, наоборот, при изменении во времени магнитного поля возникает изменяющееся в пространстве переменное электрическое поле, которое приводит к появлению меняющегося в пространстве магнитного поля.
Физическая причина такой взаимосвязи является следствием закона электромагнитной индукции и наличием тока смещения, связывающих между собой электрическое и магнитное поля. Причём, взаимосвязь электрических и магнитных полей имеет место даже в отсутствии сторонних токов и зарядов, являющихся источниками электромагнитного поля.
Процесс согласованного изменения электрического и магнитного полей в пространстве и времени, при распространении электромагнитного возмущения из одной точки пространства в другую, получил название электромагнитной волны.
Источниками электромагнитных волн, как это следует из системы уравнений Максвелла (2.2.), являются меняющиеся во времени сторонние токи и заряды.
Существование электромагнитных волн впервые было предсказано английским физиком М.Ф. Фарадеем в 1832г. В 1865г. английский физик Дж. К. Максвелл теоретически показал, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света. Подтверждение открытых свойств электромагнитных волн и обширные их экспериментальные исследования было сделано немецким физиком Г. Герцем (1887-1888).
В ходе экспериментальных исследований свойств электромагнитных волн Г. Герц обнаружил, что законы распространения электромагнитных волн и света одинаковы. В частности, у них одинаковый характер преломления и отражения от диэлектрических и металлических тел.
В большинстве случаев электродинамические задачи решаются, как и в радиотехнике, в спектральной области и решение ищется для гармонических процессов. Предполагается, что ЭМП имеет монохроматический характер, т.е. частота колебаний векторов ЭМП постоянна. В этом случае используется метод комплексных амплитуд (МКА). При этом имеется в виду
. (2.3)
Величина 
называется комплексной амплитудой функции 
. Символ Re обозначает выделение действительной части комплексного числа 
.
Аналогично можно записать в комплексной форме и векторную величину
. (2.4)
Для дальнейшего анализа важны следующие свойства комплексных представлений гармонических процессов.
1) Дифференцирование 
по времени t равносильно умножению 
на 
:
. (2.5)
2) Интегрирование по t равносильно делению 
на :
. (2.6)
3) Справедливо следующее соотношение:
, (2.7)
, знак 
означает усреднение по t в интервале 
.
Рассмотрим некоторые примеры решения некоторых задач электродинамики.
Пример 1. Векторы электромагнитного поля. Уравнение состояния. Тензорные соотношения в электродинамике. Групповая скорость. Сопротивление излучение.
Рассмотрим основные понятия электродинамики, которые помогут в решении наших задач.
вектор напряженности электрического поля, [В/м];
вектор напряженности магнитного поля, [А/м];
вектор электрической индукции, [Кл/м];
вектор магнитной индукции, [Тл];
Для изотропных сред уравнение состояния
Для анизотропных сред уравнение состояния носят тензорный характер
Используя пакет Mathcad, для нахождения вектора электрической индукции D в анизотропной среде определим
диэлектрическая проницаемость вакуума, [Ф/м].
- относительная диэлектрическая проницаемость.
вектор напряженности электрического поля, [В/м].
По формуле определяем вектор электрической индукции
Получаем
.
Пример 2. Групповая скорость.
,
где 
вектор Пойтинга. Его величина есть плотность потока мощности электромагнитного поля.
плотность энергии.
Физический смысл 
: скорость распространения энергии (скорость передачи информации).
Для нахождения групповой скорости в пакете Mathcad определим:
вектор напряженности электрического поля, [В/м].
[Гн/м]; 
[В/м] - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума.
- относительную магнитную проницаемость.
вектор напряженности магнитного поля, [А/м].
диапазон значений относительной диэлектрической проницаемости.
плотность энергии.
вектор Пойтинга.
искомая групповая скорость, ниже представлен полученный результат в виде графика зависимости (рис.11).
Пример 3. Сопротивление излучения.
Сопротивление излучения эквивалентно некоторому реальному активному сопротивлению, при подключении которого к линии передачи вместо антенны в нем рассеивается в виде тепла такая же мощность, которая излучается антенной в пространство. Значение сопротивления излучения необходимо при согласовании антенны с линией передачи.
|
|
Для нахождения сопротивления излучения в пакете Mathcad определим
длину волны;
диапазон её изменения.
Сопротивление излучения равно
Результаты расчета представим в виде графика (рис.12).
|
|
|
Пример 4. Элементарный электрический излучатель.
На рис. 13 показан элементарный электрический вибратор – диполь Герца в виде короткого проводника, по которому течет ток 
. Диполь расположен вдоль оси Z прямоугольной системы координат XYZ. Амплитуда тока 
и его начальная фаза во всех точках диполя одинаковы, так как длина диполя 
. На рисунке показана точка наблюдения Р в дальней зоне, заданная сферическими координатами 
. 
– проекция точки Р на плоскость ХY.
 |
Рисунок 13 - Диполь Герца
В электродинамике получено выражение, определяющее комплексную амплитуду вектора Е поля диполя в дальней зоне:
, (2.8)
где r – расстояние от диполя до точки Р в дальней зоне;
– волновое число свободного пространства;
– диаграмма направленности диполя в плоскости Е;
– диаграмма направленности диполя в плоскости Н.
Поляризация поля в дальней зоне линейная. Плоскостью Е является плоскость 
, плоскостью Н – плоскость XY, т.е. 
.Из выражения (9.1) следует, что в дальней зоне поле диполя Герца представляет собой сферическую волну, на что указывает множитель 
.
Представим диаграмму направленности в полярной системе координат. Поле диполя Герца рассчитаем в дальней зоне.
Использую пакет Mathcad, определим поле такого вибратора в точке наблюдения, расстояние до которого составляет 100 метров.
расстояние до вибратора [м].
значение величины, обратной длине волны.
амплитуда тока в проводнике.
Диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума соответственно равны 
[В/м], 
[Гн/м].
Выражения, определяющие поле вибратора в однородной изотропной среде
.
При 
[В/м]; 
[А/м].
Рассмотрим полученные графики зависимостей 
и 
от 
(рис.14).
|
|
|
Рассмотрим ДН в плоскости вектора E. (рис.15)
Плотность потока мощности диполя Герца выражается в виде
[Вт].
Плотность потока энергии диполя Герца выражается в виде
При 
, 
[Вт/м2].
На рис. 16 представлены зависимости 
и 
в декартовой и полярной системе координат.
|
| |