Изображение рефлексивных систем

В.А. Лефевр

Конфликтующие структуры^[1]

Источник сканирования: Лефевр В.А. Конфликтующие структуры. Издание второе, переработанное и дополненное. — М.: Изд-во «Советское радио», 1973. — 158 с. с ил.

СОДЕРЖАНИЕ

От редакции

Предисловие

От автора (к первому изданию)

Введение

Глава I. АЛГЕБРА РЕФЛЕКСИВНЫХ ПРОЦЕССОВ

Глава II. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И РЕФЛЕКСИВНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Глава III. РЕФЛЕКСИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Глава IV. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ РЕФЛЕКСИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Глава V. УСТРОЙСТВА, ПРЕВРАЩАЮЩИЕ ОПАСЕНИЯ В ЯВЬ

Глава VI. РЕФЛЕКСИВНЫЕ СВЯЗИ В КОЛЛЕКТИВАХ

Глава VII. ОБЪЕКТЫ КАК СИСТЕМЫ

Глава VIII. ЯНУС-КОСМОЛОГИЯ

Глава IX. СИСТЕМЫ, НАРИСОВАННЫЕ НА СИСТЕМАХ .

Заключение

Приложение. НА ПУТИ К ПСИХОГРАФИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКЕ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ЛЕФЕВР

Список литературы

ОТ РЕДАКЦИИ

В книге рассматривается достаточно интересный подход к исследованию систем, «наделенных разумом». Несмотря на всю дискуссионность этого подхода, на спорность многих положений и необычную терминологию автора, редакция надеется, что книга принесет определенную пользу, как в разработке практических приложений, этой теории, так и в детальной критической оценке применимости модели рефлексии в различных областях науки.

Некоторые иллюстрации, приводимые автором, может быть не совсем удачны. В частности, это относится к объяснению различных религиозных феноменов с помощью особых операторов осознания. Книга не рассчитана на читателя, способного воспринимать лишь абсолютные истины. Она заставляет читателя думать — лучшее средство, чтобы рано или поздно преодолеть те трудности, которые сейчас испытывают кибернетики. Построить немедленно, как хотелось бы, «мыслящий автомат» или машину для автоматического перевода с одного языка на другой оказалось не так-то просто, как это казалось лет 10—15 тому назад. Делается все более очевидным, что необходимо искать новые пути, новые подходы. Одной из таких попыток наметить некоторые пути выхода из этого тупика и является предлагаемая читателям книга.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Второе издание существенно отличается от первого. Если в первом издании основной акцент делался на исследования конфликтных ситуаций, то в этой книге автор пытается рассмотреть рефлексивную феноменологию более широко. Конфликты выступают лишь одним, из частных случаев взаимодействия, в которых реализуются рефлексивные структуры, являющиеся, вообще говоря, инвариантами совершенно различных типов взаимодействия. Одни и те же структуры могут реализовываться как в конфликте, так и в ситуациях сотрудничества.

Наибольшие изменения претерпел материал, связанный с исследованием рефлексивных процессов. Иначе вводятся операторы осознания. Другой способ их введения позволил прояснить возникновение феномена «фокальных точек». Более подробно изложены результаты экспериментального исследования, показавшие возможность создания автоматов, улучшающих свою работу в результате противодействия человека.

За время, истекшее с момента выхода первого издания, существенные результаты в этом направлении получены П.В. Барановым, В.Е. Лепским, А.Ф. Трудолюбовым. Они также изложены в этом издании. Февраль 1971 г.

ОТ АВТОРА (К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ)

Утилитарные задачи принятия оптимальных решении в конфликте заслонили теоретические исследования конфликта как особого феномена. Классическая теория игр, являющаяся, по существу, главой теории принятия оптимальных решений, начинает пониматься как теория, способная вскрыть основные законы, управляющие конфликтам. Она плохо оправляется с этой задачей, ибо была создана для других целей.

Интеллектуальные процессы, протекающие при взаимодействии сложных систем, не исследуются, поскольку отсутствуют логические средства их фиксации. Автор полагает, что создание таких средств — главная задача построения теории конфликта, так как конфликт — это прежде всего конфликт мыслящих. Сознательная деятельность, порождающая решение, должна стать объектом специального исследования.

Конфликт мыслящих во многих случаях проявляется через «физическое» взаимодействие. Поэтому помимо логических средств исследования интеллектуальной деятельности необходимо строить теоретические модели различных «физических» взаимодействий конфликтующих систем.

Автор выражает глубокую благодарность за помощь в работе и ценные советы Т.С. Пастуховой, Г.Е. Журавлеву, В.Е. Лепскому, Д.А. Поспелову, В.Н. Садовскому, Э.Г. Юдину, Г.Л. Смоляну.

Сентябрь 1967 г. В. Лефевр

ВВЕДЕНИЕ

Естественнонаучная традиция, окончательно сложившаяся в первой половине нашего столетия, содержит в своей основе два скрытых постулата. Первый постулат, если его попытаться выразить «апокрифически», гласит: «Теория об объекте, имеющаяся у исследователя, не является продуктом деятельности самого объекта». Второй постулат: объект не зависит от факта существования теорий, отражающей этот объект. Естественнонаучная традиция возникла в суровой борьбе с теологическими концепциями. Первый постулат фиксирует доминирующее положение исследователя по отношению к объекту: не существует объектов, принципиально превосходящих исследователя по совершенству, которые способны проникать в замыслы исследователя и либо мешать ему, либо помогать познавать себя. Тезис о том, что «природа не злонамеренна», является одной из форм осознания этого постулата. По существу этот постулат является следствием отказа от признания наличия высшего начала и откровения. Второй постулат порождает возможность говорить о свойствах и законах, присущих вещам. Они существуют объективно и лишь фиксируются исследователем. Если же принять возможность влияния научной концепции на объект, то теория, отражающая некоторую закономерность, может изменить эту закономерность-, и тем самым произойдет саморазрушение истинности теории.

Рассматриваемая нами ситуация принципиально отличается от той, которая хорошо осознана представителями квантовой физики: знания, извлекаемые исследователем, зависят или, более того, являются результатом взаимодействия объекта с прибором. Но сами знания, например фактом своего опубликования, не * оказывают никакого влияния на свойства и характер „физических процессов, которые отражены в этих знаниях. Например, величина постоянной Планка, не зависит от факта «своего опубликования».

Заметим, что поскольку научная концепция не является физическим явлением, ее нельзя считать компонентой прибора.

Два рассмотренных постулата возникли в основном в рамках физических исследований.

Изучение психических явлений имеет длинную историю, в которой переплетаются теологические, психиатрические и собственно научные линии. Конец прошлого века и начало нынешнего характерны попытками превратить психологию в научную теорию. Образцом должны были стать дисциплины, добившиеся наибольших успехов, в первую очередь физика.

Характер исследования психических явлений принципиально иной, нежели физических. Если «данность», лежащая перед физиком, это огромный и сверкающий мир вещей, то «данностью», лежащей перед психологом, является свой сумеречный внутренний мир, который предстает эфемерным и крайне трудно уловимым. Направив взор внутрь себя, психолог пытается репрезентировать, т.е. представить эту «данность» с помощью специальных понятии, синтез которых (удачный или неудачный) выступает для него как «феномен психики».

Этот акт самонаправленности, с целью извлечения «информации» об устройстве «внутреннего мира», был осознан и назван актом интроспекции. Дальнейшая работа психолога является проецированием схемы психики, являющейся результатом самонаблюдения внутреннего мира на других мыслящих и чувствующих.

Внутренний мир другого скрыт от исследователя. Перед ним лежат лишь акты поведения. Но поскольку свои акты поведения порождаются «своей психикой», психолог дополняет объективно наблюдаемые акты чужого поведения «чужой психикой». Таков механизм работы психолога. Различные психологические школы по-разному осознавали этот механизм, но сам он от этого не менялся.

Естественно, что результат работы психолога не является собственно научным результатом. Строго говоря, каждый исследователь должен был бы выработать свою, отличную от других концепцию. Цель сделать психологию научной была очень заманчивой.

В начале нашего века произошло резкое изменение направления психологических исследований: был совершен осознанный отход от метода интроспекции.

Американский исследователь Э. Торндайк предложил прекратить все попытки интроспективного анализа и приступить к исследованию «подлинной данности» — поведения. Так возник бихевиоризм. Этот подход обещал сделать психологию научной. В качестве своего орудия, он выработал конструкцию «черного ящика», имеющего вход — стимул и выход — реакцию. Стимулы могут быть зарегистрированы и измерены, реакции —также зарегистрированы и измерены. Задачей психологии является выяснение функциональных связей между ними.

Таким образом, вся область «духовной феноменологии» должна была остаться вне рамок научного анализа.

Схема бихевиоризма обладает одним удивительным противоречием. Предположим, что в качестве стимула исследователь употребляет некоторый текст, имеющий смысл. Совершенно очевидно, что реакция испытуемого в значительной степени предопределена смыслом. Но текст обретает смысл лишь во внутренних мирах испытуемого и экспериментатора; как физический объект — это последовательность букв или звуков. Следовательно, для того, чтобы выяснить, что является стимулом, экспериментатор должен обратиться к своему внутреннему миру, т.е. совершить интроспективный акт! Более того, он должен предположить, что смысл понят испытуемым, т.е. произвести акт проецирования —наделение испытуемого психикой.

Схема «стимул-реакция», оскопив психологию, не позволяет исследователю зарегистрировать даже такой обычный феномен, как факт обмана, совершенного испытуемым во время эксперимента, поскольку регистрация требует проникновения во «внутренний мир» испытуемого, а такое проникновение запрещено. Таким образом, отказ от интроспекции приводит к содержательному тупику, или вынуждает использовать ее, скрывая это от самого себя.

Помимо бихевиоризма делались и делаются попытки вскрыть основные закономерности функционирования мозга и на этом пути обойти необходимость интроспекции. Но и этот путь не позволяет избежать ее. Дело в том, что физиологические состояния должны быть истолкованы. Например, невозможно регистрировать боль с помощью любого измерительного прибора. Можно измерить только некоторый физический параметр. После этого параметр может быть истолкован экспериментатором как «боль». Исследователь должен обратиться к опыту своей индивидуальной внутренней жизни.

Духовная феноменология регистрируется средствами, «смонтированными» из «духовной субстанции».Ясно, что при этом мы пользуемся «незаконной измерительной техникой». Таким образом, обращение к физиологии не снимает необходимости самостоятельного изучения психических явлений. Мы просто еще раз возвращаемся к классической философской проблеме взаимоотношения духа и субстрата.

Способ соединения понятия духа и материи всегда определялся характером мыслительной техники общества. Например, использовались модели, стержнем которых было отношение «часть-целое», отношение «пронизанности» и другие, с сегодняшней точки зрения, достаточно простые отношения. Они позволяли фиксировать соподчиненность. Например, «хотя душа и не имеет формы, она приобретает, подобно свету, размер и форму тела, в котором она живет» [33].

Сегодня мы располагаем достаточно топкими средствами мыслительной техники. Многие традиционные философские проблемы получили новую жизнь, создав свои собственные дисциплины. Например, классическая проблема — конечна или бесконечна Вселенная, рассматривается в рамках общей теории относительности. Обсуждение этой проблемы с использованием более простых, «обыденных» рассуждений уже неэффективно.

Иной статус у проблемы взаимоотношения духа и материи. Нынешнему инженеру само существование духовной феноменологии представляется неочевидным. Реально существующими являются для него лишь те явления, которые, хотя бы потенциально, могут быть уложены в бихевиористские схемы. Торжество кибернетического подхода — это не только выход на арену новых и продуктивных средств анализа сложных систем, но и колоссальное сужение «онтологического поля», в рамках которого ставятся задачи научного анализа.

Забавно, что проблема «могут ли искусственно созданные вещи быть наделены духом?» превратилась в проблему «могут ли машины мыслить?», а последняя решена Тьюрингом в лучших традициях бихевиоризма.

По-видимому, одной из главных методических задач исследования сложных объектов является выработка особых картин действительности, в которых между духовной и материальной феноменологиями устанавливались бы конструктивные отношения. От решения этой Задачи зависит, будем ли мы иметь возможность рассматривать системы, «наделенные интеллектом», как единые системы или нам придется довольствоваться двумя несвязанными планами изучения, оформив свою капитуляцию принципом, напоминающим принцип дополнительности Бора [4].

В этой книге автор, в частности, попытается наметить одну группу средств, которые могут оказаться полезными при решении задач синтеза различных планов изучения.

Итак, духовная феноменология «неустранима». Исследователь не может надеяться на успех при исследовании сложных систем, пытаясь обойти ее. Но признав существование «духовной феноменологии», исследователь признает существование объектов, сравнимых или даже превосходящих его по совершенству. Ибо, объективировав феномен психики, он далее должен допускать различные степени «интенсивности» этого феномена. У него нет никаких оснований поставить себя на вершину шкалы «интенсивности». Но, тем самым, он отказывается от двух постулатов естественнонаучной методологической традиции.

Противопоставление объекта и исследователя оказывается справедливым лишь для объектов, «не наделенных психикой». В случае, когда исследователю противостоит объект, «наделенный психикой», отношение между исследователем и объектом превращается в отношение между двумя исследователями, каждый из которых является объектом по отношению к другому [17].

Наиболее ярко отношения между объектами-исследователями проявляются в конфликте, поэтому он представляет значительный интерес для анализа взаимоотношений исследователя и системы, сравнимой или превосходящей его до совершенству. Проникновение в замысел противника, т.е. анализ его «мыслей» делается жизненно необходимым. Само объективное положение дел вынуждает участника конфликта стать исследователем внутреннего мира своего противника и построить «своеобразную теорию». Но это необычный случай взаимодействия объекта и теории. Объект всячески пытается быть неадекватным теории, он непрерывно «уходит» от построенной теории, делая ее неверной.

Итак, в условиях конфликта происходит нарушение второго постулата.

Легко видеть, что нарушается и первый постулат, когда один из противников навязывает другому определенные представления о самом себе.

Приступая к исследованию социально-психологических явлений, исследователь становится всего лишь од ним из персонажей в специфической игре, которую мы назвали рефлексивной. Поскольку он не может исключить возможность контакта с исследуемыми персонажами, то его теоретические конструкции, будучи ассимилированными этими «другими персонажами», могут кардинально изменить 'функционирование всей системы. С другой стороны, исследователь может оказаться в плену у объекта: его концепция может быть навязана ему объектом.

Видимо, отношения между объектами-исследователями должны стать предметом специального анализа. Частным, но очень интересным случаем является особое исследовательское отношение – рефлексия. Рефлексия в ее традиционном философско-психологическом понимании—это способность встать в позицию «наблюдателя», «исследователя» или «контролера» по отношению к своему телу, своим действиям, своим мыслям.

Мы расширим такое понимание рефлексии и будем считать, что рефлексия — это также способность встать в позицию исследователя по отношению к другому «персонажу», его действиям и мыслям.

Такое более широкое понимание рефлексии позволяет построить целостный предмет исследования и выявить рефлексивные процессы как обособленный феномен, определяющий специфику взаимоотношений объектов-исследователей.

Обратим внимание на то, что проникновение во внутренний мир другого может совершать как психолог, для которого это действие является самоцелью, так и любой субъект, вступающий в естественное общение с другим субъектом. По своей структуре эти отношения неразличимы. Они отличны направленностью и целью проникновения.

Автор поставил своей задачей сделать рефлексивные процессы объектом специального анализа.

Глава 1 АЛГЕБРА РЕФЛЕКСИВНЫХ ПРОЦЕССОВ

Что такое рефлексивная система? Воспользуемся следующей аналогией. Представим себе «комнату смеха», в которой под некоторыми углами друг к другу расставлены зеркала. Пусть в этой комнате со стола упал карандаш. Падение карандаша будет причудливо отражаться в зеркалах, зеркала будут отражаться друг в друге. Уже искаженные траектории падения будут отражаться с различными искажениями. В комнате просверкнет лавина искаженных изображений. Эта аналогия и позволяет ответить на поставленный вопрос. Рефлексивная система — это система зеркал, многократно отражающих друг друга. Каждое зеркало—это аналог «персонажа», наделенного своей особой позицией. Весь сложнейший поток отражений зеркал друг в друге будет аналогом рефлексивного процесса.

Этот пример хорошо иллюстрирует различие между социально-психологическим явлением и физическим. Падение карандаша—физический процесс. Но если нас интересует не только это падение, а весь поток отражений, совершенный персонажами, то мы имеем дело с социально-психологическим явлением.

Представим себе исследователя, вошедшего в эту комнату (исследователь—это особое зеркало). Вся ситуация принципиально изменится. Каждое движение исследователя-зеркала будет сопровождаться непрерывным изменением многократных отражений.

Иногда мы будем говорить о «внешнем исследователе», предполагая, что он не отражается в зеркалах персонажей, которые им исследуются.

Вот, собственно, первоначальная идея нашего построения. Аналогию нельзя понимать буквально. Она служит лишь исходной иллюстрацией.

Ниже мы введем специальный аппарат, предназначенный для исследования рефлексивных процессов. В качестве эмпирии, специфической схематизацией которой является этот аппарат, выбран человеческий конфликт. Но из этого не следует, что аппарат пригоден лишь для анализа конфликтных ситуаций; просто в конфликте рефлексивные процессы выступают наиболее рельефно.

Изображение рефлексивных систем

Обозначим конфликтующих противников символами Х, Y, Z. Чтобы принять решение, Х должен построить модель ситуации (например, особым образом схематизировать плацдарм, на котором происходит взаимодействие, вместе с находящимися на нем войсками). В свою очередь, Y также строит некоторую модель ситуации, но, кроме того, он может осознать, что у его противника Х есть некоторая модель ситуации. В свою очередь, Z может осознать, что внутренний мир Х и Y устроен именно таким образом. Успех в конфликте во многом предопределен тем, как противники имитируют внутренний мир друг друга. Не имея детализированной картины, в которой учитываются особенности рефлексивного строения внутреннего мира противника, невозможно правильно истолковать его действия. Например, некоторое перемещение на местности может решать чисто утилитарную задачу, а может явиться маневром, направленным именно на то, чтобы его отразил противник и принял соответствующее решение.

Однако даже при небольшом числе участников рефлективные процессы имеют сложное строение, и необходим специальный аппарат, позволяющий сделать их предметом анализа.

Изобразим некоторый условный «плацдарм», на котором взаимодействуют три персонажа, в виде прямоугольника и трех кругов (рис. 1). Пусть в момент ti персонаж Х «осознал» ситуацию. Это значит, что у него возникла внутренняя картина плацдарма. Картина, изображения на рис. 1, оказалась перенесенной «внутрь» персонажа Х (рис. 2). Очевидно, что вся система изменилась: у нее появились новые элементы. Пусть в момент ti персонаж Y также произвел осознание сложившейся ситуации. Чтобы изобразить последний процесс, мы должны внутри круга Y перерисовать картину, изображенную на рис. 2 (результат этого «осознания» отображен на рис. 3), Если в момент ts осознаниевновь создавшейся ситуации произвел Z, то мы должны были бы перерисовать все, изображенное на рис. 3, внутрь круга Z. Однако сделать это было бы уже трудно по чисто графическим причинам, да и оперировать с таким изображением крайне неудобно. Поэтому целесообразно ввести Специальный «алгебраический язык», который позволяет изображать подобные процессы любой сложности.

Будем изображать символом Т плацдарм, на котором действуют персонажи. Этому символу соответствует рис. 1. Картины этого плацдарма, которые могут лежать перед персонажами Х, Y и Z, обозначим соответственно Тх, Ту, Tz. Считается: «Т с позиции Х», «Т с позиции Y», «Т с позиции Z»). Элементы Тх, Ту, Tz возникают как результат осознания. На рис. 2 изображен случай, когда осознание 'произвел персонаж Х, но, разумеется, все сказанное справедливо для любого персонажа. Картины, которые есть у одних персонажей, могут отражаться другими. В результате возникают элементы Тху, Txz, Tyz и т.д. (читается: «Тх с позиции Y», «Тх с позиции Z», «Ту с позиции Z и т.д.»). Элементы с двумя индексами также могут отражаться,. в результате чего возникают элементы Тхуz, Тхzу, Тzху и т.д. Они читаются соответственно — «Тху с позиции Z» и т.д. Картина, которую некоторый персонаж имел в момент /i, может быть также осознана им, уже в момент t₂ , причем осознана именно как картина, а не как некоторая «физическая реальность». Вследствие этого возникают элементы типа Тхх, Туу, .Тххх 'и т.д.

Теперь изобразим процесс взаимоотношения трех персонажей .на плацдарме. В момент fi в нашей модели никаких внутренних 'картин у персонажей нет (рис. 1). Системе s этом случае соответствует символ Т. Рефлексивную систему, изображенную на рис. 2, можно представить в виде суммы

Q₁ = Т + Тх. (1)

Она содержит две компоненты: плацдарм и картину плацдарма, лежащую перед X.^* Системе, изображенной на рис. 3, соответствует следующий многочлен:

Q₂ = T + Tx + (T + Tx)y. (2)

Сумма, находящаяся в круглых скобках, это «Т+Тх с позиции Y», ей соответствует картина на рис. 2, перенесенная внутрь круга Y на рис. 3. Подобная символика устраняет трудности, возникающие при графическом изображении таких систем, и тем более трудности, возникающие при фиксации их в естественном языке. Рефлексивную систему после того, как очередное осознание произвел персонаж Z, мы теперь легко можем изобразить так:

Qз = T + Tx + (T + Tx)y + [T + Tx + (T + Tx )y]z. (3)

Представляется естественным ввести относительно правого индекса закон дистрибутивности, который позволит раскрыть скобки. Например, следующие выражения будут эквивалентными:

Т + Тх + (Т + Тх)у = Т + Тх + Ту + Тху.

Этот закон может быть интерпретирован двумя способами. Вынесение индекса за скобку можно рассматривать с позиции «внешнего исследователя». В этом случае внешний исследователь «выделяет» с помощью этой операции «внутренние миры» отдельных персонажей и, тем самым, получает возможность рассматривать эти внутренние миры в их целостности. Но из этого не следует, что у самих персонажей есть целостная картина. С другой стороны, вынесение индекса можно рассматривать именно как возникновение у персонажа целостной картины, т.е. это некоторая операция, происходящая «внутри» персонажа.

Кроме того, мы позволим репродуцировать слагаемые без нарушения эквивалентности многочленов. Например,

Т+Тх-=Т+Тх+Тх.

Это вызвано тем, что персонаж (или исследователь) не получает новой информации в результате репродуцировавший уже известного ему «текста».

Обратим внимание на то, что это изображение не позволяет получить информацию об адекватности отражения персонажами картин, лежащих перед другими персонажами. Например, пусть мы имеем два члена Тх и Тху. Персонаж Y может иметь как адекватное отражение Тх, так и принципиально неадекватное. Символика регистрирует лишь факт «существования» такого члена во внутреннем мире персонажа Y. Поэтому при употреблении символики необходим специальный комментарий, характеризующий степень адекватности с позиции внешнего исследователя.

Операторы осознания

Теперь мы введем специальный формализм для фиксации процесса осознания. Для этого мы должны найти формальный способ изображения перехода от выражения (1) к выражению (2), от выражения (2) к выражению (3) и т.д.

Многочлены, которые были введены, существенно отличаются от «обычных» многочленов с вещественными коэффициентами. Поэтому необходимо строго ввести тот .алгебраический объект, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем. Исходными для построения формализма (для трех персонажей) являются символы х, у, z, Т и 1. Из этих символов составляются слова — конечные последовательности символов, например, х, ху, Тх, хуz и т.д. - Два слова считаются эквивалентными, если они отличаются только числом вхождения в них символа 1 (например, хху=хху). Таким образом, символ 1 можно вычеркивать из слов.^*

Условимся пока рассматривать слова, не содержащие символа Т. Множество всех таких слов счетно. Перенумеруем их некоторым произвольным образом. Получим последовательность a_i. Теперь мы можем ввести понятие многочлена.

Многочленом мы будем называть символическую сумму

где a_i—элемент булевой алгебры, состоящей из двух элементов 0 и 1.

При заданной нумерации a_i многочлен однозначно задается набором коэффициентов a_i. Условимся в дальнейшем выписывать лишь те члены, коэффициенты перед которыми равны 1. Необходимо обратить внимание на отличие многочлена от отдельного слова. Если мы пишем, например, со==1, то это значит, что рассматривается многочлен:

1+ å(0a_i) в котором только перед a_i=l

i= 2

коэффициент отличен от нуля.

Теперь можно ввести операции сложения и умножения многочленов. Они вводятся так же, как и операции над «обычными» многочленами, с той лишь существенной разницей, что умножение оказывается некоммутативным. Нетрудно видеть, что умножение ассоциативно и выполняются правый и левый законы дистрибутивности:

w₁(w₂+w₃)=w₁w₂+w₁w₃

w₂+w₃)w₁=w₁w₂+w₃w₁

Каждому многочлену сопоставим в соответствие специфический многочлен Q=Tw. Многочлены и, как мы показали раньше, позволяют изображать состояния рефлексирующих систем, а многочлены w будут интерпретированы как операторы осознания.

Теперь мы можем выразить на алгебраическом языке процедуры превращения картинки на рис. 1 в картинку на рис. 2 и т.д. Для этого необходимо многочлен Т, выражающий содержание картинки на рис. 1, умножить справа на многочлен 1+х. Результатом такого умножения будет многочлен

Q'₁=T(l+x)==T+Tx. (1')

Чтобы перейти далее к состоянию Q₂. многочлен Q₁ нужно опять-таки справа умножить на многочлен 1+у:

Q₂=Т(1+х)(1+у)=Т+Тх+(Т+Тх)у. (2') расстояние Оз порождается умножением Q₂ на 1+z:

Q₃=T(l+x)(l+y)(l+z)=T+Tx+(T+Tx)y+[Т+Тх+(Т+Тх)у]z. (3')

Таким образом, той процедуре осознания, которую мы изобразили графически (она представляет собой схематизацию естественно-интуитивного понимания рефлексии), соответствует теперь алгебраическая операция умножения многочлена на многочлены 1+х, 1+у, 1+z.

Мы только что описали случай, когда персонажи производят осознание последовательно. Но легко изобразить и случай, когда осознание производят все три персонажа Одновременно. Оператор осознания будет таким: w=1+х+у+z, а эволюция многочлена, характеризующего состояния рефлексирующих систем, выразится соотношением Q_n==T(1+x+y+z)ⁿ, где п—число осознаний. Подобное изображение процессов осознания значительно расширяет возможности исследования более сложных типов осознания, которые уже практически невыразимы в естественном и графическом языке.