Марковские процессы с непрерывным временем. Их изучение при помощи преобразования Лапласа

Марковские процессы с непрерывным временем.

[t, t+dt]

– интенсивность перехода системы из i → j, i ≠ j

Будем считать процесс постоянным, т.е. отказы имеют четкое время

Работа стремится к отказу. Неработоспособное состояние к работоспособному

adt – вероятность того, что машина отказала в t+dt, если в момент t она была исправна

bdt – вероятность восстановления во время t+dt, если в t она была не исправна

1 – работоспособное расстояние

2 – неработоспособное расстояние

– матрица интенсивности переходов

1) Система находится уже в состоянии j в момент t.

2) В момент времени t система находится в одном из состояний i ≠ j

– вероятность пребывания в i-том состоянии

– вероятность перехода условная

В каждой функции , которая зависит от t, можно поставить некоторое изображение

Изображение → оригинал

I – единичная матрица.

10.Надежность нерезервируемых невосстанавливаемых систем при основном соединении элементов. Классификация методов расчета, их исходные данные.

Большое количество систем проектируется таким образом, что отказ любого из элементов ведет к отказу всей системы в целом.

При анализе надежности такой системы предполагают, что отказ любого элемента носит случайный и независимый характер и не нарушает работоспособность других элементов.

С точки зрения теории надежности, с позиции теории вероятности в данных системах подразумевается, что все элементы включены последовательно.

В таком случае в понятие отказа заложен простой физический аналог – отказ электрической схемы с последовательным включением элементов. Отказ одного из элементов связан с разрывом сети (например, многокаскадный усилитель).

Для системы из n-элементов:

При произвольном распределении отказов:


- интенсивность отказов эквивалентного элемента

Методы расчета надежности аппаратуры нерезервируемых систем.
- Приближенные расчеты
- Полные расчеты
В настоящее время существует большое число методов приближенных расчетов надежности. Из них выделяют три метода:

• Расчет надежности по внезапным отказам.

• Расчет надежности с учетом старения элементов.

• Расчет надежности с учетом допуска на параметры элементов.

Определение количественных характеристик надежности по этим методам не является самоцелью не дает высокой точности, но тем не менее позволяет выявить слабые места системы и искать пути повышения надежности.

На стадии проектирования расчет надежности является ориентировочным и опирается на следующие исходные данные:
а). принципиальную схему системы с указанием типов элементов, входящих в систему
б). режим работы всех элементов
в). значения интенсивностей отказов всех элементов при нормальных и фактических режимах, а также значения среднего времени исправной работы и дисперсии для элементов, подверженных постепенным отказам.
Расчетные значения критериев надежности сравниваются с заданными. Если не совпадают, то принимаются определенные меры по повышению надежности.

11. Методы расчета надежности нерезервируемых систем при внезапных отказах.

Полагают, что интенсивность отказов, входящих в состав аппаратуры имеет постоянное значение. И отказ любого элемента влечет за собой отказ всей аппаратуры.

В проведении расчетов выделяют два этапа:
• На первом этапе на основании принципиальной схемы составляют расчетную блок-структурную схему надежности. На ней изображают все блоки и связи между ними. Определяют количество элементов, входящих в каждый блок и режимы работ каждого элемента.
• На втором этапе для всех типов элементов можно задать номинальную интенсивность отказов при номинальных режимах выбирают по таблицам, а значение коэффициентов , учитывающих действительный режим работы определяют для элементов по графикам работы.
График роста интенсивности от условий эксплуатации.

определяют по степени режимов работы, по экспериментальным данным.
- высокий для хрупкой аппаратуры, ЭЛТ-приборов, полупроводниковых приборов.
• На третьем этапе для каждого блока рассчитывают суммарную интенсивность отказов, среднее время.
m – количество групп одноименных отказов. Для них
Определяется среднее время исправной работы

При надежность убывает в e раз.
Для вычислительных машин:

-количество однотипных элементов проектируемой системы
Применяют метод расчета по среднему уровню надежности однотипной аппаратуры.
• На четвертом этапе:
Если система является восстанавливаемой, то находятся некоторые показатели надежности для таких восстанавливаемых систем.

- время, для решения задач

- время безотказной работы - время восстановления
- коэффициент отказа системы

- суммарная интенсивность отказа системы. Рассчитывается для группы элементов, работающих в одном режиме отказов
- интенсивность i-го элемента
Интенсивность относительных отказов