Свойства поперечных сечений

1. все поперечные сечения призмы равны ее основанию.

2. все поперечные сечения призмы имеют одну и ту же площадь.

Площади боковой и полной поверхности призмы.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_полн. полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхности и S_осн основания призмы формулой:

S_полн. =S_бок +2S_осн.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

V = SH.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство:

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак,

S_бок= Ph.

Теорема доказана.

3.1. Изображение призмы и построение ее сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. а). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. б).

На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 9).

Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 9 а).

Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 9б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д.

На следующем рисунке показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

4. Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае – параллелепипед называется наклонным. На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед.

Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани – прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.