Предел и непрерывность

Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Частные производные.

Примеры.

В разделах дифференциального и интегрального исчислений мы имеем дело с функциями одной переменной. На практике часто приходится иметь дело с функциями двух, трех и большего числа переменных. Такие функции называются функциями многих переменных. Примером такой функции является производственная функция Кобба-Дугласа

где есть величина выпуска продукции, а и обозначают объемы затраченных ресурсов труда и капитала соответственно. В экономических задачах функцию Кобба-Дугласа двух переменных в общем виде записывают следующим образом: , где есть положительные константы такие, что , а есть затраченные ресурсы труда и капитала соответственно.

Приведем еще примеры функций и переменных:

2. -мерное пространство Rⁿ .

Определение.Пусть . Будем называть Rⁿ следующее множество упорядоченных наборов действительных чисел:

Сами упорядоченные наборы будем называть точками , а числа , где , будем называть координатами этой точки.

Часто для удобства точки Rⁿбудем обозначать так: или или или и т. д.

В пространстве Rⁿ вводится расстояние между точками по формуле

(1)

Замечание.При и равенство (1) представляет известные формулы расстояния между точками на плоскости и в пространстве.

Приведем без доказательства основные свойства расстояния в Rⁿ:

1)

2)

3)

Замечание. Пространство Rⁿ можно рассматривать и как векторное пространство. В этом случае упорядоченный набор чисел называется вектором пространства Rⁿ. Векторы обычно обозначают строчными латинскими буквами: или , или другими буквами. Нулевым вектором называют вектор

В векторном пространстве Rⁿвводятся операции сложения векторов и умножения векторов на число. Пусть и Тогда

1)

2)

Векторное пространство Rⁿ с операциями сложения и умножения на число называют также линейным или евклидовым пространством.

Определение. Длиной или нормой вектора называется число

Для нормы вектора справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

Определение.Скалярным произведением векторов и называют выражение

Не трудно доказать следующие свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

4)

Определение. Пусть Функцией переменных называется отображенные Значение функции записывается в виде

где

При этом множество называется областью определения функции и обозначается

Замечание.Функцию n переменных можно записывать в привычном виде где

Предел и непрерывность.

Определение. Открытым шаром радиуса с центром в точке называется множество

Определение предела (по Коши) функции переменных полностью повторяет определение предела для функции одной переменной.

Определение.Пусть функция определена в шаре , где и Число называется пределом функции в точке и при этом пишут (или ), если такое, что

Точно также как для функции одной переменной доказываются следующие свойства предела:

1) Предел единственен;

2) Предел суммы, разности или произведения функций в точке равен сумме, разности или произведению пределов при условии, что они существуют.

3) Предел отношения двух функции в точке равен отношению пределов, при условии, что предел знаменателя не равен .

Определение.Пусть функция определена в шаре , где и Функция называется непрерывной в точке , если

В противном случае функция называется разрывной в точке . Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке множества

Из свойств предела следуют следующие свойства непрерывных функций:

1) Если функции и , где непрерывны в точке , то в точке непрерывны функции , а также если

2) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке

При изучении свойств функций многих переменных удобно исследовать линии уровня и графики функций.

Определение.Пусть дана функция где Линией уровня, соответствующей значению , называется множество

Замечание.Линия уровня функции двух переменных представляет собой множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству

Пример. Линиями уровня функции при являются концентрические окружности

.

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек пространства

Пример. Графиком функции является параболоид вращения в .

Частные производные.

Рассмотрим функцию двух переменных . Пусть функция определена в , где и . Частной производной по от функции в точке называется предел (если он существует и конечен)

(1)

Аналогично определяется частная производная по :

(2)

Частные производные, определяемые формулами (1), (2), называют частными производными первого порядка.

Замечание 1.Аналогично определяется производная по переменной и для функции переменных

Замечание 2. Для обозначения частных производных по приняты также записи:

Точно такие же обозначения используются для частных производных по остальным переменным.

Замечание 3.Из определения следует, что частные производные по любой переменной вычисляются при условии, что остальные переменные постоянны. Поэтому при вычислении частных производных справедливы все правила и табличные формулы дифференцирования функций одной переменной.

Еще раз повторим важное правило:

При вычислении частной производной по какой-то переменной остальные переменные следует считать константами.

Пример 1. Пусть

Пример 2. Пусть есть производственная функция Кобба–Дугласа. Здесь есть положительные константы и Найдем частные производные и коэффициенты эластичности по (трудовые ресурсы) и по (капитал): ,

Определение.Частными производными второго порядка функции называют частные производные от ее частных производных первого порядка: