Производственная ситуация

Цель – формирование навыков разработки прогноза на основе различных приемов экстраполяции.

В таблице 2.4 приведена динамика объемов продаж торговой фирмы, млн. руб. Для выполнения задания группа разбивается на подгруппы по 2-3 человека. Каждой подгруппе преподавателем выдается индивидуальное задание.

Таблица 2.4- Исходные данные

Годы	У факт

Окончание таблицы 2.4

Порядок выполнения задания:

1. Рассчитать прогноз на основе среднего коэффициента роста:

1.1 рассчитать средний коэффициент роста;

1.2 рассчитать прогноз на 17-й – 19-й годы. В качестве базового уровня принять последнее значение исходного ряда;

1.3 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

1.4 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике.

2. На основе исходных данных (таблица 2.4) рассчитать прогноз на основе скользящих средних:

2.1 выбрать период сглаживания с учетом динамики исходного ряда;

2.2 рассчитать скользящие средние;

2.3 рассчитать средний коэффициент роста на основе полученного сглаженного ряда;

2.4 рассчитать прогноз на 17-й - 19-й годы. В качестве базового уровня принять последнее значение сглаженного ряда;

2.5 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

2.6 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике. Сравнить прогноз на основе скользящих средних с прогнозом на основе среднего коэффициента роста.

3. На основе исходных данных (таблица 2.4) рассчитать прогноз на основе экспоненциального сглаживания:

3.1 выбрать сглаживающую константу путем подбора (α = 0,3÷0,7 ) исходя из того, чтобы полученный ряд был приближен к исходному, отражал закономерность развития и позволял усреднить базовый уровень;

3.2 рассчитать экспоненциальный ряд по формуле 5.7.

3.3 рассчитать средний коэффициент роста на основе полученного экспоненциального ряда;

3.4 рассчитать прогноз на 17-й - 19-й годы. В качестве базового уровня принять последнее значение экспоненциального ряда;

3.5 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

3.6 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике. Сравнить полученный прогноз с предыдущими прогнозами (на основе скользящих средних и на основе среднего коэффициента роста). Выбрать наиболее вероятный прогноз.

Задания для самостоятельной работы

1. В таблице 2.5 приведена динамика объемов продаж, млн руб.

Таблица 2.5 - Исходные данные

Годы	У факт

1. Рассчитать прогноз на основе среднего коэффициента роста:

1.1 рассчитать средний коэффициент роста;

1.2 рассчитать прогноз на 18-й - 22-й годы на основе среднего коэффициента роста. В качестве базового уровня принять последнее значение исходного ряда;

1.3 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

1.4 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике.

2. На основе данных таблицы 2.5 рассчитать прогноз на основе скользящих средних:

2.1 выбрать период сглаживания с учетом динамики исходного ряда (путем подбора) исходя из того, чтобы полученный ряд был приближен к исходному, наилучшим образом отражал закономерность развития и позволял усреднить базовый уровень;

2.2 рассчитать скользящие средние;

2.3 рассчитать средний коэффициент роста на основе полученного сглаженного ряда;

2.4 рассчитать прогноз на 18-й - 22-й годы. В качестве базового уровня принять последнее значение сглаженного ряда;

2.5 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

2.6 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике. Сравнить прогноз на основе скользящих средних с прогнозом на основе среднего коэффициента роста.

3. На основе данных таблицы 2.5 рассчитать прогноз на основе экспоненциального сглаживания:

3.1 выбрать сглаживающую константу путем подбора (α = 0,3÷0,7), исходя из того, чтобы полученный ряд был приближен к исходному, наилучшим образом отражал закономерность развития и позволял усреднить базовый уровень;

3.2 рассчитать экспоненциальный ряд по формуле (2.10);

3.3 рассчитать средний коэффициент роста на основе полученного экспоненциального ряда;

3.4 рассчитать прогноз на 17-й - 22-й годы. В качестве базового уровня принять последнее значение экспоненциального ряда;

3.5 построить на графике исходный ряд и прогнозные значения;

3.6 дать аналитическую оценку полученному прогнозу и его соответствию исходной динамике. Сравнить полученный прогноз с предыдущими прогнозами (на основе скользящих средних и на основе среднего коэффициента роста). Выбрать наиболее вероятный прогноз.

Рекомендуемая литература:

Основная [1,3]

Дополнительная [1]

Электронные ресурсы [1]

Практическое занятие 7. Прогнозирование спроса и объема продаж на основе метода наименьших квадратов – 2 часа

Основные положения

1. Метод наименьших квадратов заключается в выборе математической функции, наиболее соответствующей динамике фактического ряда.

Критерий правильности выбора функции – минимум суммы квадратичных отклонения расчётных значений показателя от фактических.

, (2.13)

где У _факт – значения исходного ряда по годам,

У _расч – расчётное значение У, полученное по выбранной модели.

Кроме данного критерия могут быть использованы показатели дисперсии, коэффициент корреляции.

2. На практике в качестве моделей могут быть использованы различные функции (линейная, квадратичная, степенная и др.). Однако в любом случае модель тренда условно можно представить в виде функции:

у=f(x, а₁, а₂, …, а_n, t),

где х – независимые переменные;

а_i - параметры модели;

t – время.

Сущность метода состоит в нахождении параметров модели (уравнения), причём таких параметров, которые удовлетворяли бы критерию S. Чтобы найти параметры уравнения, необходимо составить систему линейных уравнений, решив которую, найдём параметры.

3. Для упрощения системы уравнений периодам времени динамического ряда необходимо присвоить значение ti натурального ряда таким образом, чтобы сумма их за весь период была равна 0, т.е. ∑t_i = 0. Такая процедура позволит упростить расчеты при решении системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов.

Пример 1

Таблица 2.6 – Преобразование значений t

Годы
Значение ti	-3	-2	-1

4. При данных обозначениях и линейной форме графика у (t) она будет выглядеть следующим образом:

, (2.14)

где n –– количество точек (уровней) в ряду динамики;

а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии.

Учитывая, что в преобразованном динамическом ряду ∑t=0, получим:

(2.15)

5. Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение

У(t)=а₀ + а₁ ∙ t (2.16)

6. Подставляя в уравнение (6.4) значения t_i , принятые при преобразовании естественных значений исходного ряда, получим выровненный ряд динамики (расчетные значения У).

Присвоив t значения, выходящие за пределы исходного ряда, получим прогнозируемые значения исследуемого показателя.

7. Если эмпирические данные показывают, что увеличение уровней ряда происходит быстрыми темпами и график приближенно может быть представлен в виде ветви параболы второго порядка, то в качестве уравнения у(t) берется уравнение:

У(t) = a₀ + a₁ + a₂∙t² (2.17)

8. Параметры уравнения рассчитываются по такому же принципу, как и для линейного уравнения. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

(2.18)

9. Уравнение гиперболы хорошо описывает процессы, характеризующиеся насыщением, когда существует фактор, сдерживающий изменение прогнозируемого показателя. Если ряд динамики представляет собой гиперболическую зависимость

У(t) = a₀ + a₁ х (1/t), (2.19)

то для определения коэффициентов а₀ и а₁ решается следующая система нормальных уравнений:

(2.20)

10. Выбор модели осуществляется:

- во-первых, визуально, на основе сопоставления вида кривой, ее специфических свойств и качественной характеристики тенденции экономического явления;

- во-вторых, исходя из значения критерия выбора лучшей зависимости.

11. Критерием правильности выбора функции в МНК является минимум суммы квадратичных отклонений расчетных значений показателя (выровненных) от фактических значений исходного ряда:

∑(Y_ф –Y_р)²→min

Если просчитывается две и более функций, то выбирается та, которая в больше степени отвечает данному критерию.

12. Если модель выбрана, то процесс прогнозирования состоит из следующих шагов:

1) вычисление значений зависимой переменной У по заданным значениям независимой переменной Х, выходящей за пределы исходной информации;

2) вычисление границ доверительного интервала, внутри которого с заданной вероятностью будут лежать прогнозируемые значения.

13. Достоинство МНК – простота и лёгкость реализации с помощью ПК, особенно для линейных и линеаризуемых моделей.

14. Недостатки МНК:

- прогноз может быть получен только на небольшой период времени;

- трудность МНК заключается в выборе вида математической функции, приближенной к динамике исходного ряда;

- для нелинейных моделей необходимо использовать дополнительные методы сглаживания (выравнивания) исходного ряда, что искажает информацию и влияет на достоверность прогноза;

- в процессе прогнозирования может поступать новая информация, которую МНК учесть не может. Поэтому прогнозы, полученные с

помощью МНК, необходимо корректировать на каждом шагу поступления новой информации;

Контрольные вопросы

1. К каким методам прогнозирования относится метод наименьших квадратов? В чем заключается его сущность?

2. Как выбрать функцию, наиболее соответствующую динамике исходного ряда?

3. Каков порядок расчета прогноза в МНК?

4. Всегда ли в МНК удается получить достоверный прогноз? Почему? В каком случае можно утверждать, что прогноз, полученный методом наименьших квадратов, является достоверным?

5. Какие критерии используются для оценки достоверности прогноза?

6. Назовите достоинства МНК. Какими недостатками обладает МНК?

Тестовые задания

1. Метод прогнозирования, к которому относится метод наименьших квадратов:

а) индивидуальные экспертные оценки

б) коллективные экспертные оценки

в) моделирование

г) экстраполяция

2. Требование прогноза, полученного с применением метода наименьших квадратов:

а) оценка достоверности исходных данных

б) оценка точности и достоверности полученного результата

в) наличие математического аппарата

г) точность выполненных расчетов

3. Метод прогнозирования, заключающийся в минимизации суммы квадратичных отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами:

а) моделирование

б) экспоненциальное сглаживание

в) скользящей средней

г) наименьших квадратов

4. Сущность метода наименьших квадратов:

а) выбор математической функции, наиболее соответствующей динамике фактического ряда

б) построение системы линейных уравнений и нахождение параметров модели

в) выявление закономерности развития объекта в прошлом и настоящем и перенесении ее на будущее

г) усреднение исходной информации

5. Показатели, свидетельствующие о достоверности выбранной модели при разработке прогноза методом наименьших квадратов:

а) сумма квадратичных отклонений расчетных значений показателя от фактических максимальна

б) коэффициент корреляции близок к 1

в) сумма квадратичных отклонений расчетных значений показателя от фактических минимальна

г) коэффициент корреляции значительно меньше 1.