Регрессионные модели с переменой структурой

Фиктивные переменные

Ранее в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить модель фактор, имеющий два или более качественных уровня. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, уровень образования, климатические условия, принадлежность к определенному региону и т. д. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные должны быть преобразованы в количественные. Такого вида переменные в эконометрике называются фиктивными (структурными) переменными.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для построения функции спроса на некоторый товар.

Сделаем следующие предположения:

- на спрос влияют два фактора: цена на товар (количественный признак) и регион, в котором этот товар продается (качественный признак);

- зависимость спроса от цены - линейная убывающая функция.

Последнее предположение является вполне обоснованным, так как нелинейную кривую спроса почти всегда можно привести к линейному виду путем тех или иных преобразований и замены переменных.

Без потери общности дальнейших рассуждений с целью упрощения примем количество регионов равное трем.

Для каждого региона можно записать свое уравнение кривой спроса:

- для 1-го региона ,

- для 2-го региона ,

- для 3-го региона ,

где y - спрос на товар, x- цена единицы товара.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда степень влияния изменения цены на товар одинаково для всех регионов. Это означает равенство коэффициентов регрессии: (рис. 3.3). Таким образом, отличие в уравнениях спроса на товар в регионах будет проявляться только в отличии параметров a₁, a₂ и a₃. При этом линии регрессии, построенные по этим уравнениям будут параллельны друг другу.

Рис. 3.3. Зависимость спроса на товар от цены и региона.

(Вариант 1:b₁=b₂=b₃=b).

Перепишем уравнения спроса для 2-го и 3-го регионов в следующем виде:

,

.

Объединяя уравнения кривых спроса для 3-х регионов в одно, получим:

,

где z₁ и z₂ - фиктивные переменные, принимающие следующие значения:

Полученное уравнение можно переписать в следующем виде

,

где , , .

На основании выше изложенного имеем:

- для 1-го региона z₁=0, z₂=0;

- для 2-го региона z₁=1, z₂=0;

- для 3-го региона z₁=0, z₂=1.

В данном случае 1-й регион является эталонным, а величины c₁ и c₂ характеризуют отличие спроса на товар во 2-ом и 3-ем регионах по сравнению с 1-ым. Таким образом, при одном и том же значении цены x на товар спрос во 2-м регионе будет в среднем отличаться от спроса в 1-м регионе на величину с₁, а в 3-ем регионе - на величину c₂.

Выше был рассмотрен случай когда степень влияния изменения цены товара на изменение спроса была одинаковой для всех регионов. При этом фиктивные переменные, введенные в уравнение регрессии для описания изменения спроса при переходе от одного региона к другому, отражали лишь изменение свободного члена, угол наклона же линий регрессии был постоянным для всех регионов. Данное упрощение, очевидно, справедливо лишь в некоторых частных случаях.

Рассмотрим более общий случай, состоящий в учете неодинакового влияния изменения цены на спрос в различных регионах. Наклон линий спроса в каждом регионе в этом случае будут иметь различное значение, т. е. (рис. 3.4.).

В качестве эталонного вновь примем 1-й регион. Тогда коэффициенты регрессии b₂ и b₃ могут быть выражены через коэффициент регресии b₁ следующим образом:

,

,

где d₁ и d₂ - параметры, характеризующие различие в наклоне линий регрессии (неодинаковую степень влияния цены на спрос для различных регионов).

Рис. 3.4. Зависимость спроса на товар от цены и региона

(Вариант 2:b₁¹b₂¹b₃).

В конечном итоге можно записать следующее уравнение регрессии, описывающее зависимость спроса на некоторый товар от цены на него и региона, в котором он продается:

или

.

Параметры уравнения с фиктивными переменными определяются обычным методом наименьших квадратов. В нашем случае произведение переменных и следует рассматривать как новые независимые переменные. Введем для них обозначения: , .

Тогда полученное ранее уравнение регрессии перепишется в виде:

.

Данное уравнение представляет собой линейное уравнение множественной регрессии с пятью независимыми переменными (x, x₂, x₃, z₁, z₂), для определения значений шести параметров которого можно использовать обычный метод наименьших квадратов.

На основе выше изложенного можно сделать следующие выводы относительно фиктивных переменных:

* фиктивные переменные принимают всего два значения 0 и 1;

* количество фиктивных переменных для качественного фактора, вводимого в уравнение регрессии, должно быть на единицу меньше числа градаций качественного признака (в рассмотренном случае: число регионов - три, фиктивных переменных - две).

В приведенном выше примере учитывалось влияние всего одного качественного фактора. На практике может понадобится рассмотреть воздействие на зависимую переменную нескольких качественных переменных. Это осуществляется путем введения в регрессионную модель нескольких групп фиктивных переменных.

Дополним рассмотренный выше пример следующим. Пусть в трех регионах продается не один товар, а несколько его марок (или модификаций), например две: А и Б. Как и прежде будем строить уравнение функции спроса, но на это раз учтем влияние наравне с ценой и регионом, действие еще одного фактора - марки товара.

Очевидно, что спрос на ту или иную марку товара в общем случае будет зависеть от цены и от региона продажи. Для определенности в качестве эталонной категории выберем товар марки А, продающийся в 1-ом регионе. Для эталонной категории значение всех фиктивных переменных, вводимых в равнение регрессии должно быть обязательно равно нулю.

Таким образом, спрос на товар марки Б очевидно будет отличаться от спроса на товар марки А в зависимости от того, в каком регионе и по какой цене продается товар.

В общем случае можно получить шесть уравнений функции спроса для каждого сочетания марки товара и региона, отличающихся друг от друга свободным членом и коэффициентом регрессии.

1) марка А, 1-й регион:

2) марка А, 2-й регион:

3) марка А, 3-й регион:

4) марка Б, 1-й регион:

5) марка Б, 2-й регион:

6) марка Б, 3-й регион:

Вводя новую фиктивную переменную для марки товара и объединяя полученные уравнения регрессии в одно получим следующую функцию спроса:

где s-фиктивная переменная, принимающая следующие значения

и характеризующая влияние на спрос марки товара,

g, d, h₁, h₂, g₁, g₂ - параметры характеризующие отличие спроса на марку товара Б от спроса на марку товара А.

Взаимное соответствие между значениями качественных факторов и значениями фиктивных переменных для рассматриваемого случая приведено в табл. 3.1.

Таблица 3.1