Вопрос 1. Векторное произведение векторов

(геометрический смысл, свойства).

Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов (рис. 2), если находится по ту сторону плоскости, содержащей векторы и , откуда кратчайший поворот от вектора к можно совершить против часовой стрелки.

В противном случае векторы образуют левую тройку векторов (рис. 1).

Векторным произведением векторов и называется вектор = × , удовлетворяющей следующим 3‒м свойствам:

1. │ │ = │ │·│ │· sina, гдеa = Ð( ; ).

2. ⊥ ; ⊥ ;

3. Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов.

Геометрический смысл.

S_{пароаллелограмма} = │ │·│ │· sina => │ │ =│ × │,

т.е. │ × │= S_{пароаллелограмма}

Модуль векторного произведения векторов и равен Sпараллелограмма, построенного на векторах ‒ множителях.

Свойства векторного произведения.

1. × = ‒ ( × ) –не коммутативно

2. Если коллинеарен , то × = , т. к. sin 0⁰ = 0.

3. l ( × ) = (l · ) × = × (l · ) – ассоциативность

4. ( + ) × = × + × – дистрибутивность

Вопрос 2. Выражение векторного произведения через координаты.

Пусть = ( ); = ( );

Разложим а и b по базисным векторам:

а= x₁i + y₁ j + z₁k, b = x₂i + y₂ j + z₂k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

× = (x₁i + y₁ j+ z₁k)× (x₂i + y₂ j+ z₂k) =

= x_1·x_2·i×i + x_1·y_2·i×j + x_1·z₂·i×k +

+ y_1·x₂ j×i + y_1·y₂ j; j + y_1·z₂ j×k +

+ z_1·x₂ k×i + z_1·y₂ k×j + z_1·z₂ k×k. (1)

По определению векторного произведения находим

i×i = 0, i×j = k, i×k= –j,

j×i = –k, j×j = 0, j×k = i,

k×i = j,k×j = –i. k×k = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

× = x₁y₂k–x₁z₂ j–y₁x₂k + y₁z₂ i + z₁x₂ j –z₁y₂i

или

× = (y₁z₂ –z₁y₂) i + (z₁x₂ –x₁z₂ )j + (x₁y₂–y₁x₂) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученную формулу можно записать в другом более удобном для запоминания виде:

× = (3)

Обычно формулу (3) записывают еще короче:

× = (4)

‒ формула для вычисления векторного произведения.

Тогда,

S_{пароаллелограмма} = │ × │=

S_{треугольника =} = ;

Пример:найти векторное произведение векторов:

Решение:

Вопрос 3. Смешанное произведение векторов

(геометрический смысл, свойства).

Смешанным произведением векторов ( × ) называется скалярное произведение вектора( × ) на вектор .

Геометрический смысл

Построим на векторах , параллелепипед и найдем его объем V.

V_{параллелепипеда} = S_осн. · H = · = · · Cosa= .

= V_{параллелепипеда}

Модуль смешанного произведениятрех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах ‒ множителях.

V_{тетраэдра} = V_{параллелепипеда}