Основные сведения о матрицах

МУЛЬТИМЕДИЙНЫЕ ЛЕКЦИИ

дисциплины		Линейная алгебра
для бакалавров (магистров) направления подготовки		080100.62 Экономика
Факультет, на котором проводится обучение
Кафедра – разработчик		Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Содержание

Основные сведения о матрицах. 6

Виды матриц. 6

Операции над матрицами и их свойства. 7

Определители квадратных матриц и способы их вычисления. 10

Правило Сарруса (правило треугольника). 11

Теорема Лапласа. 12

Свойства определителей. 12

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица. 13

Решение матричных уравнений. 14

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы. 15

Элементарные преобразования матрицы. 16

Системы линейных алгебраических уравнений СЛУ (Основные понятия и определения). 17

Методы решения систем линейных уравнений. 18

Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. 18

Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными. 20

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. 23

Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли, базисные решения. 25

Системы линейных однородных уравнений. Исследование решений. Фундаментальная система решений. 28

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Леонтьева. 30

Векторы (основные понятия и определения). 35

Сложение векторов. 36

Разность векторов. 37

Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы. 37

Прямоугольный базис. 38

Декартова прямоугольная система координат в пространстве. 38

Прямоугольные координаты вектора (точки). 38

Разложение вектора по базису. 38

Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами. 39

Векторное произведение векторов (геометрический смысл, свойства). 41

Свойства векторного произведения. 42

Выражение векторного произведения через координаты. 42

Смешанное произведение векторов (геометрический смысл, свойства). 44

Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. 45

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. 47

Понятие векторного (линейного) пространства. Вектор в n‒ мерном пространстве. 48

Размерность и базис векторного пространства. 48

Линейная оболочка и ее свойства. 49

Свойства линейной оболочки. 50

Евклидово пространство. 51

Ортогональный и ортонормированный базис. 51

Переход к новому базису. 52

Линейные операторы. 55

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). 56

Квадратичные формы. 58

Линейная модель обмена (международной торговли). 61

Уравнения прямой (различные виды). 63

Параметрические уравнения прямой. 63

Уравнение прямой проходящей через две данные точки. 64

Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. 65

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью). 66

Общее уравнение прямой. 67

Формула угла между прямыми. 67

Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 68

Формула расстояния от точки до прямой. 72

Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. 72

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. 74

Общее уравнения плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 74

Расстояние от точки до плоскости. 75

Кривые второго порядка. 76

Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. 82

Действия над комплексными числами в алгебраической форме. 83

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. 84

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. 85

Показательная форма записи комплексных чисел. 86

Действия над комплексными числами в показательной форме. 86

Основные сведения о матрицах.

Матрицей размерности m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m– строк и n– столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Элемент, стоящий на пересечении строки с номером i(i‒ той строки),

i = 1, 2...m и столбца с номером j(j‒ того столбца),

j = 1, 2…n – обозначается a_ij.

Матрица обозначается заглавными буквами A,B,C…, а их элементы ‒ соответствующими прописными буквами.

A_{m× n}=

Пример:

A_{3×2 =}

А₁₁ = 3

А₂₁ = – 2

А₂₂ = 5

А₃₂ = –1

Виды матриц

1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей ‒ строкой или вектором – строкой. В_1×n= (b₁₁ b₁₂…b_1n).

2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей ‒ столбцом или вектором – столбцом. С_m×1 =

3. Матрица называется квадратной n‒ го порядка, если у нее число строк равно числу столбцов и равно n.

A = – квадратная матрица третьего порядка

Главная диагональ

Элементы квадратной матрицы, у которых совпадает номер строки и столбца, образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей.

E= – единичная матрица второго порядка.

E= – единичная матрица третьего порядка.