Постановка задачи и математическая модель

Пусть имеется в регионе производственная компания, имеющая m предприятий, выпускающие однородные продукции. Объем производства предприятий компании в каждом периоде предполагается неизвестным, но ограниченным сверху максимально возможной мощностью предприятия , iÎI={1,2,…,m}.

Продукция, произведенная компанией в периоде t, t=1,2,…,p, распределяется между потребителями производственной и не производственной сферы региона.

Отметим, что продукция, полученная потребителями производственной сферы, используется для производства других видов продуктов, а продукция, полученная потребителями непроизводственной сферы, используется для удовлетворения личного и общественного потребления.

Производственная компания на основе заранее составленного договора должна выделять в каждом периоде потребителям производственной сферы продукцию, в объёме не менее и не более , t=1,2,…,p , а за весь планируемый период компания должна предоставить продукт в объёме Q.

Аналогично для потребителей непроизводственной сферы в каждом периоде компания обязана выделять в объёме не менее , и не более t=1,2,…,p, а за весь планируемый период компания должна предоставить продукт в объёме В.

Предполагается, что цена на единицу объёма продукта на каждый период t, t=1,2,…,p согласованным с потребителями производственной и непроизводственной сферы.

Требуется определить объем производства продукции предприятий компании и план распределения продукции на каждый период между потребителями производственной и непроизводственной сферы так, чтобы компания при этом имела максимальный чистый доход от производства и реализации продукта.

Для формализации математической модели введем следующие обозначения:

i - индекс предприятий производственной компании производящий, iÎI ;

t - индекс периода по которому предприятие производит и предоставляет

продукцию потребителям, t=1,2,…,p;

Известные параметры:

- максимально возможныйобъём производства продукции i-го

предприятия компании в t–ом периоде, t=1,2,…,p, iÎI;

- производственные затраты на единицу объема продукции i-го

предприятия компании в t–ом периоде, iÎI, t=1,2,…,p;

- отпускная цена за единицу объёма продукции для потребителей

производственной сферы региона, t=1,2,…,p;

- отпускная цена за единицу объёма продукции для потребителей

непроизводственной сферы региона, t=1,2,…,p;

, - минимально необходимые и максимально возможные отпускаемые

объёмы продукции для потребителей непроизводственной сферы в t-ом

периоде, t=1,2,…,p;

, - минимально необходимые и максимально возможные отпускаемые

объёмы продукции для потребителей производственной сферы в t-ом

периоде, t=1,2,…,p;

Q- объём продукции предоставляемый компанией по договору

потребителям производственной сферы за весь планируемый период;

В - объём продукции предоставляемый компанией потребителям

непроизводственной сферы за весь планируемый период;

- чистый доход компании, получаемый за единицу объёма продукта в t-

ом периоде при реализации её потребителям производственной сферы,

где = , iÎI, t=1,2,…,p;

- чистый доход компании, получаемый за единицу объёма продукта в t-

ом периоде при реализации её потребителям непроизводственной

сферы, где = , iÎI, t=1,2,…,p.

Искомые переменные:

- объём продукции компании предоставляемый потребителям

производственнойсферывt- ом периоде, iÎI, t=1,2,…,p;

- объём продукции компании предоставляемый потребителям

непроизводственной сферы в t- ом периоде, iÎI, t=1,2,…,p.

В соответствии с принятыми обозначениями задача определения чистого дохода компании от производства и предоставления продукции потребителям записывается в виде:

Найти максимум:

Р(х₀, х_R) = (3.1)

при условиях:

+ £ , iÎI,t=1,2,…,p, (3.2) t=1,2,…,p, (3.3)

(3.4)

t=1,2,…,p, (3.5)

(3.6)

≥0, ≥0,iÎI,t=1,2,…,p,(3.7)

где

х₀= х_R=

Предполагается, что имеет место условия:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Метод решения.

Преобразуем задачу (3.1)-(3.7). Исключим из (3.1)-(3.7) ограничения (3.3) и (3.5). Сведем её к транспортной задаче. Для потребителей производственной и непроизводственной сферы вместо каждого периода t вводим два условных периода и .

Объём отпускаемой компанией продукции для потребителей производственной сферы в периоде полагаем равным величине = , а в периоде - ограниченным максимально допустимой величиной

Аналогично, объём отпускаемой компанией продукции для потребителей производственной сферы в периоде полагаем равным величине = , а в периоде - ограниченным максимально допустимой величиной

Далее, вводим условный поставщик для потребителей производственной сферы с объёмом продукции равным величине

где

, - объёмы, направляемые продукции от условного поставщика потребителей производственной сферы в периоде t, t={ , }. Коэффициенты целевой функции при переменных соответственно полагаем равным =0 и где М - достаточно большая величина.

Аналогично, вводим условный поставщик для потребителей

непроизводственной сферы с объёмом продукции равным величине

где

, - объёмы, направляемые продукции от условного поставщика потребителей непроизводственной сферы в периоде t, t={ , }. Коэффициенты целевой функции при переменных соответственно полагаем равным =0 и

Математическая модель после всех выше приведенных преобразований примет следующий вид.

Найти максимум:

L(х₀, х_R) = (3.12)

при условиях:

+ + = , iÎI,t=1,2,…,p, (3.13)

, iÎI, = t, t=1,2,…,p, (3.14)

, iÎI, = t, t=1,2,…,p, (3.15)

=1,2,…,p,(3.16)

=1,2,…,p, (3.17)

=1,2,…,p,(3.18)

=1,2,…,p, (3.19)

, (3.20)

, (3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

≥0, ≥0, ≥0, ≥0, iÎI, t, t=1,2,…,p, (3.25)

≥0, ≥0, ≥0, ≥0, iÎI, t, t=1,2,…,p, (3.26)

где

,

Таким образом, задача (3.1)-(3.7) в предположении (3.8)-(3.11) сведена к закрытой модели транспортной задачи вида (3.12)-(3.26) и ее можем модифицированным распределительным методом [].

Для каждого периода t,t=1,2,…,p сумма переменных , определяет объём отпускаемой продукции i-ым предприятием компаний потребителям производственной сферы в t-ом периоде.

Аналогично, равенство определяет объём отпускаемой продукции i-ым предприятием компаний потребителям непроизводственной сферы в t-ом периоде.

Переменные примут в оптимальном плане нулевые значения, поскольку

Отсюда следует, что

а это значит, что

t=1,2,…,p.

Заключение

В данной дипломной работе приведена математическая модель и метод решения задачи определения оптимального объема производства продукции, и распределения ее как промежуточный продукт и как конечный продукт между другими объектами в различных ограничительных случаях.

В первой главе работы сформулирована математическая модель задачи размещения производства продукции и распределения в случае, как промежуточный и как конечный в каждом периоде, ограничены только сверху.

Во второй главе рассматривается задача размещения производства продукции, и ее распределение, в случае, когда объем продукта потребляемый другими объектами, как промежуточный, ограничен верхними и нижними пределами, а конечный продукт ограничен верхним пределом, в каждом периоде.

В третьей главе работы сформулирована математическая модель и метод решения задачи определения оптимального объема производства продукции и распределения ее как промежуточный продукт и как конечный продукт между другими объектами. Объемы производимой и распределяемой продукции между другими объектами, как конечная и как промежуточная продукция, ограничена верхними и нижними пределами.

Для демонстрации работоспособности сформулированных моделей и способов их решения приведены и решены числовые примеры с помощью пакета прикладных программ.

Результаты работы могут быть использованы хозяйствующими субъектами различных отраслей для разработки плана производства продукции и распределения ее между другими объектами.

Литература

1. Иманалиев М.И., Жусупбаев А., Асанкулова М. Методы решения многопродуктовой задачи размещения. – Бишкек: Илим, 1998. – 164 с.

2. Жусупбаев А. Задача размещения производства с выпуклым сепарабельным функционалом. Изв. АН Кирг. ССР, 1974, №6, с.14-20.

3. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - M.: Мир, 1967. – 506 с.

4. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. – М:, изд., физмат, 1963. -775с.

5. ЖусупбаевА.,Асанкулова М. Решение многопродуктовой задачи размещения ограничения на обьем производства продукции //Оптимизация планирования агропромышленного производства в регионе.- Фрунзе: Илим,1991.- с.81-89

6. Лурье А.Л. О математических методах решения задач на оптимум при планировании социалистического хозяйства. М.:”Наука”, 1964, с.10.

7. Жусупбаев А.О методах решения задачи размещения// Изв.АНСССР.Техническая кибернетика, №6, 1982.- с. 79-86

8. Маш В.А. Оптимальные размещение предприятий в многоэтапных системах производства и потребления //Методика расчетов оптимальных планов размещения предприятий и отраслей.– М.,1962 г.

9. Гольштейн Е.Г. Транспортная задача и ее обобщения // Методы и алгоритмы решения транспортной задачи. – м., 1963. – с. 3-34.

10. Иманалиев М., Жусупбаев А., Асанкулова М. Метод решения многопродуктовой задачи размещения. Бишкек: Илим, 1998. -164 с.

11. Жусупбаев А., Асанкулова М. Об одном приближенном методе решения многоиндексной задачи размещения. // Вестник ИВМ и МГ СоРАН, Новосибирск, 2005.

12. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. – 366с.

13. Ланге Э.Г., Жусупбаев А. Комбинаторный метод решения задачи размещения. Фрунзе: Илим, 1990. – 152с.

14. Жусупбаева Г.А., Асанкулова М., Жусупбаев А. Задача оптимизации поставки сырья с учетом закупочных цен.// Материалы международной конференции «Информационные технологии и математическое моделирование в науке, в технике и образовании», посвящ., 70-летию академика А. Жайнакова, 5-9 октября 2011, Бишкек, Кыргызская Республика.

15. .Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. Изд. 2, перераб. и доп., М., Сов. Радио, 1964.

16. Жусупбаев А., Асанкулова М. Определение максимального чистого дохода производственной компании//Исследование по интегро-дифферен-циальным уравнениям.- Бишкек: Илим, 2011.-Вып.43. - С. 160-154.

17. Гольштейн Е.Г. Транспортная задача и ее обобщения//Методы и алгоритмы решения транспортных задач. – Москва: 1963. –С. 3-34.