Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Если , то a = 0. Следовательно,
a = 0 и
= 0.
Получим:
‒ условие параллельности прямых.
Если , то a =
и
a ‒ не существует, то есть
= 0. Следовательно,
‒ условие перпендикулярности прямых.
Пример:
Даны уравнения сторон треугольника
,
,
.
Найти:
1) Длину │CD│ и уравнение высоты CD.
2) Систему неравенств определяющих треугольник.
3) ÐB.
Решение:
Найдем координаты вершин треугольника.
A (– 4; 8)
.
B (5; – 4)
C (10; 6)
1) Найдем уравнение высоты CD.
CD AB
;
.
│· 4
– уравнение высоты CD.
D (2; 0)
Найдем длину │CD│.
2) Найдем систему неравенств определяющих треугольник.
,
,
.
или
– уравнение AB.
– уравнение BC.
или
– уравнение AC.
– система неравенств определяющих ∆ABC.
3) Найдем ÐB.
или
Формула расстояния от точки до прямой.
;
│ │= d‒ расстояние от точки до прямой.
Тогда формула расстояния от точки до прямой примет вид:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
Пусть дана плоскость (a) и дан направляющий вектор прямой (
)
.
Если , то вектор
. Следовательно, их скалярное произведение
= 0.
В координатном виде получим:
– условие параллельности прямой и плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Если , то
коллинеарен
, тогда по признаку коллинеарности их координаты пропорциональны. Следовательно, получим:
– условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.
Пусть дана плоскость a и вектор = (A, B, C)
a, пусть точка
(
) ϵ a и точка
произвольная точка плоскости.
Так как a, то и
, лежащему в плоскости a. Тогда их скалярное произведение
= 0.
Запишем это равенство в координатной форме. Получим:
– уравнение плоскости с нормалью.
Общее уравнения плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Раскроем скобки в уравнении , получим
Обозначим:
Получим:
– общее уравнения плоскости.
Пример:
Построить плоскость по ее уравнению .
При A (3; 0; 0)
При B (0; 2; 0)
При C (0; 0; 6)
Расстояние от точки до плоскости.
– формула для нахождения расстояния от точки (
) до плоскости a.
Если плоскость , то
коллинеарен
. Тогда по признаку коллинеарности векторы пропорциональны.
Если (
,
,
) и
, то
– условие параллельности плоскостей.
Если , то и
. Тогда
= 0.
Следовательно,
– условие перпендикулярности плоскостей.
Примеры:
1)
, т. к.
; k = – 5.
2)
=>