Задачи максимизации полезности
Задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум
(22)
при условии
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.
Выписываем функцию Лагранжа
, (23)
где l - неопределенный множитель Лагранжа.
Экономический смысл этого множителя: если цены pi и доход J меняются в одно и то же число раз l, то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится.
Далее находим ее первые частные производные по переменным x1, x2 и l, приравниваем эти частные производные к нулю:
Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную l (разделив поэлементно первое уравнение на второе), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2:
Решение 
этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставим решение 
в левую часть равенства
.
Получим, что в точке 
локального рыночного равновесия индивидуума отношение 
предельных полезностей 
и 
продуктов равно отношению рыночных цен p1 и p2 на эти продукты:
. (24)
В связи с тем, что отношение 
равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия 
, из (24) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен 
на продукты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.
А именно,
; 
, (25)
то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений 
к 
объемов продуктов в локальном рыночном равновесии 
приближенно равно отношению рыночных цен p1 и p2 на продукты.
Равенство (25) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, то есть набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.
Пример 9. Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности 
при наличии бюджетного ограничения 
, если 
и J=5.
Решение.
Известны: 
Требуется найти значения 
.
I способ. Приведение функции к одной переменной
1. Из 
выразим x2: 
.
2. Подставим найденное значение x2 в целевую функцию 
. Получим функцию одного аргумента x1:
.
3. Исследуем 
на экстремум:
;
если 
; 
; 
.
4. 
.
Ответ: 
, 
.
II способ. Использование функции Лагранжа
1. Составим функцию Лагранжа:
.
2. Найдем первые частные производные функции 
по переменным 
, приравняв их к нулю:
3. Разделим поэлементно первое уравнение на второе. Получим:
, откуда следует 
или 
.
4. Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим
; 
; .
5. 
.
Ответ: 
, 
.