Распределения, эффективные по Парето

Ответ на этот вопрос дан рис.28.2. В точке M данной диаграммы множество точек, располагающееся над кривой безразличия индивида A, не пересекает множества точек, располагающегося над кривой безразличия индивида B. Область, в которой благосостояние индивида A становится выше, отделена от области, в которой становится выше благосостояние индивида B. Это означает, что любое движение, повышающее благосостояние одной из сторон, с необходимостью понижает благосостояние другой. Таким образом, не существует обменных сделок, которые были бы выгодны для обеих сторон. При таком распределении взаимовыгодные сделки отсутствуют.

Распределение такого рода известно как распределение, эффективное по Парето. Идея эффективности по Парето — очень важное понятие экономической теории, возникающее в разных вариациях.

Распределение, эффективное по Парето, можно описать как такое распределение, при котором:

1.не существует способа повысить благосостояние всех участвующих в об-мене людей;

или

2.не существует способа повысить благосостояние какого-либо индивида без понижения благосостояния кого-то другого;

или

3.все выгоды от обмена исчерпаны;

или

4.отсутствует возможность совершения взаимовыгодных сделок и т.д.

В самом деле, мы уже несколько раз упоминали понятие эффективности по Парето в контексте рассмотрения отдельного рынка: мы говорили о том, что эффективный по Парето объем выпуска на отдельном рынке есть объем выпуска, при котором предельная готовность купить равна предельной готовности продать. При любом объеме выпуска, при котором эти величины различались бы, существовал бы способ повысить благосостояние представителей обеих сторон рынка посредством сделки обмена. В настоящей главе мы обратимся к более глубокому исследованию идеи эффективности по Парето, предполагающему рассмотрение многих товаров и многих участников обмена.

Распределение, эффективное по Парето. При распределении, эффективном по Парето, подобном M, каждый индивид находится на своей самой высокой из возможных кривой безразличия при заданной кривой безразличия другого индивида. Линия, соединяющая такие точки, известна как контрактная кривая.

Рис. 28.2

Обратите внимание на следующую простую геометрию распределений, эффективных по Парето: кривые безразличия двух участников обмена при любом эффективном по Парето распределении в ящике Эджуорта должны касаться друг друга. Почему это так, увидеть нетрудно. Если две кривые безразличия не касаются друг друга в точке распределения внутри ящика Эджуорта, значит, они должны пересекаться. Но если они пересекаются, то должна существовать возможность совершения взаимовыгодной сделки — поэтому данная точка не может быть эффективной по Парето. (Существование распределений, эффективных по Парето, в которых кривые безразличия не касаются друг друга, возможно лишь в точках, лежащих по сторонам ящика, — там, где потребление одного из товаров одним потребителем равно нулю. Эти краевые случаи не существенны для настоящего обсуждения.)

Из условия касания легко увидеть, что в ящике Эджуорта существует много распределений, эффективных по Парето. Фактически, если дана, например, любая кривая безразличия для индивида A, существует простой способ найти распределение, эффективное по Парето. Просто двигайтесь вдоль кривой безразличия для индивида A до тех пор, пока не найдете точку, являющуюся наилучшей для индивида B. Это и будет точка распределения, эффективного по Парето, и, следовательно, в ней обе кривые безразличия будут касаться друг друга.

Множество всех точек распределений, эффективных по Парето, в ящике Эджуорта называется множеством Парето, или контрактной кривой. Последнее название отражает ту идею, что все "конечные контракты" по обмену должны принадлежать множеству Парето — иначе они не были бы конечными, потому что существовала бы возможность провести какое-то улучшение!

В типичном случае контрактная кривая проходит от начала координат для A до начала координат для B через весь ящик Эджуорта, как показано на рис.28.2. Начнем движение из начала координат для A: в этой точке у индивида A нет ничего, все товары принадлежат индивиду B. Это распределение эффективно по Парето, поскольку единственный способ, которым можно повысить благосостояние A, состоит в том, чтобы отнять что-то у B. По мере движения вверх по контрактной кривой благосостояние A все больше растет, пока мы не доберемся, наконец, в начало координат для B.

Множество Парето описывает все возможные исходы взаимовыгодного обмена, независимо от того, в какой точке ящика мы начинаем движение. Если нам задана исходная точка, т.е. заданы начальные запасы для каждого потребителя, можно рассмотреть такое подмножество множества Парето, которое каждый из потребителей предпочтет своему начальному запасу. Это просто то подмножество множества Парето, которое лежит в линзообразной области, изображенной на рис.28.1. Распределения, находящиеся в этой линзообразной области, являются возможными исходами взаимного обмена, начинающегося с конкретного начального запаса, представленного на этой диаграмме. Однако само множество Парето не зависит от начального запаса, за исключением того обстоятельства, что начальный запас определяет общие наличные количества обоих товаров и тем самым размеры ящика.

Рыночный обмен

Нахождение описанного выше равновесия процесса обмена — множества распределений, эффективных по Парето, — очень важно, но по-прежнему неясно, где же закончат обмен участники. Причина этого в том, что описанный нами процесс обмена носит очень общий характер. По существу мы лишь предположили, что обе стороны будут двигаться к некому распределению, при котором благосостояние обеих сторон повысится.

Если рассматривать конкретный процесс обмена, можно получить более точное описание равновесия. Попробуем описать процесс обмена, имитирующий исход для конкурентного рынка.

Предположим, что у нас имеется третий участник, который готов выступить в роли "аукционщика" по отношению к участникам A и B. Аукционщик назначает цену на товар 1 и на товар 2 и знакомит с этими ценами участников A и B. Каждый участник видит, какова стоимость его начального запаса по ценам (p₁, p₂), и решает, сколько каждого из товаров он хотел бы купить по этим ценам.

Здесь надо сделать одно предупреждение. Если в сделке действительно участвуют только два человека, то им нет особого смысла вести себя как конкуренты. Они могут попробовать поторговаться по поводу условий обмена. Один из способов, которым можно обойти это затруднение — представить, что ящик Эджуорта отражает средний спрос в экономике, где имеется только два типа потребителей, однако потребителей каждого типа много. Другой способ — указать, что данное поведение неприемлемо в случае, когда участников обмена всего двое, но совершенно разумно, если участников обмена много, а именно этот случай нас и интересует в действительности.

Так или иначе, нам известно, как исследовать задачу потребительского выбора в указанных рамках — это просто стандартная задача потребительского выбора, описанная в гл.5. На рис.28.3 мы представили два набора спроса двух участников. (Обратите внимание, что ситуация, изображенная на рис.28.3, не является равновесной, так как спрос со стороны одного участника не равен предложению со стороны другого.)

Как и в гл.9, в рамках данного анализа применимы два понятия "спрос". Валовой спрос участника A на товар 1, скажем, есть общее количество товара 1, которое он хочет иметь при текущих ценах. Чистый спрос участника A на товар 1 есть разность между этим валовым спросом и имеющимся у участника A начальным запасом товара 1. В контексте анализа общего равновесия чистый спрос иногда называют избыточным спросом. Мы будем обозначать этот избыточный спрос участника A на товар 1 через . По определению, если валовой спрос участника A составляет , а его начальный запас есть , мы имеем

= — .

Понятие избыточного спроса, возможно, является более естественным, однако понятие валового спроса, как правило, полезнее. Мы обычно будем пользоваться словом "спрос", имея в виду валовой спрос, и специально употреблять слова "чистый спрос" или "избыточный спрос", если мы имеем в виду именно это.

Рис. 28.3

Валовой спрос и чистый спрос.Валовой спрос — это те количества товаров, которые участник хочет потребить; чистый спрос — это те количества товаров, которые он хочет приобрести.

При произвольных ценах (p₁, p₂) нет гарантии, что предложение будет равно спросу — в любом понимании последнего. На языке чистого спроса это означает, что то количество, которое A хочет купить (или продать), не обязательно будет равно тому количеству, которое хочет продать (или купить) B. На языке валового спроса это означает, что общее количество товаров, которое хотят иметь два участника, не равно общему наличному количеству этих товаров. Действительно, для примера, изображенного на рис.28.3, это именно так: участники не смогут осуществить желаемые сделки — спрос на рынке не равен предложению.

Мы говорим, что в этом случае рынок пребывает в состоянии неравновесия. Естественно предположить, что в такой ситуации аукционщик изменит цены товаров. Если на один из товаров предъявляется избыточный спрос, аукционщик повысит цену этого товара, а если имеется избыточное предложение одного из товаров, аукционщик снизит его цену.

Предположим, что этот процесс приспособления продолжается до тех пор, пока спрос на каждый из товаров не сравняется с его предложением. Как будет выглядеть конечное распределение?

Ответ дан рис.28.4. Здесь количество товара 1, которое хочет купить A, как раз равно количеству товара 1, которое хочет продать B, и то же самое можно сказать в отношении товара 2. Иными словами, общее количество каждого товара, которое каждый индивид хочет купить по текущим ценам, равно общему наличному количеству этого товара. Мы говорим, что рынок находится в равновесии. Точнее, это состояние называется рыночным равновесием, конкурентнымравновесием, или равновесием поВальрасу. Каждое из этих понятий обозначает одно и то же: такую совокупность цен, при которой каждый потребитель выбирает наиболее предпочитаемый им доступный набор, и выбранные всеми потребителями наборы совместимы в том смысле, что на каждом из рынков спрос равен предложению.

Мы знаем, что если каждый индивид выбирает лучший набор из доступных, то его предельная норма замещения одного товара другим должна равняться отношению цен. Однако если все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами, то предельная норма замещения одного товара другим должна быть одинаковой. Применительно к рис.28.4 равновесие обладает тем свойством, что кривая безразличия каждого индивида касается его бюджетной линии. Но наклон бюджетной линии каждого индивида, равный — p₁, p₂, означает, что кривые безразличия двух индивидов должны касаться друг друга.

Алгебра равновесия

Если обозначить функцию спроса индивида A на товар 1 через (p₁, p₂), а функцию спроса индивида B на товар 1 — через (p₁, p₂) и определить аналогичные выражения для товара 2, то можно описать указанное равновесие как такую совокупность цен ( , ), при которой

( , ) + ( , ) = + ,

( , ) + ( , ) = + .

Эти уравнения свидетельствуют, что в равновесии общий спрос на каждый товар должен быть равен его общему предложению.

Другой способ описания равновесия состоит в том, чтобы преобразовать эти два уравнения, получив

[ ( , ) — ] + [ ( , ) — ] = 0,

[ ( , ) — ] + [ ( , ) — ] = 0.

Эти уравнения говорят о том, что сумма количеств чистого спроса каждого индивида на каждый товар должна равняться нулю. Или, другими словами, чистое количество, на которое A предъявляет спрос (или которое предлагает), должно равняться чистому количеству, которое B предлагает (или на которое предъявляет спрос).

Рис. 28.4

Равновесие в ящике Эджуорта.В равновесии каждый индивид выбирает наиболее предпочитаемый набор из своего бюджетного множества, и совокупность наборов спроса равна наличному предложению.

Еще одна формулировка этих уравнений, характеризующих равновесие, следует из понятия функции совокупного избыточного спроса. Обозначим функцию чистого спроса индивида A на товар 1 выражением

(p₁, p₂) = (p₁, p₂) —

и определим подобным же образом (p₁, p₂).

Функция (p₁, p₂) показывает величину чистого спроса индивида A или величину его избыточного спроса — разность между тем количеством товара 1, которое он хочет потребить, и имеющимся у него начальным запасом товара 1. Сложим чистый спрос индивида A на товар 1 и чистый спрос индивида B на товар 1. Получим выражение

z₁(p₁, p₂) = (p₁, p₂) + (p₁, p₂) =

= (p₁, p₂) + (p₁, p₂) — — ,

которое назовем совокупным избыточным спросом на товар 1. Существует и аналогичный совокупный избыточный спрос на товар 2, который обозначим как z₂( p₁, p₂).

Тогда можно описать равновесие ( , ), сказав, что совокупный избыточный спрос на каждый товар равен нулю:

z₁( , ) = 0

z₂( , ) = 0.

На самом деле, это определение жестче, чем требуется. Оказывается, если совокупный избыточный спрос на товар 1 равен нулю, то совокупный избыточный спрос на товар 2 с необходимостью должен равняться нулю. Чтобы доказать это, удобно вначале установить свойство функции совокупного избыточного спроса, известное как закон Вальраса.

Закон Вальраса

В условных обозначениях, введенных выше, закон Вальраса гласит, что

p₁z₁( p₁, p₂) + p₂z₂( p₁, p₂) ≡ 0.

Иначе говоря, стоимость совокупного избыточного спроса тождественно равна нулю. Утверждение "стоимость совокупного спроса тождественно равна нулю" означает, что она равна нулю для всех возможных выборов цен, а не только для равновесных цен.

Доказательство этого следует из суммирования бюджетных ограничений двух индивидов. Рассмотрим вначале индивида A. Поскольку его спрос на каждый товар удовлетворяет его бюджетному ограничению, мы имеем

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂) ≡p₁ + p₂

или

p₁[ (p₁, p₂) — ]+ p₂[ (p₁, p₂) — ] ≡0

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂) ≡ 0.

В этом уравнении утверждается, что стоимость чистого спроса индивида A равна нулю. Иными словами, стоимость того количества товара 1, которое хочет купить индивид A, плюс стоимость того количества товара 2, которое он хочет купить, должна равняться нулю. (Конечно, количество одного из товаров, которое он хочет купить, должно быть отрицательным — иначе говоря, он намеревается продать один из товаров, чтобы купить больше другого товара.)

У нас имеется аналогичное уравнение для индивида B:

p₁[ (p₁, p₂) — ]+ p₂[ (p₁, p₂) — ] ≡0,

p₁ (p₁, p₂) + p₂ (p₁, p₂) ≡ 0.

Сложив эти уравнения для индивидов A и B и воспользовавшись определением совокупного спроса z₁( p₁, p₂) и z₂( p₁, p₂), получаем

p₁[ (p₁, p₂) + (p₁, p₂)] + p₂[ (p₁, p₂) + (p₁, p₂)] ≡0,

p₁z₁(p₁, p₂) + p₂z₂(p₁, p₂) ≡ 0.

Теперь можно увидеть, откуда следует закон Вальраса: поскольку стоимость избыточного спроса каждого индивида равна нулю, стоимость суммы избыточных спросов индивидов должна равняться нулю.

Теперь можно наглядно показать, что при равенстве спроса предложению на одном рынке спрос должен быть равен предложению и на другом рынке. Обратите внимание на то, что закон Вальраса должен соблюдаться для всех цен, так как бюджетное ограничение каждого из индивидов должно удовлетворяться при любых ценах. Поскольку закон Вальраса соблюдается для всех цен, он, в частности, соблюдается для совокупности цен, при которой избыточный спрос на товар 1 равен нулю:

z₁( , ) = 0.

Согласно закону Вальраса должно соблюдаться

p₁z₁( , ) + p₂z₂( , ) = 0.

Как легко вывести из этих уравнений, если p₂> 0, то должно быть

z₂( , ) = 0.

Следовательно, как утверждалось выше, если мы найдем совокупность цен ( , ), при которой спрос на товар 1 равняется предложению товара 1, нам гарантировано, что спрос на товар 2 должен равняться предложению товара 2. Напротив, если мы найдем совокупность цен, при которой спрос на товар 2 равен предложению товара 2, нам гарантировано, что рынок товара 1 будет находиться в равновесии.

Вообще, если имеются рынки для k товаров, достаточно найти совокупность цен, при которой в равновесии пребывают k — 1 рынков. Из закона Вальраса в этом случае будет следовать, что на рынке товара k спрос автоматически должен быть равен предложению.

Относительные цены

Как мы видели выше, закон Вальраса означает, что в модели общего равновесия для k товаров имеется только k — 1 независимых уравнений: если спрос равняется предложению на k — 1 рынках, то спрос должен быть равен предложению на последнем рынке. Но если у нас имеется k товаров, надо определить k цен. Как можно найти решение для k цен, имея только k — 1 уравнений?

Ответ заключается в том, что на самом деле имеется только k — 1 независимых цен. В гл.2 мы видели, что при умножении всех цен и дохода на положительное число t бюджетное множество не изменится и, следовательно, не изменится и набор спроса. В модели общего равновесия доход каждого потребителя есть просто стоимость его начального запаса по рыночным ценам. Умножив все цены на t>0, мы автоматически умножим на t доход каждого потребителя. Следовательно, если мы находим какую-либо равновесную совокупность цен ( , ), то, для любого t > 0, (t , t ) также будут равновесными ценами.

Это означает, что мы вольны выбрать одну из цен и приравнять ее к константе. В частности, зачастую удобно бывает приравнять одну из цен к 1, так что все остальные цены можно толковать как измеряемые относительно нее. Как мы видели в гл.2, такую цену называют ценой-измерителем. Выбор первой цены в качестве цены-измерителя — все равно что умножение всех цен на константу t = 1/p₁.

Можно ожидать, что, исходя из требования равенства спроса предложению на каждом рынке, удастся определить только относительные равновесные цены, поскольку умножение всех цен на положительное число не изменит ничьего поведения в отношении спроса и предложения.

ПРИМЕР: Алгебраический пример равновесия

Функция полезности Кобба—Дугласа, описанная в гл.6, имеет вид u_A( , ) = = для индивида A и аналогичный вид для индивида B. Как мы видели в указанной главе, эта функция полезности порождает следующие функции спроса:

(p₁, p₂, m_A) = a

(p₁, p₂, m_A) = (1 — a)

(p₁, p₂, m_B) = b

(p₁, p₂, m_B) = (1 — b) ,

где a и b — параметры функций полезности для двух потребителей.

Нам известно, что в равновесии денежный доход каждого индивида задается стоимостью его начального запаса:

m_A = p₁ + p₂

m_B = p₁ + p₂ .

Следовательно, функции совокупного избыточного спроса на два товара имеют вид

z₁(p₁, p₂) = a + b — —

= a + b — —

и

z₂(p₁, p₂) = (1 — a) + (1 — b) — —

= (1 — a) + (1 — b) — — .

Вам следует проверить, удовлетворяют ли эти функции совокупного спроса закону Вальраса.

Выберем p₂ в качестве цены-измерителя, так что эти уравнения примут вид

z₁(p₁, 1) = a + b — —

z₂(p₁, 1) = (1 — a)(p₁ + ) + (1 — b)(p₁ + ) — — .

Единственное, что мы здесь сделали, это установили p₂ = 1.

Теперь у нас имеется уравнение для избыточного спроса на товар 1 z₁(p₁, 1), и уравнение для избыточного спроса на товар 2 z₂(p₁, 1), причем каждое из уравнений выражено как функция относительной цены товара 1 p₁. Чтобы найти равновесную цену, мы приравниваем правую часть любого из этих уравнений к нулю и решаем полученное уравнение для p₁. Согласно закону Вальраса, мы должны получить одну и ту же равновесную цену, независимо от того, какое уравнение решаем.

Равновесная цена оказывается следующей:

= .

(Скептики могут подставить это значение p₁ в уравнения, выражающие равенство спроса предложению, с тем, чтобы удостовериться, что данное решение удовлетворяет этим уравнениям.)

Существование равновесия

В приведенном выше примере имелись конкретные уравнения для функции спроса каждого потребителя, и, решив их, мы могли найти их точное значение равновесной цены. Однако вообще говоря, мы не располагали точными алгебраическими формулами, выражающими спрос каждого потребителя. Вполне можно было задать следующий вопрос: откуда известно, что существует какая-то совокупность цен, при которой на каждом рынке спрос равен предложению? Этот вопрос называют вопросом о существовании конкурентногоравновесия.

Существование конкурентного равновесия важно в том плане, что оно служит "проверкой на состоятельность" для различных моделей, рассмотренных нами в предшествующих главах. Какой смысл строить сложные теории механизма установления конкурентного равновесия, если такое равновесие обычно никогда не существует?

Экономисты раннего периода отмечали, что на рынке с k товарами должно определяться k — 1 относительных цен и что имеется k — 1 описывающих равновесие уравнений, в которых утверждается, что на каждом из рынков спрос должен равняться предложению. Они заявляли, что поскольку число уравнений равняется числу неизвестных, должно существовать решение, которое удовлетворяет всем уравнениям.

Вскоре экономисты обнаружили ошибочность подобной аргументации. Чтобы доказать, что равновесное решение должно существовать простого подсчета числа уравнений и числа неизвестных недостаточно. Имеются, однако, математические инструменты, которые могут быть использованы для установления факта существования конкурентного равновесия. Решающей оказывается при этом предпосылка о непрерывности функции совокупного избыточного спроса. Грубо говоря, это означает, что малые изменения цен должны приводить лишь к малым изменениям совокупного спроса: малое изменение цен не должно иметь своим результатом большой скачок в количестве спроса.

При каких условиях функции совокупного спроса будут непрерывными? По существу имеются два рода условий, гарантирующих эту непрерывность. Одно из них состоит в том, что должна быть непрерывной функция спроса каждого индивида — так что малые изменения цен будут приводить лишь к малым изменениям спроса. Оказывается, для этого требуется, чтобы предпочтения каждого потребителя были выпуклыми, о чем шла речь в гл.3. Другое условие является более общим. Даже если функции спроса отдельных потребителей прерывны до тех пор пока все потребители мелки по сравнению с размерами рынка, функция совокупного спроса будет непрерывной.

Это последнее условие выглядит вполне разумным. В конце концов, предпосылка о конкурентном поведении имеет смысл только тогда, когда существует множество потребителей, мелких по отношению к размерам рынка. Это как раз то самое условие, соблюдение которого требуется для того, чтобы функции совокупного спроса были непрерывными. А непрерывность — не что иное, как гарантия существования конкурентного равновесия. Таким образом, те самые предпосылки, которые делают постулируемое поведение разумным, гарантируют наличие у теории равновесия самостоятельного содержания.

Равновесие и эффективность

Мы проанализировали рыночный обмен в рамках модели чистого обмена. При этом мы получили конкретную модель обмена, которую можно сравнить с общей моделью обмена, обсуждавшейся в начале настоящей главы. При рассуждениях о применимости модели конкурентного рынка может возникнуть вопрос о том, способен ли этот механизм действительно исчерпать все выгоды от обмена. Не останется ли еще каких-то сделок, которые люди захотят осуществить, после того, как в результате процесса обмена мы попали в положение конкурентного равновесия, в котором спрос равен предложению на каждом из рынков?

Этот вопрос не что иное, как вопрос о том, является ли рыночное равновесие эффективным по Парето: захотят ли рыночные индивиды совершить еще какие-то обменные сделки после совершения обмена по конкурентным ценам?

Ответ виден при внимательном рассмотрении рис.28.4: распределение, соответствующее рыночному равновесию, оказывается эффективным по Парето. Доказательство этого: распределение в ящике Эджуорта является эффективным по Парето, если множество наборов, предпочитаемых индивидом A, не пересекает множества наборов, предпочитаемых индивидом B. Однако при рыночном равновесии множество наборов, предпочитаемых индивидом A, должно лежать над его бюджетным множеством, и то же самое справедливо для B, при том, что "над" означает "над, с точки зрения B". Следовательно, два множества предпочитаемых распределений не могут пересечься. Это означает, что не существует распределений, которые оба индивида предпочли бы равновесному распределению, поэтому равновесное распределение эффективно по Парето.

Алгебра эффективности

Мы можем показать это и алгебраически. Предположим, что рыночное равновесие не является эффективным по Парето. Покажем, что данное предположение ведет к логическому противоречию.

Утверждение, что рыночное равновесие не является эффективным по Парето, означает, что существует какое-то другое практически осуществимое распределение ( , , , ), такое, что

+ = + (28.1)

+ = + (28.2)

и

( , ) f_A( , ) (28.3)

( , ) f_B( , ). (28.4)

&nbs