Одновременное установление цен

Согласно предпосылке описанной выше модели Курно фирмы выбирают объемы выпуска, оставляя определение цены за рынком. Согласно другому подходу фирмы устанавливают цены на свой выпуск, оставляя за рынком определение объемов продаж. Эта модель известна как конкуренция по Бертрану.

Выбирая цену, фирма должна предвидеть цену, устанавливаемую другой фирмой отрасли. Так же, как в случае равновесия по Курно, мы хотим найти пару цен такую, что каждая из них является выбором, максимизирующим прибыль при заданном выборе цены другой фирмой.

Как выглядит равновесие по Бертрану? В ситуации когда фирмы продают, как мы предположили, одинаковые продукты, структура равновесия по Бертрану на самом деле очень проста. Это равновесие оказывается конкурентным равновесием в точке, где цена равна предельным издержкам!

Сначала обратим внимание на то, что цена никогда не может быть меньше предельных издержек, поскольку иначе каждая из фирм увеличила бы свою прибыль, начав производить меньше. Поэтому рассмотрим случай, когда цена больше предельных издержек. Предположим, что обе фирмы продают выпуск по некоторой цене , которая выше предельных издержек. Рассмотрим позицию фирмы 1. Если она снизит свою цену на любую малую величину e и если другая фирма сохранит свою цену на уровне , то все потребители захотят покупать продукт у фирмы 1. Снизив цену на произвольно малую величину, эта фирма сможет увести у фирмы 2 всех покупателей.

Если фирма 1 действительно думает, что фирма 2 назначит цену , большую, чем предельные издержки, ей всегда будет выгодно снизить цену до — e. Но фирма 2 может рассуждать точно так же! Следовательно, в равновесии не может существовать никакая цена, которая была бы выше предельных издержек; единственно возможное равновесие — конкурентное.

Этот результат кажется парадоксальным, когда вы с ним сталкиваетесь впервые: как можно получить конкурентную цену, если на рынке имеется только две фирмы? Если, однако представить себе модель Бертрана как модель конкурентных торгов, результат этот приобретет больший смысл. Допустим, что одна из фирм участвует в торгах, назначая цену выше предельных издержек. Тогда другая фирма всегда может получить прибыль, сбивая эту цену. Отсюда следует, что единственная цена, "сбивания" которой не может ожидать ни одна из фирм, есть цена, равная предельным издержкам.

Часто можно наблюдать, что в результате конкурентных торгов с участием фирм, не готовых к сговору, устанавливаются цены, много ниже тех, к которым можно было бы придти каким-то другим способом. Это явление есть не что иное как пример логики конкуренции по Бертрану.

Сговор

В рассмотренных нами до сих пор моделях фирмы действовали независимо друг от друга. Однако в случае вступления фирм в сговор с целью совместного определения выпуска эти модели выглядят не очень разумными. Если сговор возможен, то фирмам выгоднее выбрать объем выпуска, максимизирующий общую прибыль отрасли, и затем разделить прибыль между собой. Объединение фирм в целях установления таких цен и объема выпуска, которые максимизировали бы общую прибыль отрасли, известно как картель. Как мы видели в гл.23, картель — это просто группа фирм, вступающих в сговор, чтобы вести себя как единый монополист и максимизировать сумму своих прибылей.

Таким образом, задача максимизации прибыли для двух фирм состоит в выборе таких объемов выпуска y₁и y₂, которые бы максимизировали общую прибыль отрасли:

max p(y₁+ y₂) [y₁ + y₂] — c₁(y₁) — c₂(y₂).

y₁, y₂

Условия оптимальности для данной задачи имеют вид

p( + ) + [ + ] = MC₁( ),

p( + ) + [ + ] = MC₂( ).

Истолкование этих двух условий представляет интерес. Обдумывая, не увеличить ли ей выпуск на Dy₁, фирма 1 ожидает двух обычных эффектов: получения добавочной прибыли от продажи большего объема выпуска и сокращения прибыли вследствие снижения цены. Однако рассматривая второй эффект, она теперь учитывает эффект снижения цены как на свой выпуск, так и на выпуск другой фирмы. Это связано с тем, что теперь она заинтересована в максимизации не только своей прибыли, но и общей прибыли отрасли.

Условия оптимальности означают, что предельный доход от добавочной единицы выпуска должен быть одинаковым независимо от того, где он произведен. Отсюда следует, что MC₁( ) = MC₂( ), так что предельные издержки обеих фирм в равновесии должны быть равны. Если одна из фирм имеет преимущества в издержках, так что ее кривая предельных издержек всегда лежит под кривой предельных издержек другой фирмы, то в равновесии при картеле она всегда будет производить больше выпуска.

В реальной жизни проблема с решением вступить в картель состоит в том, что всегда есть искушение нарушить условия соглашения. Предположим, например, что две фирмы производят объемы выпуска ( , ), максимизирующие прибыль отрасли, и что фирма 1 обдумывает, не произвести ли ей чуть больше выпуска Dy₁. Предельная прибыль, которую при этом получит фирма 1, составит

= p( + ) + — MC₁( ). (26.5)

Как мы видели раньше, условиеоптимальности для картельного решения есть

p( + ) + + — MC₁( ) = 0.

Преобразование данного уравнения дает

p( + ) + — MC₁( ) = — > 0. (26.6)

Это последнее неравенство возникает потому, что величина Dp/DY отрицательна, так как кривая рыночного спроса имеет отрицательный наклон.

Внимательно рассмотрев уравнения (26.5) и (26.6), мы видим, что

.

Следовательно, если фирма 1 полагает, что фирма 2 не изменит свой выпуск, то она будет считать, что может увеличить свою прибыль, увеличив свое собственное производство. При картельном решении фирмы осуществляют совместные действия по ограничению выпуска, чтобы не "испортить" рынок. Они осознают влияние расширения выпуска какой-либо из фирм на общую прибыль картеля. Однако если каждая фирма думает, что другая будет придерживаться своей квоты выпуска, то у каждой из фирм возникнет искушение увеличить свою собственную прибыль путем одностороннего расширения выпуска. При объемах выпуска, максимизирующих общую прибыль картеля, каждой из фирм всегда будет выгодно односторонне увеличить свой выпуск — если она ожидает, что другая фирма будет придерживаться неизменного выпуска.

Дело обстоит еще хуже. Если фирма 1 думает, что фирма 2 не изменит своего объема выпуска, то она сочтет выгодным увеличить свой собственный выпуск. Но если она думает, что фирма 2 увеличит свой выпуск, то она захочет увеличить свой выпуск первой, чтобы получить прибыль, пока это возможно!

Таким образом, чтобы поддержать действующий картель, фирмы нуждаются в способе отслеживания и наказания обмана. Если у них нет возможности следить за выпуском друг друга, то искушение обмануть может привести к распаду картеля. Мы вернемся к этому вопросу чуть позднее.

Чтобы убедиться в том, что мы понимаем, как найти решение задачи максимизации прибыли картеля, рассчитаем его для случая нулевых предельных издержек и линейной кривой спроса, которые мы использовали в случае модели Курно.

Функция совокупной прибыли картеля будет иметь вид

p(y₁, y₂) = [a — b(y₁+ y₂)] (y₁+ y₂) = a(y₁+ y₂) — b(y₁+ y₂)²,

так что условие равенства предельного дохода предельным издержкам будет выражено как

a — 2b( + ) = 0,

а это означает, что

.

Поскольку предельные издержки равны нулю, то, как именно разделен выпуск между двумя фирмами, значения не имеет. Единственное, что подлежит определению, это общий объем выпуска отрасли.

Это решение показано на рис.26.5. Здесь мы изобразили изопрофитные кривые для каждой из фирм и выделили геометрическое место точек их касаний друг с другом. Почему данная линия представляет интерес? Поскольку картель пытается максимизировать общую прибыль отрасли, отсюда следует, что предельная прибыль от производства чуть большего объема выпуска любой из фирм должна быть одинаковой, иначе было бы выгодно, чтобы более прибыльная фирма производила больший объем выпуска. Это в свою очередь означает, что наклоны изопрофитных кривых должны быть одинаковы для каждой фирмы; иными словами, изопрофитные кривые должны касаться друг друга. Следовательно, комбинации выпуска, максимизирующие общую прибыль отрасли, т.е. являющиеся решением задачи для картеля, должны лежать на линии, изображенной на рис.26.5.

Рис. 26.5

Картель. Если прибыль отрасли максимизируется, то предельная прибыль от производства большего объема выпуска для любой фирмы должна быть одинаковой. Это означает, что изопрофитные кривые должны касаться друг друга в точках объемов выпуска, максимизирующих прибыль.

Рис.26.5 иллюстрирует также искушение обмануть, присутствующее в каждом решении задачи максимизации прибыли картеля. Рассмотрим, например, точку, в которой две фирмы делят рынок поровну. Представим, что произошло бы, если бы фирма 1 думала, что фирма 2 будет поддерживать свой выпуск постоянным. Если бы фирма 1 увеличила свой выпуск, а фирма 2 сохраняла постоянный выпуск, то фирма 1 передвинулась бы на более низкую изопрофитную кривую, а это означает, что прибыль фирмы 1 увеличилась бы. Именно это и говорят нам приведенные выше алгебраические выкладки. Если одна фирма думает, что выпуск другой будет оставаться постоянным, то у нее возникнет искушение увеличить свой собственный выпуск, чтобы получить большую прибыль.

ПРИМЕР: Выравнивание цен и конкуренция

Мы видели, что у каждого члена картеля всегда есть искушение произвести больше положенной ему квоты. Чтобы поддержать успешно действующий картель, необходимо найти какой-то способ контролировать поведение его членов. В частности, это означает, что фирмы должны иметь возможность следить за ценами и объемами производства других фирм картеля.

Один из легких способов получения информации о том, какие цены назначают другие фирмы вашей отрасли, заключается в том, чтобы следить за другими фирмами с помощью ваших покупателей. Часто можно видеть рекламу фирм розничной торговли, в которой говорится, что они готовы предложить "самые низкие цены из имеющихся". В некоторых случаях такие предложения могут означать, что в данной отрасли розничной торговли высока конкуренция. Однако в других случаях эта же политика может использоваться для сбора информации о ценах других фирм с целью поддержания картеля.

Допустим, например, что две фирмы договариваются, явно или тайно, продавать определенную модель холодильника за 700 долл. Как может какой-либо из магазинов быть уверен, что другая фирма не нарушает соглашения и не продает холодильник за 675 долл.? Один из способов удостовериться в этом — предложить продать товар по цене ниже любой, которую может найти покупатель. Таким образом, покупатели сообщают о любых попытках нарушить картельное соглашение.

ПРИМЕР: Добровольные экспортные ограничения

В 1980-х гг. японские автомобильные компании согласились на "добро-вольное ограничение экспорта (Voluntary export restraint (VER)". Это означало, что они "добровольно" сократят экспорт своих автомобилей в Соединенные Штаты. Типичный американский потребитель считал это большой победой лиц, проводивших торговые переговоры со стороны США.

Однако если немного призадуматься, дело предстанет в другом свете. В ходе нашего исследования олигополии мы видели, что проблема, стоящая перед фирмами отрасли, заключается в том, как ограничить выпуск, чтобы поддержать более высокие цены и помешать конкуренции. Как мы видели, всегда будет существовать искушение нарушить квоты по производству в картельных соглашениях; каждый картель должен найти способ отслеживать и предотвращать такой обман. Особенно удобно для фирм, если эту роль может выполнить третья сила, в частности, правительство. Именно такую роль сыграло правительство США по отношению к японским производителям автомобилей!

Согласно одной из оценок, в 1984 г. импортируемые японские автомобили стоили на 2500 долл. дороже, чем они стоили бы без "VER". Более того, более высокие цены на импортные автомобили позволили американским производителям продавать свои автомобили на 1000 долл. дороже, чем при других обстоятельствах.

Вследствие этих более высоких цен потребители США заплатили за японские автомобили в 1985—1986 гг. примерно на 10 млрд. долл. больше, чем в другой ситуации. Эти деньги пошли прямо в карманы японских производителей автомобилей. Значительная часть этой добавочной прибыли была вложена в расширение производственных мощностей, что позволило японским производителям автомобилей в последующие годы снизить издержки производства новых автомобилей. "VER" действительно помогли Америке сберечь рабочие места; однако похоже, что издержки на одно сэкономленное рабочее место составили около 160 000 долл. в год.

Если целью "VER" было просто оздоровление американской автомобильной промышленности, то имелся гораздо более простой способ сделать это: достаточно было ввести пошлину в размере 2500 долл. на каждый импортируемый японский автомобиль. При этом доходы от ограничения торговли достались бы правительству США, а не японской автомобильной промышленности. Вместо того чтобы отослать в 1985—1986 гг. за границу 10 млрд. долл., правительство США могло истратить эти деньги на проекты, направленные на долгосрочное оздоровление автомобильной промышленности США.

Сравнение решений

До настоящего момента мы рассмотрели несколько моделей поведения дуополии: лидерство по объему выпуска (модель Стэкельберга), лидерство в ценообразовании, одновременное установление объемов выпуска (модель Курно), одновременное установление цен (модель Бертрана) и решение в случае сговора. Что показывает их сравнение?

Вообще говоря, сговор имеет своим результатом наименьший отраслевой объем выпуска и наивысшую цену. Равновесие по Бертрану — конкурентное равновесие — дает наивысший выпуск и самую низкую цену. Результаты других моделей находятся между этими двумя крайностями.

Возможно построение множества других моделей. Например, можно рассмотреть модель с дифференциацией продуктов, в которой два производимых товара не являются совершенными субститутами. Или же модель, в которой фирмы принимают ряд решений о выборе с течением времени. В рамках такой модели выбор, сделанный фирмой в какой-то момент времени, может влиять на выбор, который делает позднее другая фирма.

Мы предположили также, что каждой фирме известны функция спроса и функции издержек других фирм отрасли. В действительности эти функции никогда не бывают известны наверняка. При принятии собственных решений каждой фирме необходимо оценить те условия со стороны спроса и издержек, с которыми сталкиваются ее соперники. Все эти явления получили отражение в построенных экономистами моделях, но модели при этом значительно усложнились.

Краткие выводы

1.Олигополия характеризуется рынком, на котором действует небольшое число фирм, осознающих свою стратегическую взаимозависимость. Существует несколько возможных способов поведения олигополий в зависимости от точной природы их взаимодействия.

2.В модели лидерства по объему выпуска (Стэкельберга) одна из фирм выступает в роли лидера, устанавливающего объем выпуска, а другая — в роли ведомого. Выбирая объем выпуска, лидер учитывает предполагаемую реакцию ведомого.

3.В модели лидерства в ценообразовании одна фирма устанавливает цену, а другая выбирает тот объем выпуска, который она хочет предложить по этой цене. И опять, принимая решение, лидер должен учитывать поведе-ние ведомого.

4.В модели Курно каждая из фирм выбирает такой объем выпуска, чтобы максимизировать свою прибыль при заданных ожиданиях в отношении выбора другой фирмы. В равновесии каждая из фирм обнаруживает, что ее ожидания в отношении выбора другой фирмы сбылись.

5.Равновесие по Курно, в котором рыночная доля каждой из фирм очень мала, подразумевает цену, очень близкую к предельным издержкам, иными словами, такая отрасль будет почти конкурентной.

6.В модели Бертрана каждая из фирм выбирает цену на свой продукт при заданных ожиданиях в отношении цены, которую выберет другая фирма. Единственно возможной равновесной ценой является цена для конку-рентного равновесия.

7.Картель состоит из ряда фирм, вступивших в сговор с целью ограничения выпуска и максимизации прибыли отрасли. Как правило, картель неустойчив в том смысле, что у каждой из входящих в него фирм имеется искушение продать больший объем выпуска, чем предусмотрено согла-шением, если она думает, что другая фирма не среагирует на это.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Допустим, что у нас имеются две фирмы с линейными кривыми спроса p(Y) = a — bY, а предельные издержки постоянны и равны c. Найдите равновесный выпуск по Курно.

2.Рассмотрим картель, в котором все фирмы имеют одинаковые и постоянные предельные издержки. Если картель максимизирует общую прибыль отрасли, то что это означает применительно к разделению выпуска между фирмами?

3.Может ли фирма, являющаяся лидером, когда-либо получить в равнове-сии по Стэкельбергу более низкую прибыль, чем в равновесии по Курно?

4.Предположим, что в равновесии по Курно существует n одинаковых фирм. Покажите, что эластичность кривой рыночного спроса должна быть больше 1/n. (Подсказка: в случае монополиста n = 1 и это просто говорит о том, что монополист производит в эластичной части кривой спроса. Примените к данной задаче ту же логику, которой мы руковод-ствовались при установлении этого факта).

5.Нарисуйте набор кривых реакции, приводящих к установлению неус-тойчивого равновесия.

6.Производят ли олигополии эффективный объем выпуска?

Глава 27 - ТЕОРИЯ ИГР

В предыдущей главе по теории олигополии была представлена классическая экономическая теория стратегического взаимодействия между фирмами. Однако на самом деле — это лишь верхушка айсберга. Экономические субъекты могут стратегически взаимодействовать различными способами, многие из которых были исследованы с применением аппарата теории игр. Теория игр занимается общим анализом стратегического взаимодействия. Ею можно пользоваться при изучении салонных азартных игр, процесса ведения политических переговоров и экономического поведения. В настоящей главе мы вкратце исследуем этот увлекательный предмет, чтобы познакомить вас с его особенностями и с тем, как можно его использовать при изучении экономического поведения на олигополистических рынках.

Платежная матрица игры

Стратегическое взаимодействие может включать много игроков и много стратегий, но мы ограничимся играми с участием двух лиц, имеющих конечное число стратегий. Это позволит нам без труда изобразить игру с помощью платежной матрицы. Самое простое — рассмотреть сказанное на конкретном примере.

Предположим, что два человека играют в простую игру. Игрок A пишет на листке бумаги одно из двух слов: "верх" или "низ". Одновременно игрок B пишет на листке бумаги "слева" или "справа". После того как они это сделают, листки бумаги передаются на рассмотрение, и каждый из них получает выигрыш, представленный в табл.27.1. Если A говорит "верх", а B говорит "слева", то мы смотрим в верхний левый угол матрицы. В этой матрице выигрыш A показан первой записью в клеточке, 1, а выигрыш B — второй, 2. Аналогично, если A говорит "низ", а B говорит "справа", то A получает выигрыш 1, а B — выигрыш 0.

У игрока A имеются две стратегии: он может выбрать "верх" и может выбрать "низ". Эти стратегии могут представлять собой экономический выбор, такой, например, как "повысить цену" или "снизить цену". Или же они могут представлять собой выбор политический, такой, как "объявить войну" или "не объявлять войны". Платежная матрица игры просто отображает выигрыш каждого игрока при каждой комбинации выбираемых стратегий.

Каков будет исход игры такого рода? Игра, описанная в табл.27.1, имеет очень простое решение. С точки зрения игрока A, для него всегда лучше сказать "низ", так как его выигрыш при таком выборе (2 или 1) всегда больше, чем соответствующие записи в таблице в случае, если бы он сказал "верх" (1 или 0). Аналогично для B всегда лучше сказать "слева", поскольку 2 и 1 лучше, чем 1 и 0. Таким образом, следует ожидать, что стратегия равновесия для A будет заключаться в том, чтобы следовать стратегии "низ", а для B — стратегии "слева".

В этом случае мы имеем дело с доминирующей стратегией. У каждого игрока имеется один оптимальный выбор стратегии независимо от того, что делает другой игрок. Каков бы ни был выбор игрока B, игрок A всегда получит больший выигрыш, если будет следовать стратегии "низ", поэтому ему имеет смысл выбирать стратегию "низ". И каков бы ни был выбор, сделанный игроком A, B получит больший выигрыш, если будет следовать стратегии "слева". Следовательно, эти варианты выбора доминируют над альтернативными, и перед нами — равновесие с доминирующими стратегиями.

Табл. 27.1

Платежная матрица игры

	Игрок B
	Слева	Справа
Верх	1, 2	0, 1
Низ	2, 1	1, 0

Если в какой-то игре у каждого игрока имеется доминирующая стратегия, можно предсказать, что данная игра будет иметь равновесный исход. Ведь доминирующая стратегия есть стратегия, которая является наилучшей вне зависимости от того, что делает другой игрок. В данном примере следовало бы ожидать равновесного исхода, при котором A следует стратегии "низ", получая равновесный выигрыш 2, а B следует стратегии "слева", получая равновесный выигрыш 1.

Равновесие по Нэшу

Равновесия с доминирующими стратегиями хороши, но встречаются не так уж часто. Например, в игре, описанной в табл.27.1, нет равновесия с доминирующими стратегиями. В ней при выборе игроком B стратегии "слева" выигрыш для A составляет 2 или 0. Если В выбирает "справа", то выигрыш А — от 0 до 1. Это означает, что когда B выбирает стратегию "слева", A захочет выбрать стратегию "верх"; а когда B выбирает стратегию "справа", A захочет выбрать стратегию "низ". Следовательно, оптимальный выбор A зависит от того, каких действий он ожидает от B.

Равновесие по Нэшу

Табл. 27.2

	Игрок B
	Слева	Справа
Верх	2, 1	0, 0
Низ	0, 0	1, 2

Однако, возможно, равновесие с доминирующими стратегиями связано с чересчур большими требованиями. Вместо требования, чтобы выбор, сделанный игроком A, был оптимальным для всех выборов игрока B, можно просто потребовать, чтобы он был оптимальным для всех оптимальных выборов, сделанных B. Ведь если B — хорошо информированный умный игрок, он захочет выбирать только оптимальные стратегии. (Хотя то, что оптимально для B, будет зависеть также от выбора, сделанного A!)

Мы будем говорить, что пара стратегий приводит к равновесию по Нэшу, если выбор, сделанный A, оптимален при данном выборе B, а выбор, сделанный B, оптимален при данном выборе A.

Помните, что ни один из игроков не знает, что будет делать другой, когда ему самому придется выбирать стратегию. Однако у каждого игрока могут иметься какие-то ожидания в отношении возможного выбора другого игрока. Равновесие по Нэшу можно истолковывать как пару таких ожиданий в отношении выбора каждого игрока, что когда выбор каждого становится известным, ни один из игроков не хочет изменить свое поведение.

В случае, представленном в табл.27.2, стратегия ("верх", "слева") приводит к равновесию по Нэшу. Чтобы это доказать, обратите внимание на то, что если A выбирает "верх", то B лучше всего выбрать "слева", так как выигрыш от выбора "слева" составляет для B 1, а от выбора "справа" — 0. Если же B выбирает "слева", то для A лучше всего выбрать "верх", поскольку тогда A получит выигрыш 2, а не 0.

Таким образом, если A выбирает "верх", то оптимальным для B будет выбор "слева"; а если B выбирает "слева", то оптимальным для A будет выбор "верх". В итоге мы имеем равновесие по Нэшу: выбор каждого игрока оптимален при данном выборе другого игрока.

Равновесие по Нэшу есть общий случай описанного в предыдущей главе равновесия по Курно. Там объектами выбора были объемы выпуска, и каждая фирма выбирала свой объем выпуска, принимая выбор другой фирмы постоянным. Предполагалось, что каждая из фирм поступает наилучшим для себя образом при предпосылке о том, что другая фирма будет продолжать производить выбранный ею объем выпуска, т.е. продолжать следовать выбранной стратегии. Равновесие по Курно имеет место тогда, когда каждая из фирм максимизирует прибыль при заданном поведении другой фирмы, а это не что иное, как определение равновесия по Нэшу.

Понятию равновесия по Нэшу нельзя отказать в определенной логике. К сожалению, с ним связаны и некоторые проблемы. Во-первых, игра может иметь больше одного равновесия по Нэшу. В самом деле, в табл.27.2 выбор ("низ", "справа") также есть равновесие по Нэшу. Вы можете либо проверить это с помощью аргументации, использованной выше, либо просто обратить внимание на то, что структура игры симметрична: B имеет при одном исходе те же выигрыши, что A при другом, так что, доказав, что ("верх", "слева") есть равновесие, мы тем самым доказали и что ("низ", "справа") тоже равновесие.

Вторая проблема, связанная с понятием равновесия по Нэшу, состоит в том, что существуют игры, вообще не имеющие равновесия по Нэшу в том смысле, о котором шла речь. Рассмотрим, например, случай, описанный в табл.27.3. Здесь равновесия Нэша в том виде, в каком оно изучалось нами, не существует. Если игрок A следует стратегии "верх", то игрок B захочет выбрать стратегию "слева". Но если игрок B следует стратегии "слева", то игрок A хочет следовать стратегии "низ". Аналогично если игрок A следует стратегии "низ", то игрок B будет следовать стратегии "слева". Если игрок В выбирает стратегию "справа", то А выбирает стратегию "верх".

Табл. 27.3

Игра, в которой нет равновесия по Нэшу (при чистых стратегиях)

	Игрок B
	Слева	Справа
Верх	0, 0	0, —1
Низ	1, 0	—1, 3

Смешанные стратегии

Однако расширив наше определение стратегий, для этой игры можно найти новый род равновесия Нэша. До сих пор мы полагали, что каждый игрок выбирает стратегию раз и навсегда. Иными словами, каждый игрок делает выбор и придерживается его. Это называется чистой стратегией.

Можно представить себе дело и по-другому, допустив, что игроки выбирают стратегии случайно — приписывают каждому выбору определенную вероятность и разыгрывают выбранные стратегии в соответствии с этими вероятностями. Например, A мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "верх" и в течение 50% времени — стратегии "низ", в то время, как B мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "слева" и в течение 50% времени — стратегии "справа". Такого рода стратегия называется смешанной.

Если A и B будут придерживаться указанных выше смешанных стратегий, следуя каждой из выбранных ими стратегий в течение половины времени, то с вероятностью 1/4 они закончат игру в каждой из четырех ячеек платежной матрицы. Следовательно, средний выигрыш для A будет равен 0, а для B — 1/2.

Равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях — такое равновесие, в котором каждый игрок выбирает оптимальную частоту разыгрывания своих стратегий при заданной частоте разыгрывания выбранных стратегий другим игроком.

Можно показать, что в тех играх, которые мы рассматриваем в этой главе, всегда будет существовать равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях. Поскольку при смешанных стратегиях равновесие по Нэшу существует всегда и поскольку этому понятию многие интуитивно доверяют, данное понятие равновесия очень широко используется в анализе игрового поведения. Можно показать, что если в примере, описанном в табл.27.3, игрок A будет следовать стратегии "верх" с вероятностью 3/4 и стратегии "низ" с вероятностью 1/4, а игрок B — следовать стратегии "слева" с вероятностью 1/2 и стратегии "справа" — с вероятностью 1/2, это и будет равновесием по Нэшу.

Дилемма заключенного

Другая проблема связана с тем, что если в игре имеется равновесие по Нэшу, оно не обязательно ведет к исходам, эффективным по Парето. Рассмотрим, например, игру, описанную в табл.27.4. Эта игра известна как дилемма заключенного. В первоначальной версии игры рассматривалась ситуация, в которой двоих заключенных — соучастников преступления — допрашивают в отдельных комнатах. У каждого из заключенных имеется выбор: либо признаться в преступлении и тем самым впутать другого, либо отрицать свое участие в преступлении. Если признается лишь один из заключенных, его освободят, и обвинение падет на другого заключенного, которого приговорят к 6 месяцам тюремного заключения. Если оба заключенных будут отрицать свою причастность к преступлению, обоих продержат в тюрьме по 1 месяцу в связи с соблюдением формальностей, а если оба игрока признаются, обоих приговорят к 3 месяцам тюремного заключения. Платежная матрица для этой игры приведена в табл.27.4. Записи в каждой клетке матрицы представляют полезность, приписываемую каждым из игроков различным срокам пребывания в тюрьме, которую мы для простоты будем считать продолжительностью их тюремного заключения, взятой со знаком "минус".

Поставьте себя на место игрока A. Если игрок B решит отрицать, что совершил преступление, то, конечно, вам лучше признаться, так как тогда вас освободят. Подобным же образом если игрок B признается, то вам лучше признаться, так как в этом случае вас приговорят не к 6 месяцам тюремного заключения, а только к 3. Следовательно, что бы ни делал игрок B, игроку A выгоднее признаться.

Табл. 27.4

Дилемма заключенного

	Игрок B
	Признаться	Отрицать
Признаться	—3, —3	0, —6
Отрицать	—6, 0	—1, —1

То же самое можно сказать и об игроке B — ему тоже выгоднее признаться. Следовательно, единственное равновесие по Нэшу в этой игре — исход, при котором оба игрока признаются. В действительности исход, при котором оба игрока признаются, — это не только равновесие по Нэшу, но и равновесие при доминирующих стратегиях, поскольку у каждого игрока имеется один и тот же оптимальный выбор, независимый от выбора другого игрока.

Но если бы они оба держали язык за зубами, им обоим это было бы выгоднее! Если бы они оба могли быть уверены в том, что другой промолчит, и договорились бы между собой не признаваться, то выигрыш каждого составил бы —1, что было бы выгодно обоим. Стратегия ("отрицать", "отрицать") эффективна по Парето, другой стратегии, которая была бы выгодна сразу обоим, нет, в то время, как стратегия ("признаться", "признаться") неэффективна по Парето.

Проблема состоит в том, что заключенные лишены возможности координировать свои действия. Если бы каждый из них мог доверять другому, благосостояние обоих повысилось бы.

Дилемма заключенного применима к широкому кругу экономических и политических явлений. Рассмотрим, например, проблему контроля над вооружением. Можно интерпретировать стратегию "признаться" как "развертывать новые ракеты", а стратегию "отрицать" — как "не развертывать новые ракеты". Обратите внимание на то, что выигрыши вполне подходят для такой игры. Если мой противник развертывает свои ракеты, я, конечно, захочу развертывать свои несмотря на то, что наилучшей стратегией для нас обоих было бы придти к соглашению о неразвертывании ракет. Однако если не существует способа заключить соглашение, реально обязывающее его участников к выполнению, мы в итоге оба развернем ракеты и благосостояние обоих понизится.

Другой хороший пример применения дилеммы заключенного — проблема мошенничества в картеле. Теперь можно интерпретировать "признаться" как "превысить квоту выпуска", а "отрицать" — как "придерживаться первоначальной квоты". Если вы думаете, что другая фирма собирается придерживаться своей квоты, вам выгоднее превысить свою квоту. А если вы думаете, что другая фирма превысит свою квоту выпуска, то и вы тоже можете это сделать!

Дилемма заключенного вызвала большие споры в отношении того, как же "правильно", или, точнее, как разумнее играть в эту игру. Ответ, похоже, зависит от того, разыгрывается ли игра в течение одног<