Максимизация прибыли и отдача от масштаба

Существует важная взаимосвязь между максимизацией прибыли конкурентной фирмой и отдачей от масштаба. Предположим, что фирма выбрала максимизирующий прибыль в длительном периоде выпуск y* = f( , ), который она производит, используя количества факторов производства, равные ( , ).

Тогда прибыль фирмы задается выражением

p* = py* — w₁ — w₂ .

Предположим, что производственная функция этой фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба и что в равновесии фирма имеет положительную прибыль. Рассмотрим, что произойдет, если фирма удвоит объем использования ею фактора производства. Согласно гипотезе постоянной отдачи от масштаба это удвоило бы объем выпуска фирмы. Что произошло бы при этом с прибылью?

Нетрудно увидеть, что прибыль фирмы также удвоилась бы. Но это противоречит предположению о том, что исходный выбор фирмы максимизировал ее прибыль! Мы получили это противоречие, предположив, что исходный уровень прибыли был положительным; если бы исходный уровень прибыли был нулевым, проблемы бы не возникло: дважды ноль — по-прежнему ноль.

Эти рассуждения показывают, что в длительном периоде единственным разумным уровнем прибыли конкурентной фирмы с постоянной отдачей от масштаба при всех уровнях выпуска является нулевой уровень прибыли. (Разу-меется, если в длительном периоде фирма имеет отрицательную прибыль, ей следует прекратить деятельность.) Большинство людей находит это заявление удивительным. Ведь смысл деятельности фирм — в максимизации прибыли, не правда ли? Как же может случиться, что в длительном периоде они получают лишь нулевую прибыль?

Представьте себе, что бы могло произойти с фирмой, которая попыталась бы бесконечно расширять свою деятельность. Она могла бы попасть в одну из следующих трех ситуаций.

1) Эта фирма могла бы стать настолько крупной, что ей уже не удавалось бы функционировать по-настоящему эффективно. Это равносильно утверждению о том, что на самом деле фирму не характеризует постоянная отдача от масштаба при всех объемах выпуска. С течением времени из-за проблем с координацией деятельности такая фирма могла бы вступить в область убывающей отдачи от масштаба.

2) Фирма могла бы укрупниться настолько, что стала бы полностью господствовать на рынке производимого ею продукта. В этом случае у нее нет причин вести себя так, как положено конкурентной фирме, а именно: считать цену выпуска заданной. Вместо этого такой фирме было бы разумнее попытаться использовать свои размеры для оказания влияния на рыночную цену. Модель конкурентной максимизации прибыли уже не являлась бы больше разумным способом поведения данной фирмы, поскольку у нее практически не было бы конкурентов. Мы обратимся к исследованию моделей поведения фирмы, более подходящих для подобной ситуации, когда будем изучать монополию.

3) Если одна фирма может получать положительную прибыль, пользуясь технологией с постоянной отдачей от масштаба, это может делать и любая другая фирма, имеющая доступ к той же самой технологии. Если одна фирма хочет расширять свой выпуск, так же могут поступить и другие фирмы. Но если все фирмы будут расширять выпуск, это, разумеется, собьет цену выпуска и понизит прибыли всех фирм отрасли.

Выявленная прибыльность

Когда максимизирующая прибыль фирма производит выбор факторов производства и объемов выпуска, она тем самым обнаруживает два момента: во-первых, выбранные объемы факторов производства и выпусков представляют собой выполнимую производственную программу, а во-вторых, эти выбранные комбинации более прибыльны, чем другие выполнимые варианты выбора, на которых могла бы остановиться фирма. Исследуем эти моменты более детально.

Предположим, что есть две комбинации факторов и выпуска, выбранные фирмой при двух разных наборах цен. В момент времени t фирма сталкивается с ценами ( ) и выбирает комбинацию ( ). В момент времени s она сталкивается с ценами ( ) и выбирает комбинацию ( ). Если с момента t до момента s производственная функция фирмы не изменилась и фирма максимизирует прибыль, то должно соблюдаться:

— — — — (18.2)

и

— — — — . (18.3)

Иначе говоря, прибыль, получаемая фирмой при ценах периода t, должна быть больше, чем если бы при этих ценах фирма использовала производственную программу периода s, и наоборот. В случае нарушения любого из этих двух неравенств фирма не могла бы максимизировать прибыль (при условии неизменности технологии).

Таким образом, если когда-либо мы столкнемся в наших наблюдениях с двумя временными периодами, в которых эти неравенства нарушаются, мы будем знать, что фирма не максимизировала прибыль по крайней мере в одном из этих периодов. Соблюдение этих неравенств является буквально аксиомой поведения, максимизирующего прибыль, поэтому его можно назвать слабой аксиомой максимизации прибыли (Weak Axiom of Profit Maximization (WAPM)).

Если сделанный фирмой выбор удовлетворяет WAPM, можно вывести полезное утверждение из области сравнительной статики о том, как ведут себя спрос на факторы и предложение выпуска при изменении цен. Поменяв местами обе стороны неравенства (18.3), получим при этом

— — (18.4)

а прибавив неравенство (18.4) к неравенству (18.2), получим

(p^t — p^s)y^t — ( — ) — ( — )

≥(p^t — p^s)y^s — ( — ) — ( — ) . (18.5)

Теперь преобразуем это неравенство:

(p^t — p^s)(y^t — y^s) — ( — )( — ) — ( — )( — ) ≥ 0. (18.6)

Наконец, определим изменение цен Dp = (p^t — p^s), изменение объема выпуска, Dy = (y^t — y^s) и т.д., чтобы найти

DpDy — Dw₁Dx₁ — Dw₂Dx₂≥ 0. (18.7)

Это неравенство — наш конечный результат. Оно свидетельствует, что изменение цены выпуска, умноженное на изменение объема выпуска, минус изменение цены каждого фактора, умноженное на изменение количества этого фактора, должно быть неотрицательной величиной. Это неравенство вытекает исключительно из определения максимизации прибыли. И тем не менее, оно содержит все результаты сравнительной статики в отношении выбора, максимизирующего прибыль!

Например, предположим, что мы рассматриваем ситуацию, в которой цена выпускаемой продукции меняется, а цена каждого фактора остается постоянной. Если w₁ = w₂ = 0, то неравенство (18.7) сводится к

DpDy≥ 0.

Следовательно, если цена выпускаемой продукции растет, так что p> 0, то изменение объема выпуска также должно быть неотрицательным y≥ 0. Это говорит нам о том, что кривая предложения конкурентной фирмы, максимизирующая прибыль, должна иметь положительный (или по крайней мере нулевой) наклон.

Аналогичным образом, если цена выпускаемой продукции и цена фактора 2 остаются постоянными, то неравенство (18.7) приобретает вид

— w₁ x₁≥ 0,

или, что то же самое,

w₁ x₁≤ 0.

Следовательно, если цена фактора 1 растет, так что w₁> 0, то из неравенства (18.7) должно следовать, что спрос на фактор 1 будет падать (или в крайнем случае останется без изменений), так что x₁≤ 0. Это означает, что кривая спроса на фактор должна быть убывающей функцией цены фактора: кривые спроса на факторы имеют отрицательный наклон.

Из простого неравенства, выражающего WAPM, и его следствия в виде неравенства (18.7) вытекают серьезные наблюдаемые ограничения в отношении возможного поведения фирмы. Естественно спросить, исчерпываются ли этим ограничения, налагаемые на поведение фирмы моделью максимизации прибыли. Другими словами, если мы наблюдаем ряд вариантов выбора фирмы и если эти варианты выбора удовлетворяют WAPM, то можем ли мы построить оценку технологии, для которой наблюдаемые варианты выбора являются максимизирующими прибыль? Оказывается, да. На рис.18.4 показано, как построить такую технологию.

Рис. 18.4

Построение возможной технологии. Если наблюдаемые варианты выбора максимизируют прибыль при каждом наборе цен, то мы можем дать оценку формы технологии, определявшей эти варианты выбора, используя изопрофитные линии.

Чтобы графически проиллюстрировать проведенные рассуждения, предположим, что имеются один фактор производства и один выпуск. Допустим, что перед нами выбор, наблюдаемый в период t, и выбор, наблюдаемый в период s, обозначенные соответственно ( ) и ( ). Мы можем подсчитать для каждого периода прибыль p_s и p_t и нанести на график все комбинации y и x₁, которые приносят эту прибыль.

Иными словами, мы графически представляем две изопрофитные линии

p_t = p^ty — x₁

и

p_s = p^sy — x₁.

Точкам, лежащим над изопрофитной линией для периода t, соответствуют прибыли выше p_t по ценам периода t, а точкам, лежащим над изопрофитной линией для периода s, соответствуют прибыли выше p_s по ценам периода s. Соблюдение WAPM требует, чтобы выбор в период t лежал под изопрофитной линией для периода s, а выбор в период s — под изопрофитной линией для периода t.

Если это условие удовлетворяется, то нетрудно построить технологию, для которой (y^t, ) и (y^s, ) — комбинации, максимизирующие прибыль. Просто возьмите окрашенное пространство под указанными двумя линиями. Это и есть все комбинации фактора 1 и выпуска, которые приносят прибыль более низкую, чемнаблюдаемые выбранные комбинации при наборах цен обоих периодов.

Доказательство того, что данная технология порождает наблюдаемые выбранные комбинации количества фактора производства и объема выпуска как комбинации, максимизирующие прибыль, геометрически очевидно. При ценах (p^t, ) выбранная комбинация (y^t, ) лежит на самой высокой изопрофитной линии из возможных, и то же самое относится к комбинации, выбранной для периода s.

Таким образом, когда наблюдаемые варианты выбора удовлетворяют WAPM, мы можем "воссоздать" оценку технологии, которая могла бы обусловить появление таких наблюдаемых вариантов выбора. В этом смысле любые наблюдаемые варианты выбора, совместимые с WAPM, могли бы быть комбинациями, максимизирующими прибыль. По мере наблюдения все большего числа выбранных фирмой комбинаций количества фактора производства и объема выпуска мы получаем, как показано на рис.18.5, все более точную оценку производственной функции.

Эта оценка производственной функции может использоваться для прогнозирования поведения фирмы в иной среде или для других целей экономического анализа.

Оценка технологии. По мере наблюдения все большего числа выбранных комбинаций количества фактора производства и объема выпуска мы получаем все более точную оценку производственной функции.

Рис. 18.5

ПРИМЕР: Как реагируют фермеры на поддержание уровня цен?

В настоящее время правительство США ежегодно тратит от 40 до 60 млрд. долл. на поддержку фермеров. Большая часть этой суммы используется на субсидирование производства различных продуктов, включая молоко, пшеницу, кукурузу, соевые бобы и хлопок. Время от времени предпринимаются попытки сократить или отменить эти субсидии. Результатом отмены этих субсидий было бы сокращение цены продукта, получаемой фермерами.

Фермеры иногда доказывают, что отмена субсидий на молоко, например, не привела бы к сокращению общего предложения молока, поскольку фермеры, владеющие молочными хозяйствами, предпочли бы в этом случае увеличить свои стада и предложение молока с тем, чтобы сохранить свой прежний уровень жизни.

Однако если поведение фермеров направлено на максимизацию прибыли, это невозможно. Как было показано выше, логика максимизации прибыли требует, чтобы понижение цены выпускаемой продукции приводило к сокращению ее предложения: если Dp отрицательна, то Dy также должна быть отрицательной.

Возможно, конечно, что мелкие семейные фермы руководствуются иными целями, нежели просто максимизация прибыли, но крупные фермы системы агробизнеса скорее всего преследуют цель максимизации прибыли. Поэтому "извращенная" реакция на отмену субсидий, о которой шла речь выше, могла бы иметь место лишь в ограниченных пределах, если бы вообще была возможной.

Минимизация издержек

Если фирма максимизирует прибыль и решает производить какой-то объем выпуска y, то тогда она должна минимизировать издержки производства y. Если бы это было не так, то имелся бы какой-то более дешевый способ производства y единиц выпуска, а это означало бы, что поначалу фирма не максимизировала прибыль.

Эта простая мысль оказывается весьма полезной при изучении поведения фирмы. Удобно, оказывается, разбить решение задачи максимизации прибыли на две стадии: вначале мы выясняем, как минимизировать издержки производства любого желаемого объема выпуска y, а затем — какой объем выпуска в действительности является максимизирующим прибыль. Мы начнем решать эту задачу в следующей главе.

Краткие выводы

1.Прибыль есть разность между общим доходом и издержками. В этом определении важно то, что все издержки должны измеряться в соответ-ствующих рыночных ценах.

2.Постоянные факторы — это такие факторы, количество которых не зависит от объема выпуска; переменные факторы — такие факторы, используемое количество которых изменяется по мере изменения объема выпуска.

3.В коротком периоде некоторые факторы должны использоваться в предопределенных количествах. В длительном периоде все факторы могут изменяться.

4.Если фирма максимизирует прибыль, то стоимость предельного продукта каждого переменного фактора должна равняться цене этого фактора.

5.Логика максимизации прибыли подразумевает, что функция предложения конкурентной фирмы должна быть возрастающей функцией цены выпускаемой продукции и что функция спроса на каждый фактор должна быть убывающей функцией цены этого фактора.

6.Если конкурентная фирма демонстрирует постоянную отдачу от масш-таба, то ее прибыль в длительном периоде должна равняться нулю.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Что случится с прибылью в коротком периоде, если цена постоянного фактора возрастет?

2.Что произошло бы с прибылью фирмы, неизменно демонстрирующей возрастающую отдачу от масштаба, если бы при постоянных ценах она удвоила масштаб своих операций?

3.Что произошло бы с совокупной прибылью фирмы, если бы эта фирма, имея убывающую отдачу от масштаба при всех объемах выпуска, разделилась на две более мелкие фирмы равного размера?

4.Огородник восклицает: "Я вырастил продукции более чем на 20 долларов, и это обошлось мне всего в 1 доллар, затраченный на семена!" Какие за-мечания мог бы высказать циничный экономист по поводу этой ситуа-ции, не считая того факта, что большая часть выращенной им продукции — цукини?

5.Всегда ли максимизация прибыли фирмы идентична максимизации ры-ночной стоимости фирмы?

6.Если pMP₁>w₁, то что следует сделать фирме, чтобы повысить прибыль — увеличить количество фактора 1 или уменьшить его ?

7.Предположим, что фирма максимизирует прибыль в коротком периоде, используя переменный фактор x₁ и постоянный фактор x₂. Если цена фактора x₂ снижается, то что произойдет с использованием фирмой фактора x₁? Что произойдет с уровнем прибыли фирмы?

8.Может или не может иметь технологию с постоянной отдачей от масштаба максимизирующая прибыль конкурентная фирма, получающая положительную прибыль в длительном периоде.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задача максимизации прибыли фирмы имеет вид

max pf(x₁, x₂) — w₁x₁ — w₂x₂.

x₁,x₂

Условия первого порядка для нее таковы:

p — w₁ = 0,

p — w₂ = 0.

Это те же самые условия, что и условия равенства стоимости предельного продукта фактора цене этого фактора, приведенные в тексте. Посмотрим, как выглядит поведение фиры, максимизирующее прибыль в случае производственной функции Кобба—Дугласа.

Предположим, что функция Кобба—Дугласа задана в виде f(x₁, x₂) = . Тогда указанные два условия первого порядка принимают вид:

— w₁ = 0,

— w₂ = 0.

Умножим первое уравнение на x₁, а второе — на x₂ и получим

— w₁x₁ = 0,

— w₂x₂ = 0.

Используя y = для обозначения объема выпуска этой фирмы, мы можем переписать эти выражения в виде

pay = w₁x₁,

pby = w₂x₂.

Выразив из них x₁ и x₂, мы получаем

,

.

Мы получили выражения для спроса на два фактора производства как функции выбора оптимального выпуска. Но нам все еще надо найти выражение для оптимального выбора объема выпуска. Подставляя выражения для оптимального спроса на факторы в производственную функцию Кобба—Дугласа, мы получаем выражение

= y.

Вынеся y за скобки в левой части уравнения, получаем

y^a+b = y,

или

y = .

Это выражение для функции предложения фирмы с производственной функцией Кобба—Дугласа. Наряду с выведенными выше функциями спроса на факторы оно дает нам полное решение задачи максимизации прибыли.

Обратите внимание на то, что когда фирма демонстрирует постоянную отдачу от масштаба (т.е. a + b = 1), эта функция предложения становится неопределенной. До тех пор пока цены факторов и выпуска совместимы с нулевой прибылью, фирме с технологией Кобба—Дугласа безразличен объем ее предложения.

Глава 19 - МИНИМИЗАЦИЯ ИЗДЕРЖЕК

Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли.

Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

Минимизация издержек

Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами w₁ и w₂ и мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпуска y. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов через x₁ и x₂, а производственную функцию для фирмы — через f(x₁, x₂), то эту задачу можно записать в виде

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁, x₂

приf(x₁, x₂) = y.

При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе.

Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w₁, w₂ и y, поэтому мы запишем это решение как c(w₁, w₂, y). Эта функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c(w₁, w₂, y) показывает минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных (w₁, w₂).

Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x₁ и x₂, с помощью которых можно произвести y.

Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержек C. Мы можем записать это в виде выражения

w₁x₁ + w₂x₂ = C,

которое может быть преобразовано в

x₂ = — x₁.

Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w₁/w₂ и точку пересечения с вертикальной осью C/w₂. Изменяя число C, мы получаем целое семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки C, и более высокие изокосты связаны с большими издержками.

Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1.

Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов:

— = TRS( , ) = — . (19.1)

(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)

Рис. 19.1

Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой.

Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства (Dx₁, Dx₂), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:

MP₁( , )Dx₁ + MP₂( , )Dx₂ = 0. (19.2)

Обратите внимание на то, что Dx₁ и Dx₂ должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.

Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:

w₁Dx₁ + w₂Dx₂≥ 0. (19.3)

Теперь рассмотрим изменение (—Dx₁, —Dx₂), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что

—w₁Dx₁ — w₂Dx₂≥ 0. (19.4)

Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим

w₁Dx₁ + w₂Dx₂ = 0. (19.5)

Решение уравнений (19.2) и (19.5) для Dx₂/Dx₁ дает нам

= — = — ,

а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.

Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x₁(w₁, w₂, y) и x₂(w₁, w₂, y). Это так называемые функции условного спроса на факторы, или функциипроизводного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.

Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.

ПРИМЕР: Минимизация издержек для случаев конкретных технологий

Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x₁,x₂) = = min{x₁, x₂}.Тогда, если мы хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x₁ и y единиц x₂. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны

c(w₁, w₂, y) = w₁y + w₂y = (w₁ + w₂)y.

Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных субститутов f(x₁, x₂) = x₁ + x₂? Поскольку товары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w₁y или w₂y в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:

c(w₁, w₂, y) = min{w₁y, w₂y} = min{w₁, w₂}y.

Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x₁, x₂) = . В этом случае мы можем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид

c(w₁, w₂, y) = K ,

где K есть константа, зависящая от a и от b. Подробности этого исчисления представлены в приложении.