Максимизация прибыли в коротком периоде

Рассмотрим задачу максимизации прибыли в коротком периоде, когда фактор 2 фиксирован на некотором уровне . Пусть f(x₁, x₂) — производственная функция фирмы, p — цена выпуска, а w₁ и w₂ — цены двух факторов производства. Тогда задача нахождения максимума прибыли, стоящая перед фирмой, может быть записана в виде

max pf(x₁, ) — w₁x₁ — w₂ .

x₁

Условие оптимального выбора фактора 1 определить нетрудно.

Если — выбор фактора 1, максимизирующий прибыль, то произведение цены выпуска на предельный продукт фактора 1 должно равняться цене фактора 1. В условных обозначениях

pMP₁( , ) = w₁.

Другими словами, стоимость предельного продукта фактора должна равняться цене фактора.

Чтобы понять суть этого правила, представьте, что будет, если фирма примет решение об использовании чуть большего количества фактора 1. Если добавить чуть-чуть этого фактора, x₁, то вы будете производить больше на y = MP₁ x₁, и этот прирост выпуска будет стоить pMP₁ x₁. Но производство этого предельного выпуска обойдется в w₁ x₁. Если стоимость предельного продукта превышает издержки на него, можно увеличить прибыль путем увеличения количества фактора 1. Если стоимость предельного продукта ниже издержек на него, прибыль можно увеличить путем уменьшения объема использования фактора 1. Если прибыль фирмы максимальна, она не должна возрастать при увеличении или уменьшении количества фактора 1. Это означает, что при максимизирующем прибыль выборе факторов и объемов выпуска стоимость предельного продукта pMP₁( , ) должна равняться цене фактора w₁.

Это условие можно вывести и графически. Взгляните на рис.18.1. Изображенная на нем кривая представляет производственную функцию при условии сохранения фактора 2 неизменным на уровне . Используя y для обозначения выпуска фирмы, получаем, что прибыль задается выражением

p = py — w₁x₁ — w₂ .

Из этого выражения можно получить y, выразив тем самым выпуск как функцию x₁:

+ x₁. (18.1)

Это уравнение описывает изопрофитные линии — все комбинации применяемых факторов производства и выпуска, дающие постоянный уровень прибыли p. По мере изменения p мы получаем семейство параллельных прямых линий, наклон каждой из которых равен w₁/p, а точка пересечения с вертикальной осью задана выражением (p/p) + (w₂ /p), измеряющим сумму прибыли и постоянных издержек фирмы.

Постоянные издержки постоянны, так что единственная величина, которая действительно изменяется при перемещении с одной изопрофитной линии на другую, есть уровень прибыли. Поэтому более высокие уровни прибыли связываются с теми изопрофитными линиями, точки пересечения которых с вертикальной осью лежат выше.

Тогда задача максимизации прибыли сводится к нахождению точки кривой производственной функции, связываемой с самой высокой изопрофитной линией. Такая точка показана на рис.18.1. Как обычно, она характеризуется условием касания: наклон кривой производственной функции должен равняться наклону изопрофитной линии. Поскольку наклон производственной функции есть предельный продукт, а наклон изопрофитной линии есть w₁/p, это условие может быть записано также в виде

MP₁ = ,

что эквивалентно условию, выведенному нами выше.

Сравнительная статика

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией, представленной на рис.18.1, чтобы исследовать, как изменяется выбор количества факторов производства и объемов выпуска фирмы с изменением цен факторов и цены выпускаемой продукции. Это дает нам способ проведениясравнительно-статического анализа поведения фирмы.

Как, например, меняется оптимальный выбор фактора 1 при изменении цены этого фактора w₁? Из уравнения (18.1), определяющего изопрофитную линию, мы видим, что возрастание w₁, как показано на рис.18.2A, делает изопрофитную линию круче. Когда изопрофитная линия становится круче, касание должно быть левее, чем раньше. Следовательно, оптимальный объем использования фактора 1 должен понизиться. Это означает, что по мере возрастания цены фактора 1 спрос на фактор 1 должен снижаться: кривые спроса на факторы должны иметь отрицательный наклон.

Максимизация прибыли. Фирма выбирает комбинацию факторов производства и выпуска, лежащую на самой высокой изопрофитной линии. В этом случае точкой максимизации прибыли является точка ( , y*).

Рис. 18.1

Аналогичным образом, как показано на рис.18.2B, изопрофитная линия должна стать круче, если происходит понижение цены выпуска. Согласно той же аргументации, что и выше, количество фактора 1, максимизирующее прибыль, должно уменьшиться. Если количество фактора 1 уменьшается, а объем использования фактора 2 в коротком периоде согласно принятой предпосылке постоянен, то предложение выпуска должно уменьшиться. Это дает нам еще один результат сравнительно-статического анализа: сокращение цены выпуска должно приводить к сокращению предложения выпуска. Другими словами, функция предложения должна иметь положительный наклон.

Наконец, можно задать вопрос о том, что произойдет при изменении цены фактора 2. Поскольку речь идет об анализе в коротком периоде, изменение цены фактора 2 не изменит выбираемого фирмой количества фактора 2 — в коротком периоде уровень использования фактора 2 постоянен и равен . Изменение цены фактора 2 не оказывает влияния на наклон изопрофитной линии. Следовательно, оптимальный выбор фактора 1 не изменится, как не изменится и предложение выпуска. Единственное, что меняется при этом, — это прибыли, получаемые фирмой.

A B

Рис. 18.2

Сравнительная статика. Рис.A — возрастание w1 приводит к уменьшению спроса на фактор 1, рис.B — возрастание цены выпуска приводит к увеличению спроса на фактор 1 и, следовательно, к возрастанию предложения выпуска.