В чем рациональность представления предпочтений в виде ожидаемой полезности

Представление предпочтений в виде ожидаемой полезности удобно, но является ли оно рациональным? Почему мы должны думать, что предпочтения в отношении выбора в условиях неопределенности должны иметь особую структуру, подразумеваемую функцией ожидаемой полезности? Оказывается, существуют убедительные причины, по которым при решении задач выбора в условиях неопределенности ожидаемая полезность является разумной целью.

Тот факт, что в качестве исходов случайного выбора выступают варианты потребления при различных обстоятельствах, рассматриваемые как различные “потребительские товары”, означает, что, в конечном счете, лишь один из этих исходов будет иметь место в действительности. Либо дом ваш сгорит, либо нет; либо пойдет дождь, либо день будет солнечным. Сам способ постановки нами задачи выбора подразумевает, что реально наступит только один из возможных исходов и,следовательно, фактически будет реализован лишь один из обусловленных планов потребления.

Сказанное имеет, оказывается, очень интересный подтекст. Предположим, что вы размышляете о том, не застраховать ли свой дом от пожара в наступающем году. Производя указанный выбор, вы будете руководствоваться величиной вашего богатства в трех состояниях: его величиной на данный момент ( ), его величиной в случае, если ваш дом сгорит ( ), и его величиной в случае, если он не сгорит ( ). (Разумеется, в действительности, вас волнуют ваши потребительские возможности при каждом из исходов, однако, термин "богатство" используется здесь просто как эквивалент термина "потребление".) Если - вероятность того, что ваш дом сгорит, а - вероятность того. что он не сгорит, то ваши предпочтения в отношении этих трех различных случаев потребления, как правило, могут быть представлены функцией полезности .

Предположим, что мы рассматриваем выбор между обладанием богатством сейчас и одним из возможных исходов - скажем, то, сколько денег мы готовы были бы пожертвовать сейчас, чтобы получить чуть больше денег в случае, если дом сгорит. Тогда принимаемое решение должно быть независимым оттого, какова будет величина потребления при другом "состоянии природы" - то есть, от того, какова будет величина потребления в случае, если дом не будет уничтожен. Ведь дом либо сгорит. либо - нет. Если случится так, что он сгорит, то величина дополнительного богатства не должна зависеть от той величины богатства, которой вы располагали бы, если бы дом не сгорел. Прошлое есть прошлое - поэтому то, что не произошло, не должно влиять на величину потребления при исходе, имеющем место в действительности.

Обратите внимание на то, что сказанное есть предпосылка в отношении предпочтений индивида. Она может нарушаться. Когда люди решают, какую из двух вещей выбрать, количество третьей имеющейся у них вещи обычно тоже имеет значение. Выбор между кофе и чаем вполне может зависеть от того, сколько у вас имеется сливок. Но это происходит потому, что вы пьете кофе со сливками. Если бы вы рассматривали ситуацию, в которой ы бросаете игральную кость и, в зависимости от исхода, получаете либо кофе, либо чай, либо сливки, то количество сливок, которое вы могли бы при этом получить, не должно было бы повлиять на ваши предпочтения в отношении кофе и чая. Почему? Потому что вы получаете либо одно, либо другое: если, в конечном счете, вам достаются сливки, то тот факт, что вы могли бы получить либо кофе, либо чай, значения не имеет.

Таким образом, при выборе в условиях неопределенности естественного рода "независимость" потребления при различных исходах существует потому, что соответствующие варианты потребления реализуются раздельно - при разных "состояниях природы". Выбор, планируемый людьми при одном "состоянии природы", должен быть независим от вариантов выбора, планируемых ими для других "состояний природы". Эта предпосылка известна как предпосылка о независимости. Оказывается, из нее вытекает очень специфическая структура функции полезности для обусловленного потребления: аддитивность по различным наборам обусловленного потребления.

Иными словами, если , и представляют собой потребление при различных исходах, а , и - это вероятности наступления указанных трех различных исходов, то, при соблюдении предпосылки о независимости, на которую мы ссылались выше, функция полезности должна принять вид

.

Это - функция, которую мы назвали функцией ожидаемой полезности. Заметьте себе, что функция ожидаемой полезности, и в самом деле, удовлетворяет тому свойству, что предельная норма замещения одного из двух товаров на другой не зависит от того, сколько у нас имеется третьего товара. Предельная норма замещения, скажем, товара 2 товаром 1 принимает вид

.

Эта MRS зависит только от имеющегося количества товаров 1 и 2, а не зависит от имеющегося количества товара 3.

Нерасположенность к риску

Выше нами утверждалось, что функции ожидаемой полезности присущ ряд свойств, очень удобных для анализа выбора в условиях неопределенности. В настоящем параграфе мы приведем конкретный пример, подтверждающий сказанное.

Применим анализ с позиций ожидаемой полезности к решению простой задачи выбора. Допустим, что в данный момент у потребителя имеется богатства на 10 долл. и что он размышляет, стоит ли сыграть в игру, которая с вероятностью в 50 процентов принесет ему выигрыш в 5 долл. и с вероятностью в 50 процентов - проигрыш в 5 долл. Богатство его, следовательно, становится случайной величиной: имеется вероятность в 50 процентов, что он останется с 5 долларами, и вероятность в 50 процентов. что у него, в итоге, будет 15 долларов. Ожидаемое значение его богатства равно 10 долл., а ожидаемая полезность есть

.

Это изображено на рис.12.2. Ожидаемая полезность богатства есть средняя двух чисел u(15$) и u(5$), обозначенных на графике 0,5u(5) и 0,5u(15). Мы изобразили также полезность ожидаемого значения богатства, которую обозначили u(10$). Обратите внимание на то, что на данном графике ожидаемая полезность богатства меньше полезности ожидаемого значения богатства. То есть,

.

Рис.12.2 Нерасположенность к риску. У потребителя, не любящего риск, полезность ожидаемого значения богатства, u(10), больше ожидаемой полезности богатства, 0,5u(5)+0,5u(15).

В этом случае мы говорим, что потребитель не расположен к риску, поскольку предпочитает иметь ожидаемое значение своего богатства, нежели вступить в игру. Конечно, предпочтения потребителя могли бы оказаться такими, что он предпочел бы случайное распределение богатства его ожидаемому значению, и в таком случае мы говорим. что потребитель расположен к риску. Пример такого рода приведен на рис.12.3.

Обратите нимание на различие между рис. 12.2 и 12.3. Потребитель, не расположенный к риску, имеет вогнутую функцию полезности - ее наклон, по мере возрастания богатства, уменьшается. У потребителя, расположенного к риску, функция полезности выпуклая - ее наклон, по мере возрастания богатства, становится больше. Следовательно, кривизна функции полезности измеряет отношение потребителя к риску. Как правило, чем более вогнутой является функция полезности, тем в большей степени потребитель не расположен к риску, а чем более она выпукла, тем в большей степени потребитель расположен к риску.

Промежуточным является случай линейной функции полезности. Здесь потребитель нейтрален к риску: ожидаемая полезность богатства есть полезность его ожидаемого значения. В этом случае потребителя совершенно не заботит степень рискованности получения его богатства - его интересует лишь ожидаемое значение последнего.

ПРИМЕР: Спрос на страхование

Применим функцию ожидаемой полезности к спросу на страхование, рассматривавшемуся нами ранее. Вспомним, что в примере, о котором идет речь, индивид имел богатство стоимостью 35 000 долл. и мог понести убытки в размере 10 000 долл. Вероятность убытков составляла 1 процент, и покупка страхового полиса на сумму K долларов обходилась ему в rK долларов. Исследуя эту задачу выбора с помощью кривых безразличия, мы увидели, что оптимальный выбор суммы страхования определяется условием равенства MRS потребления при одном исходе потреблением при другом исходе - в случае убытков или в случае отсутствия убытков - отношению . Обозначим через вероятность того, что убытки будут иметь место, и через ( ) вероятность того, что ее не будет.

Рис.12.3 Потребитель, расположенный к риску. Для потребителя, расположенного к риску, ожидаемая полезность богатства, 0,5u(5)+0,5u(15), больше полезности ожидаемого значения богатства, u(10).

Пусть состояние 1 - это ситуация. в которой убытков нет, так что богатство потребителя в этом состоянии есть

,

и пусть состояние 2 - это ситуация несения убытков, которой соответствует богатство

.

Тогда оптимальный выбор суммы страхования потребителем определяется условием равенства MRS его потребления при одном исходе потреблением при другом исходе отношению цен:

(12.1)

Теперь посмотрим на страховой контракт с точки зрения страховой компании. С вероятностью ей придется выплатить K и с вероятностью - ничего. Независимо от исхода, она получит премию . Тогда ожидаемая прибыль страховой компании, P, есть

.

Предположим, что в среднем контракт является для страховой компании безубыточным. Иными словами, она предлагает страхование по "справедливой" ставке страховой премии, где " справедливая" означает то, что ожидаемое значение суммы страхования как раз равно издержкам на него. Тогда мы получаем

,

что подразумевает .

Подставив это выражение в уравнение (12.), получаем

.

Взаимно уничтожив , получаем, что оптимальная сумма страховки должна удовлетворять условию

(12.2)

В этом уравнении говорится, что предельная полезность дополнительного доллара дохода в случае потери должна равняться предельной полезности дополнительного доллара дохода в случае отсутствия потери.

Предположим, что потребитель не расположен к риску, так что по мере увеличения имеющейся у него суммы денег предельная полезность денег для него снижается. Тогда, если , предельная полезность при будет меньше, чем предельная полезность при , и наоборот. Более того, если предельные полезности дохода при и равны, как в уравнении (12.2), то должно соблюдаться . Применив формулы для и , мы находим

,

что подразумевает K=10 000$. Это означает, что, имея шанс заплатить за страховой полис "справедливую" премию, потребитель, не расположенный к риску, всегда предпочтет застраховаться полностью.

Это происходит потому, что полезность богатства в каждом состоянии зависит только от общей величины богатства, имеющейся у потребителя в этом состоянии, - а не от того, что он мог бы иметь в каком-то другом состоянии - так что, если общие величины богатства, имеющиеся у потребителя в каждом состоянии, равны, то предельные полезности богатства также должны быть равны.

Подытожим сказанное: если потребителю, который не расположен к риску и максимизирует ожидаемую полезность, предлагается сделка справедливого страхования от убытков, он предпочтет в оптимуме застраховаться полностью.

Диверсификация

Обратимся теперь к другой теме, связанной с неопределенностью, - выгодам от диверсификации. Предположим, что вы раздумываете, стоит ли вложить 100 долл. в две различные компании, одна из которых производит очки от солнца, а другая - плащи. Согласно долгосрочному прогнозу погоды, следующее лето в равной степени может оказаться и дождливым, и солнечным. Каким образом вам лучше инвестировать ваши деньги?

Не разумнее ли было бы застраховаться от случайностей и вложить некоторую сумму денег в каждую из указанных компаний? Путем диверсификации своих акционерных вложений в обе компании, вы можете получить на них доход более надежный, а потому - более желательный, если вы - человек, не расположенный к риску.

Допустим, например, что акции компании по производству плащей и акции компании по производству очков от солнца в настоящее время стоят 10 долл. штука. Если лето окажется дождливым, то акции компании по производству плащей будут стоить 20 долл. штука, а акции компании по производству очков от солнца - 5 долл. Если же лето выдастся солнечное, результаты будут обратными: акции компании, производящей очки от солнца, будут стоить по 20 долл., а акции компании, производящей плащи, - по 5 долл. Вложив все 100 долл. в компанию по производству очков от солнца, вы делаете ставку в игре, которая с вероятностью 50 процентов принесет вам 200 долл. и с вероятностью 50 процентов - 50 долл. Такой же величины вознаграждение вы получите, если вложите все деньги в компанию по производству плащей: в обоих случаях ваш ожидаемый выигрыш составляет 125 долл.

Посмотрите, однако, что получится, если вы вложите половину денег в каждую из компаний. Тогда, если лето будет солнечным, вы получите 100 долл. от вложений в компанию по производству очков от солнца и 25 долл. от вложений в компанию по производству плащей. Если же лето окажется дождливым, вы получите 100 долл. от вложений в компанию по производству плащей и 25 долл. от вложений в компанию по производству очков от солнца. В любом случае, вы гарантированно получаете 125 долл. Путем диверсификации инвестиций в обе компании вам удалось снизить совокупный риск своих вложений, в то же время сохраняя неизменным ожидаемый выигрыш.

В этом примере осуществить диверсификацию было совсем легко: между обоими активами имелась совершенно отрицательная корреляция - когда стоимость одного из них увеличивалась, стоимость другого уменьшалась. Пары активов, подобные этой, могут быть исключительно ценными, так как с их помощью можно очень сильно снижать риск. Однако, увы, их также бывает очень трудно найти. Курсовые стоимости большинства активов движутся в одном и том же направлении: когда растет курс акций "Дженерал моторз", растет и курс акций компании "Форд", а также курс акций компании "Гудрих". Но поскольку движение цен активов не характеризуется совершенной положительной корреляцией, могут возникать некоторые выгоды от диверсификации.

Рассредоточение риска

Давайте вернемся к примеру со страхованием. В нем мы рассматривали ситуацию с индивидом, у которого имелось 35 000 долл. и которому, с вероятностью 0,01, грозили убытки в размере 10 000 долл. Допустим, что имеется 1000 таких индивидов. Тогда, в среднем, убытки понесут 10 человек и, таким образом, ежегодные убытки составят 100 000 долл. Для каждого из 1000 человек ожидаемые убытки составят 0,01, помноженную на 10 000$, или 100 долл. в год. Предположим, что вероятность убытков для какого-либо лица не влияет на вероятность убытков для любого другого лица. То есть, предположим, что риски независимы.

Тогда ожидаемое богатство каждого индивида составит . Однако, каждый индивид несет также большой риск: вероятность убытков в размере 10 000 долл. составляет для каждого индивида 1 процент.

Допустим, что каждый потребитель решает диверсифицировать риск, с которым он сталкивается. Каким образом он мог бы это сделать? Ответ: путем продажи части своего риска другим индивидам. Предположим, что 1000 потребителей решат друг друга застраховать. Если кто-либо понесет убытки в размере 10 000 долл., то каждый из 1000 потребителей даст этому лицу 10 долл. Таким образом, бедняге, у которого сгорел дом, компенсируются его убытки, а у других потребителей на душе будет спокойно, так как они будут знать, что, случись подобное с ними, они тоже получат компенсацию! Это - пример рассредоточения риска: каждый потребитель рассредотачивает свой риск между всеми остальными потребителями и, тем самым, снижает степень риска, который он несет.

Итак, в среднем, ежегодно сгорает 10 домов, так что, в среднем, каждый из 1000 индивидов будет выплачивать по 100 долл. в год. Но это - только в среднем. В какие-то годы число убытки могут понести 12 человек, а в какие-то - 8. Вероятность того, что индивиду фактически придется выплатить, скажем, более 200 долл. за один год, очень мала, но все же подобный риск существует.

Однако, имеется способ диверсифицировать даже этот риск. Предположим, что домовладельцы согласны гарантированно платить ежегодно по 100 долл., независимо от того, есть убытки или нет. Тогда они могут создать резервный фонд наличности, который можно использовать в годы, когда случается много пожаров. Они выплачивают по 100 долл. в год наверняка, и, в среднем, этих денег должно хватить, чтобы компенсировать потери владельцев домов от пожаров.

Как мы видим, у нас теперь имеется нечто, очень похожее на кооперативную страховую компанию. Мы могли бы добавить еще несколько характеристик: страховая компания начинает инвестировать свой резервный фонд наличности и получать проценты на свои активы и т.д., но сущность страховой компании явно налицо.

Роль фондового рынка

Фондовый рынок играет роль, подобную роли рынка страховых услуг, в том смысле, что тоже позволяет рассредоточивать риск. Вспомним сделанное нами в гл.11 утверждение о том, что фондовый рынок позволяет первоначальным владельцам фирм превращать поток доходов, поступающий с течением времени, в единовременно выплачиваемую сумму. Что ж, благодаря фондовому рынку они могут также превратить рискованное положение привязки всего своего состояния к одному-единственному предприятию, в ситуацию обладания аккордной суммой, которую они могут инвестировать в разнообразные активы. У первоначальных владельцев фирмы имеется стимул выпустить акции своей компании, с тем, чтобы получить возможность рассредоточить риск, который эта компания несет в одиночку, между большим числом акционеров.

Аналогичным образом, лица, ставшие акционерами компании позднее, могут использовать фондовый рынок для перераспределения своих рисков. Если компания, акционером которой вы являетесь, начинает проводить политику, которая, на ваш вкус, слишком рискованна - или слишком консервативна - вы можете продать эти акции и купить другие.

В случае со страхованием, у индивида имелась возможность, приобретя страховой полис , снизить свой риск до нуля. За стабильную плату в 100 долл. индивид мог купить страхование по полной стоимости от убытков в размере 10 000 долл. Это было так, потому что совокупная величина активов характеризовалась практически отсутствием риска: если вероятность несения убытков составляла 1 процент, то в среднем убытки должны были понести 10 людей из 1000 - мы просто не знали, кто именно.

В случае фондового рынка совокупная величина активов характеризуется той или иной степенью риска. В каком-то году дела на фондовом рынке в целом могут идти хорошо, а в каком-то - плохо. Кто-то должен нести риск этого рода. Фондовый рынок представляет собой способ передачи риска от людей, которые не хотят нести риск, людям, которые готовы его нести.

Разумеется, немногим людям за пределами Лас-Вегаса нравится нести риск: большинство людей не расположено к риску. Следовательно, фондовый рынок позволяет передавать риск от тех, кто не хочет его нести, тем, кто готов его нести, при условии достаточной компенсации за это. Мы продолжим исследование этой идеи в следующей главе.

Краткие выводы

1. Потребление при различных "состояниях природы" можно рассматривать как различные потребительские товары, и тогда к выбору в условиях неопределенности в полном объеме применим анализ, проведенный в предыдущих главах.

2. Однако, функция полезности, "подытоживающая" поведение при выборе в условиях неопределенности, может иметь особую структуру. В частности, если функция полезности линейна по вероятностям, то полезность, приписываемая данной игре, оказывается просто ожидаемой полезностью ее различных исходов.

3. Изгиб функции ожидаемой полезности описывает различное отношение потребителя к риску. Если он вогнут, потребитель не расположен к риску; если этот изгиб выпуклый, потребитель расположен к риску.

4. Финансовые институты, такие, как рынки страховых услуг и фондовый рынок, предоставляют потребителям способы диверсифицировать и рассредоточить риски.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Как можно попасть в точки потребления, лежащие слева от точки начального запаса на рис.12.1?

2. Какие из приведенных ниже функций полезности обладают свойством ожидаемой полезности? (a) , (b) , (c) .

3. Не расположенному к риску индивиду предлагается выбор между игрой, приносящей 1000 долл. с вероятностью 25% и 100 долл. с вероятностью 75%, и единовременной выплатой в 325 долл. Что он выберет?

4. Что, если бы единовременная выплата составила 320 долл.?

5. Нарисуйте функцию полезности, показывающую поведение, характеризующееся расположенностью к риску при играх с малыми ставками и нерасположенностью к риску при играх с крупными ставками.

6. Почему группе домовладельцев, проживающих по соседству. может оказаться труднее осуществить взаимное страхование против наводнения, нежели против пожара?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим простую задачу, чтобы продемонстрировать принципы максимизации ожидаемой полезности. Предположим, что потребитель владеет каким-то богатством w и подумывает о том, не вложить ли некоторую сумму x в рисковый актив. Владение этим активом может принести ему либо доход в размере при "хорошем" исходе, либо доход в размере при "плохом" исходе. Следует считать положительным доходом - стоимость актива растет, а отрицательным доходом - стоимость актива падает.

Следовательно, богатство потребителя при хорошем и плохом исходах составит

.

Предположим, что хороший исход имеет место с вероятностью , а плохой - с вероятностью . Тогда, если потребитель решит инвестировать x долларов, то ожидаемая полезность составит

.

Потребитель хочет выбрать такое значение x, при котором значение данного выражения было бы максимальным.

Продифференцировав данное выражение по x, мы найдем то, как изменяется полезность с изменением x:

(12.3)

Вторая производная полезности по x есть

(12.4)

Если потребитель не расположен к риску, его функция полезности будет вогнутой, а это предполагает, что для каждого уровня богатства. Таким образом, вторая производная функции ожидаемой полезности, несомненно, отрицательна. Ожидаемая полезность должна являться вогнутой функцией x.

Рассмотрим изменение ожидаемой полезности вложения первого доллара в рисковый актив. Это - не что иное, как уравнение (12.3), взятое для значения производной при x=0:

.

Выражение, стоящее в скобках, есть ожидаемый доход на актив. Если ожидаемый доход на актив отрицателен, то с вложением в актив первого доллара ожидаемая полезность должна уменьшиться. Но поскольку, вследствие вогнутости функции, вторая производная ожидаемой полезности отрицательна, полезность, по мере вложения дополнительных долларов, должна продолжать уменьшаться.

Таким образом, мы установили, что если ожидаемое значение игры отрицательно, человек, не расположенный к риску, будет иметь наивысшую ожидаемую полезность при : он не захочет участвовать в игре, которая может закончиться проигрышем.

С другой стороны, если ожидаемый доход на актив положителен, то при увеличении x от нуля ожидаемая полезность будет возрастать. Следовательно, такой человек всегда захочет инвестировать в рисковый актив чуть больше, независимо от степени его нерасположенности к риску.

Ожидаемая полезность как функция x изображена на рис.12.4. На рис.12.4A ожидаемый доход отрицателен и оптимальный выбор представлен точкой . На рис.12.4B ожидаемый доход на некотором интервале положителен и потребитель хочет инвестировать в рисковый актив какую-то положительную величину .

Рис.12.4Сколько вкладывать в рисковый актив. На рис.A оптимальные инвестиции равны нулю, однако, на рис.B потребитель хочет инвестировать положительную величину.

Оптимальная для данного потребителя величина инвестиций определяется условием равенства нулю производной ожидаемой полезности по x. Поскольку, ввиду вогнутости функции, вторая производная полезности всегда отрицательна, этот максимум будет являться глобальным.

Приравняв к нулю выражение (12.3), мы получаем

(12.5)

Это уравнение определяет условие оптимального выбора для рассматриваемого типа потребителя.

ПРИМЕР: Влияние налогообложения на инвестиции в рисковые активы

Что происходит с уровнем инвестиций в рисковый актив, когда приносимый им доход облагается налогом? Если инливид платит налог по ставке t, то доходы после уплаты налога составят и . Следовательно, условие первого порядка, определяющее его оптимальное вложение x, будет иметь вид

Сократив члены (1-t), получаем

(12.6)

Обозначим решение задачи на нахождение максимума в отсутствие налогов - когда t=0 - через , а решение задачи на нахождение максимума при наличии налогов - через . Какова взаимосвязь между и ?

Первое, что, возможно, придет вам в голову, - это то, что - то есть, что налогообложение рискового актива будет препятствовать инвестициям в него. Но оказывается, это совершенно неверно! Обложение рискового актива налогом описанным нами способом, в действительности, будет как раз поощрять вложения в этот актив!

На самом деле, существует строгая взаимосвязь между и . Должно соблюдаться

.

Доказательство этого сводится к замечанию о том, что данное значение удовлетворяет условию первого порядка для оптимального выбора при наличии налога. Поставив это значение x в уравнение (12.6), мы получаем

,

где последнее равенство вытекает из того факта, что есть оптимальное решение при отсутствии налога.

Что же здесь происходит? Каким образом введение налога может увеличивать величину вложений в рисковый актив? А происходит вот что. При введении налога, выигрыш индивида при хорошем исходе уменьшится, но уменьшится и его проигрыш при плохом исходе. Увеличив в 1/(1–t) раз исходные инвестиции, потребитель может воспроизвести те же самые доходы после уплаты налогов, которые он получал до того, как быд введен налог. Налог сокращает его ожидаемый доход, но также сокращает и его риск: увеличивая свои инвестиции, потребитель может получить в точности такую же структуру доходов, что и раньше, и ,тем самым, полностью свести на нет влияние налога. Налог на рисковые инвестиции представляет собой налог на выигрыш в случае положительного дохода - но является субсидированием проигрыша в случае отрицательного дохода.

Глава 13 - РИСКОВЫЕ АКТЫ

В предыдущей главе нами были изучены модель поведения индивида в условиях неопределенности и роль двух экономических институтов, помогающих отчасти справиться с неопределенностью: рынков страховых услуг и фондового рынка. В настоящей главе мы продолжим исследование роли фондового рынка в размещении риска. В этих целях удобно рассмотреть упрощенную модель поведения в условиях неопределенности.