Функции полезности и вероятности

Если предпочтения потребителя в отношении потребления при различных обстоятельствах разумны, то можно использовать для описания этих предпочтений функцию полезности, подобно тому, как это делалось нами в другом контексте. Однако, тот факт, что мы рассматриваем выбор в условиях неопределенности, все же порождает особую структуру задачи выбора. Вообще, то, как потребитель оценивает потребление при одном исходе по сравнению с потреблением при другом исходе, зависит от вероятности того, что рассматриваемый исход действительно будет иметь место. Другими словами, пропорция, в которой я готов заместить потребление в случае дождя потреблением в случае отсутствия дождя, должна быть как-то связана с тем, насколько вероятным я считаю то, что дождь пойдет. Предпочтения в отношении потребления при разных состояниях природы зависят от предположений индивида в отношении того, насколько вероятно наступление этих состояний.

По этой причине, мы можем представить функцию полезности зависщей не только от уровней потребления, но и от вероятностей. Предположим, что мы рассматриваем два взаимоисключающих состояния, таких, как дождь и ясная погода, потеря или ее отсутствие, или еще какие-то состояния. Обозначим через и потребление в состояниях 1 и 2, а через и - вероятности того, что эти состояния будут иметь место в действительности.

Если два рассматриваемых состояния взаимоисключающи, так что реально может наступить только одно из них, то . Но обычно мы выписываем обе вероятности, просто чтобы запись выглядела симметричной.

С учетом сделанных обозначений, можно записать функцию полезности для потребления в состояниях 1 и 2 в виде . Это - функция полезности, представляющая предпочтения, имеющиеся у индивида в отношении потребления в каждом из состояний.

ПРИМЕР: Некоторые примеры функций полезности

Практически любые из примеров функций полезности, с которыми мы до сих пор имели дело, могут быть рассмотрены с позиций выбора в условиях неопределенности. Один из удачных примеров такого рода - случай совершенных субститутов. В этом случае взвешивание каждой величины потребления вероятностью того, что это потребление будет иметь место, представляется вполне естественным. Это дает нам функцию полезности вида

.

При анализе выбора в условиях неопределенности выражение такого рода именуют ожидаемым значением. Это - не что иное, как средний уровень потребления, который был бы вами достигнут в итоге.

Другой пример функции полезности, которую можно использовать для изучения выбора в условиях неопределенности, - функция полезности Кобба-Дугласа:

.

В этом случае полезность, приписываемая любой комбинации потребительских наборов, зависит от структуры потребления нелинейным образом.

Как обычно, можно провести монотонное преобразование функции полезности, получив в результате него функцию, представляющую те же самые предпочтения. Оказывается, логарифм функции Кобба-Дугласа очень удобен для дальнейшего нашего анализа. Это дает нам функцию полезности вида

.

Ожидаемая полезность

Одной из особенно удобных форм, которую может принимать функция полезности, является следующая:

.

Она говорит нам о том, что функция полезности может быть представлена в виде взвешенной суммы неких функций потребления в каждом состоянии, и , причем соответствующие веса заданы вероятностями и .

Два примера этого рода приведены выше. В этой форме, при v(c)=c, была приведена функция полезности для совершенных субститутов, записанная как ожидаемое значение функции полезности. Функция полезности Кобба-Дугласа первоначально была приведена не в этой форме, но, когда мы выразили ее через логарифмы, она приняла линейную форму с .

Если одно из состояний обязательно наступит, так что, скажем, , то есть полезность определенного потребления в состоянии 1. Аналогичным образом, если , то есть функция потребления в состоянии 2. Таким образом, выражение

представляет собой среднюю полезность, или ожидаемую полезность, структуры потребления ( ).

По этой причине, мы называем функцию полезности, имеющую конкретную описанную здесь форму функцией ожидаемой полезности или, иногда, функцией полезности фонНейманна-Моргенштерна.

Говоря, что предпочтения потребителя могут быть представлены с помощью функции ожидаемой полезности, или что предпочтения потребителя обладают свойством

ожидаемой полезности, мы подразумеваем, что можно выбрать функцию полезности, имеющую вышеописанную аддитивную форму. Конечно, мы могли бы выбрать и другую форму - любое монотонное преобразование функции ожидаемой полезности есть функция полезности, описывающая те же самые предпочтения. Но аддитивная форма представления предпочтений оказывается особенно удобной. Если предпочтения потребителя описываются функцией , то они также могут быть описаны функцией . Однако, последняя форма представления предпочтений не обладает свойством ожидаемой полезности, в то время. как предыдущая - обладает.

С другой стороны, функцию ожидаемой полезности можно подвергнуть монотонным преобразованиям различного рода и при этом она по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности. Мы говорим, что функция v(u) является положительным линейнымпреобразованием, если она может быть записана в форме:

v(u)=au+b, где a>0. Положительное линейное преобразование означает просто умножение на положительное число и прибавление константы. Оказывается, если подвергнуть функцию ожидаемой полезности положительному линейному преобразованию, то полученная в результате этого функция не только будет представлять те же самые предпочтения (что очевидно, поскольку линейное преобразование - не что иное, как особый вид монотонного преобразования), но и по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности.

Экономисты говорят, что функция ожидаемой полезности "определяется с точностью до монотонного преобразования". Это означает просто, что к ней можно применить линейное преобразование и получить другую функцию ожидаемой полезности. представляющую те же самые предпочтения. Однако, преобразование любого другого рода разрушит свойство ожидаемой полезности.