Применение текущей стоимости

Начнем с формулирования важного общего принципа: использование текущей стоимости есть единственно правильный способ превращения потока платтеежй в сегодняшние доллары. Этот принцип вытекает непосредственно из определения текущей стоимости: текущая стоимость измеряет стоимость начального запаса денег потребителя. До тех пор, пока потребитель может свободно брать и давать деньги взаймы по постоянной ставке процента, начальный запас с более высокой текущей стоимостью всегда может вызвать в каждом периоде больше потребления, чем начальный запас с более низкой текущей стоимостью. Независимо от ваших вкусов в отношении потребления в различных периодах, вы всегда должны будете предпочесть поток денег с более высокой текущей стоимостью потоку денег с более низкой текущей стоимостью - так как это всегда даст вам больше возможностей для потребления в каждом периоде.

Это рассуждение иллюстрируется рис. 10.6. На этом рисунке ( ) есть потребительский набор, худший, чем набор исходного начального запаса потребителя, ( ), поскольку он лежит под кривой безразличия, проходящей через точку начального запаса. Тем не менее, потребитель предпочел бы набор ( ) набору ( ), если бы имел возможность брать и давать взаймы по ставке процента r. Это верно потому, что, имея набор начального запаса ( ), он может себе позволить потреблять такой набор, как ( ), который, несомненно, лучше, чем его текущий потребительский набор.

Таблица 10.1Текущая стоимость одного доллара, полученного через t лет в будущем

Ставка
0,05	0,95	0,91	0,78	0,61	0,48	0,37	0,30	0,23
0,10	0,91	0,83	0,62	0,39	0,24	0,15	0,09	0,06
0,15	0,87	0,76	0,50	0,25	0,12	0,06	0,03	0,02
0,20	0,83	0,69	0,40	0,16	0,06	0,03	0,01	0,00

Одно из очень полезных применений текущей стоимости заключается в определении стоимости потоков дохода, приносимых инвестициями различного вида. Если вы хотите сравнить два различных вида инвестиций, приносящих разные потоки платежей, с целью выяснения, который из них лучше, то вы просто исчисляете две текущих стоимости и выбираете большую. Вложение с большей текущей стоимостью всегда дает вам больше возможностей для потребления.

Иногда возникает необходимость приобретения потока дохода путем осуществления выплат с течением времени. Например, можно купить квартиру, заняв деньги в банке и производя платежи по закладной в течение ряда лет. Предположим, что поток дохода ( ) можно купить, производя поток платежей ( ).

В этом случае можно дать оценку рассматриваемого вложения капитала, сравнив текущую стоимость потока доходов с текущей стоимостью потока платежей. Если

(10.4)

текущая стоимость потока доходов превышает текущую стоимость издержек на их получение, это - хорошее вложение капитала - оно увеличит текущую стоимость начального запаса.

Рис. 10.6 Более высокая текущая стоимость. Начальный запас с более высокой текущей стоимостью дает потребителю больше возможностей потребления в каждом периоде, если потребитель может брать и давать взаймы по рыночным ставкам процента.

Эквивалентным способом оценки капиталовложений является использование идеи чистой текущей стоимости. Чтобы подсчитать эту величину, мы рассчитываем чистый поток денежной наличности в каждом периоде, а затем дисконтируем этот поток, приводя его к настоящему моменту. В рассматриваемом примере чистый поток наличности составляет ( ), а чистая текущая стоимость есть

.

Сравнивая это выражение с уравнением (10.4), мы видим, что данное вложение капитала имеет смысл сделать только, и только в том случае, если величина чистой текущей стоимости положительна.

Подсчет чистой текущей стоимости очень удобен, поскольку он позволяет нам в каждом периоде складывать все положительные и отрицательные потоки денежной наличности и затем дисконтировать полученный в результате этого сложения поток наличности.

ПРИМЕР: Определение текущей стоимости потока платежей

Предположим, что перед нами два варианта вложений капитала, A и B. Вложение A приносит 100$ сейчас и еще 200$ в будущем году. Вложение B приносит 80$ сейчас и 310$ в будущем году. Какое вложение капитала лучше?

Ответ зависит от ставки процента. Если ставка процента равна нулю, ответ ясен - достаточно сложить инвестиции. Ведь если процентная ставка равна нулю, то расчет текущей стоимости сводится к суммированию платежей.

При нулевой ставке процента текущая стоимость вложения A есть

,

а текущая стоимость вложения B есть

,

поэтому следует предпочесть вложение A.

Однако, при достаточно высокой ставке процента мы получим противоположный ответ. Допустим, например, что эта ставка равна 20 процентам. Тогда расчет текущей стоимости принимает вид

.

Теперь лучшим вложением оказывается A. Тот факт, что вложение A позволяет вернуть больше денег раньше, означает, что при достаточно большой ставке процента текущая стоимость этого вложения будет выше.

ПРИМЕР: Истинная стоимость кредитной карточки

Заем денег с помощью кредитной карточки - дело дорогостоящее: многие компании называют годичные процентные начисления в размере от 15 до 21 процента. Однако, из-за способа, которым эти финансовые начисления подсчитываются, реальные ставки процента оказываются много выше названных.

Предположим, что владелец кредитной карточки дебетует покупку на сумму в 2000$ в первый день месяца и что финансовое начисление составляет 1,5 процента в месяц. Если к концу месяца потребитель выплачивает сальдо целиком, то он не должен выплачивать финансовое начисление. Если же потребитель не выплачивает ни цента из суммы в 2000$, ему придется выплатить в начале следующего месяца финансовое начисление в размере .

Что произойдет, если потребитель выплатит 1800$ против сальдо в 2000$ в последний день месяца? В этом случае потребитель занял только 200$, так что финансовое начисление должно бы составить 3$. Однако, многие компании, занимающиеся кредитными карточками, начисляют потребителям гороздо большие суммы. Причина состоит в том, что многие компании основывают свои начисления на "среднемесячном сальдо", невзирая на то, что часть этого сальдо выплачивается к концу месяца. В нашем примере среднемесячное сальдо составило бы около 2000$ (30 дней с 2000-долларовым сальдо и 1 день с 200-долларовым сальдо). Таким образом, финансовое начисление было бы чуть меньше 30$, несмотря на то, что потребитель занял лишь 200$. Если основываться на фактически взятой взаймы сумме денег, то такое начисление соответствует процентной ставке в размере 15 процентов в месяц!

Облигации

Ценные бумаги - это финансовые инструменты, обещающие выплаты дохода в соответствии сопределенной структурой шкал выплат. Существует много разновидностей финансовых инструментов, поскольку пожелания людей в отношении этих шкал выплат разнообразны. Финансовые рынки дают людям возможность производить обмен во времени потоков денежной наличности различной структуры. Эти потоки денежной наличности, как правило, используются для финансирования потребления в тот или иной момент времени.

Здесь мы рассмотрим такой конкретный вид ценных бумаг, как облигации. Облигации выпускаются правительствами и корпорациями. В основе своей, они представляют собой способ займа денег. Заемщик - агент, выпускающий облигацию, - обещает выплачивать установленную сумму долларов x (купон) в течение каждого периода вплоть до определенной даты T (даты погашения облигации), по наступлении которой заемщик обязуетсявыплатить держателю облигации сумму F (номинал).

Таким образом, поток выплат по облигации имеет вид (x,x,x,...,F). Если ставка процента постоянна, то текущую дисконтированную стоимость такой облигации подсчитать нетрудно. Она задана формулой

.

Обратите внимание на то, что с ростом ставки процента текущая стоимость облигации будет понижаться. Почему это так? Когда ставка процента повышается, сегодняшняя цена 1 доллара, выплачиваемого в будущем, падает. Поэтому будущие выплаты по облигации сегодня стоят меньше.

Существует большой и развитый рынок облигаций. Рыночная стоимость выпущенных облигаций колеблется по мере колебаний ставки процента, так как при этом меняется текущая стоимость потока выплат по облигации.

Интересной разновидностью облигаций являются облигации, выплаты по которым производятся в течение неограниченно долгого времени. Их называют консолями, или пожизненной рентой. Предположим, что речь идет о консоли, которая должна ежегодно и бессрочно приносить x долларов. Чтобы подсчитать текущую стоимость этой консоли, мы должны подсчитать бесконечную сумму:

.

Хитрость при подсчете этой суммы заключается в том, что надо выделить 1/(1+r), чтобы получить

.

Но член в скобках есть не что иное, как x плюс текущая стоимость! Совершив подстановку и выразив PV, получаем:

.

Сделать это было нетрудно, но имеется легкий способ получить ответ сразу. Сколько денег, V, вам потребовалось бы, чтобы при ставке процента r всегда получать x долларов? Просто запишите уравнение

Vr=x,

говорящее о том, что процент на V должен равняться x. Но тогда текущая стоимость такого вложения задана формулой

.

Таким образом, оказывается, что текущая стоимость консоли, обещающей бесконечно долго приносить x долларов, должна равняться x/r.

В случае консоли нетрудно увидеть непосредственно, каким образом воозрастание ставки процента сокращает текущую стоимость облигации. Допустим, например, что консоль выпускается, когда ставка процента равна 10 процентам. Тогда, если консоль должна ежегодно и бессрочно приносить 10$, сегодня она будет стоить 100$, поскольку именно 100$ принесут ежегодно 10$ процентного дохода.

Предположим теперь, что ставка процента возрастает до 20 процентов. Стоимость консоли должна упасть до 50$, так как теперь теперь, при ставке в 20 процентов, потребуется лишь 50$, чтобы ежегодно зарабатывать 10$.

Формулу, выведенную для консоли, можно применять для подсчета приблизительной стоимости долгосрочной облигации. Если, например, ставка процента равна 10 процентам, стоимость 1 доллара, полученного через 30 лет, сегодня составит лишь 6 центов. Для уровня процентных ставок, с которым мы обычно сталкиваемся, 30 лет можно вполне считать бесконечностью .

ПРИМЕР: Ссуды с погашением в рассрочку

Предположим, что вы берете взаймы 1000$, которые обещаете вернуть посредством 12 ежемесячных выплат по 100$ каждая. Какую ставку процента вы платите?

На первый взгляд, кажется, что ваша процентная ставка составляет 20 процентов: вы взяли взаймы 1000$ и возвращаете 1200$. Но этот анализ некорректен. Ведь реально вы не занимали 1000$ на целый год. Вы заняли 1000$ на месяц, а потом вернули 100$. Затем вы заняли 900$ и должны выплатить месячный процент только на 900$. Вы занимаете их на месяц, а затем возвращаете еще 100$. И так далее.

Поток платежей, стоимость которого мы хотим подсчитать, есть

(1000,-100,-100,...,-100).

С помощью калькулятора или компьютера можно найти процентную ставку, при которой

текущая стоимость данного потока платежей будет равна нулю. Фактическая ставка процента, который вы платите по ссуде с погашением в рассрочку, составляет около 35 процентов!

Налоги

В Соединенных Штатах процентные платежи облагаются как обычный доход. Это означает, что вы платите на процентный доход такой же налог, что и на трудовой доход. Предположим, что вы относитесь к категории налогоплательщиков, для которых предельная налоговая ставка равна t, так что каждый дополнительный доллар дохода, , увеличивает сумму, которую вы должны выплатить в виде налогов, на . Тогда, инвестируя в какой-либо актив X долларов, вы получите процентный платеж в размере rX. Но вам также придется заплатить на этот доход налоги в размере trX, в результате чего ваш доход после выплаты налога составит всего (1-t)rX долларов. Мы называем ставку процента (1-t)rставкой процента после выплаты налога.

Что, если вы решите взять взаймы X долларов, а не дать их взаймы? Тогда вам придется заплатить в виде процентов rX. В Соединенных Штатах некоторые процентные платежи подлежат налогообложению, а некоторые - нет. Например, процентные платежи по закладным облагаются налогом, а процентные платежи по обычным ссудам на потребительские цели - нет. С другой стороны, компании могут удерживать большую часть производимых ими процентных платежей.

Если конкретный процентный платеж подлежит налогообложению, вы можете вычесть этот процентный платеж из остального своего дохода и платить налог лишь на ту сумму, которая осталась. Следовательно, rX долларов, которые вы платите в качестве процента, уменьшат ваши процентные платежи на trX. Общая стоимость X долларов, взятых вами взаймы, составит rX-trX=(1-t)rX. Таким образом, для людей, принадлежащих к одной категории налогоплательщиков, процентная ставка после выплаты налога оказывается одинаковой, независимо от того, являются они заемщиками или кредиторами. Налог на сбережения сократит сумму денег, которую люди хотят сберегать, однако, субсидия по ссудам увеличит сумму денег, которую люди хотят занимать.

ПРИМЕР: Стипендии и сбережения

В Соединенных Штатах многие студенты получают ту или иную форму финансовой поддержки, позволяющую покрыть издержки на обучение в колледже. Сумма финансовой помощи студенту зависит от многих факторов, но одним из важных факторов является способность семьи оплачивать расходы на колледж. В большинстве колледжей и университетов США используется стандартный показатель способности осуществлять такую оплату, рассчитываемый Советом по Вступительным Экзаменам в Колледж (СВЭК).

Если студент хочет обратиться за финансовой помощью, его семья должна заполнить анкету, характеризующую ее финансовые обстоятельства. СВЭК использует информацию о доходе и активах родителей для построения показателя "скорректированного располагаемого дохода". Доля скорректированного располагаемого дохода, вложения которой ожидают от родителей, варьирует, в зависимости от доходо, от 22 до 47 процентов. В 1985 году от родителей с совокупным доходом до налогообложения в размере около 35000$ ожидались вложения в образование детей в колледжах в размере около 7000$.

Каждый дополнительный доллар активов, накопленных родителями, увеличивает их ожидаемый вклад и уменьшает сумму финансовой помощи, на получение которой могут рассчитывать их дети. Формула, применяемая СВЭК, фактически облагает налогом тех родителей, которые откладывают деньги на образование своих детей в колледже. Мартин Фелдстейн, президент Национального Бюро Экономических Исследований (НБЭИ) и профессор экономики в Гарвардском университете, подсчитал величину этого налога.

Рассмотрим положение неких родителей, размышляющих о том, стоит ли сберечь дополнительный доллар, как раз в тот момент, когда их дочь поступает в колледж. При процентной ставке в 6 процентов будущая стоимость доллара через 4 года от настоящего момента составит 1,26$. Поскольку на процентный доход следует платить федеральный налог и налог штата, через четыре года доллар принесет доход после выплаты налогов в размере 1,19$. Однако, так как этот дополнительный доллар сбережений увеличивает совокупные активы родителей, сумма помощи. получаемой дочерью, уменьшается в течение каждого из четырех лет ее обучения в колледже. В результате этого "налога на образование" будущая стоимость доллара через 4 года составит лишь 87 центов. Это эквивалентно подоходному алогу в размере 150 процентов!

Фельдстейн исследовал также поведение в отношении сбережений в рамках выборки домохозяйств, принадлежащих к среднему классу и имеющих детей в возрасте накануне поступления в колледж. По его оценкам, домохозяйство с доходом в 40000$ и двумя детьми возраста поступления в колледж сберегает, вследствие комбинации федеральных налогов, налогов штата и налога "на образование" на 50 процентов меньше того, что оно сберегало бы в отсутствие указанных налогов.

Выбор ставки процента

Выше мы говорили о "ставке процента". В реальной жизни существует много ставок процента: номинальные, реальные, ставки до выплаты налогов, ставки после выплаты налогов. краткосрочные. долгосрочные ставки и т.д. Какую же "правильную” ставку следует использовать, проводя анализ текущей стоимости?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо подумать об основах данного анализа. Идея текущей дисконтированной стоимости возникла потому, что мы хотели иметь возможность превращать деньги в один момент времени в эквивалентную сумму в другой момент времени. “Ставка процента" есть доход на инвестиции, позволяющий нам осуществлять подобное превращение фондов.

Если мы хотим использовать данный анализ в ситуации существования множественных ставок процента, следует спросить себя, свойства какой из этих ставок в наибольшей мере отвечают потоку платежей, который мы пытаемся оценить. Если данный поток платежей не облагается налогом. следует использовать ставку процента после выплаты налогов. Если поток платежей продолжается в течение 30 лет, следует использовать долгосрочную ставку процента. Если поток платежей имеет рисковый характер, следует использовать ставку процента на вложения со сходными характеристиками риска. ( О том, что это последнее утверждение означает на самом деле, мы поговорим более подробно позднее.)

Ставка процента показывает альтернативную стоимость фондов - стоимость альтернативного использования ваших денег. Поэтому каждый поток платежей должен сравниваться с наилучшей для вас аьтернативой, имеющей сходные характеристики с точки зрения налогового режима, риска и ликвидности.

Краткие выводы

1. Бюджетное ограничение для межвременного выбора может быть выражено через текущую стоимость или будущую стоимость.

2. Результаты сравнительно-статического анализа. полученные ранее для более общих задач выбора, могут быть применены также и к межвременному выбору.

3. Реальная ставка процента показывает то дополнительное потребление, которое можно получить в будущем, отказавшись от какой-то части сегодняшнего потребления.

4. Потребитель, который может брать и давать взаймы по постоянной ставке процента, всегда должен предпочесть начальный запас с более высокой текущей стоимостью начальному запасу с более низкой текущей стоимостью.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Сколько стоит сегодня 1 миллион долларов, подлежащий получению через 20 лет, если процентная ставка составляет 20 процентов?

2. Каким становится межвременное бюджетное ограничение с ростом ставки процента -более крутым или более пологим?

3. Допустима ли предпосылка о том, что рассматриваемые товары являются совершенными субститутами, при изучении межвременных покупок продуктов питания?

4. Потребитель, первоначально являвшийся кредитором, остается кредитором и после снижения процентных ставок. Что можно сказать о благосостоянии этого потребителя после изменения процентных ставок - выросло оно или снизилось? Повышается его благосостояние или понижается, если после этого изменения процентных ставок потребитель становится заемщиком?

5. Какова текущая стоимость 100 долларов, получаемых через год, если процентная ставка равна 10%? Какова эта текущая стоимость , если процентная ставка равна 5% ?

Глава 11 - РЫНКИ АКТИВОВ

Активы - это товары, обеспечивающие поступление потока услуг с течением времени. Активы могут обеспечивать поступление потока потребительских услуг, таких, как жилищные услуги, или же потока денег, который может использоваться для покупки потребления. Активы, обеспечивающие поступление денежного потока, именуются финансовыми активами.

Облигации, рассмотренные нами в предыдущей главе, являются примером финансовых активов. Предоставляемый ими поток услуг есть поток процентных платежей. Другие виды финансовых активов, такие, как акции корпораций, приносят потоки денежной наличности в соответствии с различными схемами. В настоящей главе мы рассмотрим функционирование рынков активов в условиях абсолютной уверенности в отношении поступления будущего потока услуг, обеспечиваемого данным активом.

Нормы дохода

При этой нарочито крайней гипотезе, в отношении норм дохода на активы действует простой принцип: если неопределенность относительно приносимого активами потока денежной наличности отсутствует, то норма дохода на все активы должна быть одинаковой. Причина этого очевидна: если бы норма дохода на один актив была выше нормы дохода на другой, при том, что во всех остальных отношениях эти активы одинаковы, то никто не захотел бы приобретать актив с более низкой нормой дохода. Поэтому в равновесии все находящиеся во владении активы должны приносить одну и ту же норму дохода.

Рассмотрим процесс, посредством которого происходит выравнивание этих норм дохода. Представим себе актив A, текущая цена которого составляет ,а завтрашняя, как ожидается, составит . Все уверены в том, какова сегодняшняя цена актива, и в том , какова будет его завтрашняя цена. Для простоты мы предполагаем, что дивиденды или какие-либо другие выплаты денежной наличности с периода 0 по период 1 отсутствуют. Предположим, далее, что имеется еще одно вложение капитала, B, которое можно сделать с периода 0 по период 1 и которое принесет норму процента r. Теперь рассмотрим два возможных плана инвестиций: либо вложить один доллар в актив A, и получить его обратно в следующем периоде, либо вложить один доллар в актив B и заработать в течение рассматриваемого периода процент в размере r долларов.

Какова будет стоимость каждой из этих программ инвестиций в конце первого периода? Сначала зададим вопрос о том, сколько единиц актива мы должны приобрести, чтобы инвестировать в данный актив один доллар. Обозначив это количество актива через x, мы получаем уравнение

или

.

Отсюда следует, что будущая стоимость того количества данного актива, которое эквивалентно одному доллару, составит в следующем периоде

.

С другой стороны, если мы вложим один доллар в актив B, то в следующем периоде у нас будет 1+r долларов. При владении обоими активами, A и B, в условиях равновесия доллар, вложенный в любой из них, должен в следующем периоде стоить одинаково. Следовательно, мы получаем условие равновесия:

.

Что произойдет, если это равенство не будет удовлетворяться? В этом случае имеется верный способ сделать деньги. Например, если

,

люди, владеющие активом A, могут продать одну единицу этого актива за долларов в первом периоде и вложить полученные деньги в актив B. В следующем периоде их вложениев актив B будет стоить , что, как следует из вышеприведенного неравенства, больше . Это дает гарантию того, что во втором периоде у них хватит денег на то, чтобы выкупить актив A и начать все сначала, но уже с дополнительными деньгами.

Операция такого рода - покупка некоторого количества одного актива и продажа некоторого количества другого актива с целью получения верного дохода - известна как арбитраж без риска, или, сокращенно, арбитраж. Пока существуют люди, ищущие "верных вложений капитала", можно ожидать, что нормально работающий рыночный механизм будет быстро устранять любые возможности для арбитража. Поэтому можно сформулировать найденное нами условие равновесия по-другому - сказав, что в равновесии не должно быть возможностей для арбитража. Мы будем называть это условие условием отсутствия арбитража.

Однако, каким образом арбитраж фактически устраняет данное неравенство? В приведенном нами выше примере утверждалось, что если , то все, кто владеет активом A, захотят продать его в первом периоде, поскольку им гарантируется получение достаточного количества денег, чтобы выкупить его во втором периоде. Но кому они его продадут? Кто захочет его купить? Будет полно людей, готовых продать актив A по цене , но не найдется дурака, который хотел бы купить его по этой цене.

Это означает, что предложение превысит спрос и цена поэтому упадет. Насколько низко она упадет? Как раз настолько, чтобы удовлетворять условию отсутствия арбитража: настолько, чтобы .