Модель последовательного торга.
Рассмотрим следующую игру. Игроки 1 и 2 торгуются о разделе 1 доллара: 1-й игрок предлагает некоторый способ деления, 2-й либо принимает это предложение, либо нет; если нет, то он предлагает способ деления, а 1-й принимает, либо нет и т.д.
Каждое предложение занимает один период, но при этом есть дисконтирующий множитель. Итак, формально рассмотрим следующую трёх-периодную игру.
1.а) В начале первого периода игрок 1 предлагает «свою долю» доллара, оставляя
игроку 2.
1.b) Игрок 2 принимает предложение, тогда игра заканчивается, либо отклоняет его. В этом случае игра переходит ко 2-му периоду.
2.a) В начале второго периода игрок 2 предлагает долю , которую получает игрок 1, оставляя себе
.
2.b) Игрок 1 либо принимает предложение, либо нет. В последнем случае игра переходит к 3-му периоду.
3) Игроки в третьем периоде получают доли ,
, причём d задан экзогенно.
Решим данную задачу с помощью обратной индукции. Сначала вычислим, что происходит, если дело доходит до 2-го периода. Игрок 1 может получить d, если отклонит . С учётом дисконтирования (мы сравниваем стоимость в разных (соседних) периодах) игрок 1 примет
тогда и только тогда, когда
,
– коэффициент дисконтирования. Это значит, что задача игрока 2 состоит в выборе между получением
и получением
в следующем периоде. Дисконтированная стоимость последнего действия есть
, что меньше, чем
, а потому игрок 2 во втором периоде предлагает
.
Таким образом, если игра доходит до второго периода, то 2-й игрок предложит , и игрок 1 примет это предложение.
Однако игрок 1 может предвидеть, что игрок 2 может получить во втором периоде, отклоняя предложение
. В первом периоде стоимость
с учётом дисконтирования составит
. Значит, игрок 2 принимает
тогда и только тогда, когда
, или
.
Поэтому задача игрока 1 в первом периоде состоит в выборе между получением в этом периоде и получением
в следующем периоде. Дисконтированная величина
составляет
, что меньше, чем
. Значит, оптимальное предложение в первом периоде есть
. Следовательно, в первом периоде игрок 1 предлагает
, а игрок 2 принимает это предложение и получает
. Таким образом, выигрыш игроков есть
и
соответственно.
Модель «инвесторы и банк».
Представим следующую ситуацию. Два инвестора вкладывают по D долларов в банк. Банк инвестировал эти средства в долгосрочный проект. Если форс-мажорные обстоятельства заставляют банк ликвидировать свои инвестиции до того, как проект «созревает», то он покрывает некоторую сумму , где
. Если банк позволяет проекту «созреть», то проект принесёт
,
.
Есть два периода, когда вкладчики могут забрать свой вклад: период 1 – до «созревания», период 2 – после созревания. Для упрощения не будем учитывать дисконтирование. Если оба вкладчика забирают вклады в период 1, то оба получают по r и игра заканчивается. Если только один вкладчик забирает в период 1, то он получает D, а второй получает . Наконец, если ни один вкладчик не забирает в период 1, то проект «созревает», и оба вкладчика забирают свои деньги в период 2, и каждый получает по R. Если только один вкладчик забирает деньги в период 2, то он получает
, другой получает D. Если, наконец, ни один не забирает в период 2, то банк возвращает по R каждому.
Дерево игры изображено на рис. 8.16.
Рис. 8.16.
Без строгой формализации игру в период 1 можно изобразить следующим образом:
Забирать | Не забирать | |
Забирать | (r, r) | (D, 2r − D) |
Не забирать | (2r − D,D) | (Шаг 2) |
Для периода 2:
Забирать | Не забирать | |
Забирать | (R, R) | (2R − D, D) |
Не забирать | (D, 2R − D) | (R, R) |
Рассмотрим внимательно матрицу для периода 2. Поскольку и
, то в соответствии с принципом последовательной рациональности можем перейти к матрице для периода 1:
Забирать | Не забирать | |
Забирать | (r, r) | (D, 2r − D) |
Не забирать | (2r − D,D) | (R, R) |
Т.к. и
, то получаем два равновесия по Нэшу, дающие выигрыши (r, r) и (R, R). Принцип рационализации даёт нам окончательное решение (R, R).