Модель последовательного торга.

Рассмотрим следующую игру. Игроки 1 и 2 торгуются о разделе 1 доллара: 1-й игрок предлагает некоторый способ деления, 2-й либо принимает это предложение, либо нет; если нет, то он предлагает способ деления, а 1-й принимает, либо нет и т.д.

Каждое предложение занимает один период, но при этом есть дисконтирующий множитель. Итак, формально рассмотрим следующую трёх-периодную игру.

1.а) В начале первого периода игрок 1 предлагает «свою долю» доллара, оставляя игроку 2.

1.b) Игрок 2 принимает предложение, тогда игра заканчивается, либо отклоняет его. В этом случае игра переходит ко 2-му периоду.

2.a) В начале второго периода игрок 2 предлагает долю , которую получает игрок 1, оставляя себе .

2.b) Игрок 1 либо принимает предложение, либо нет. В последнем случае игра переходит к 3-му периоду.

3) Игроки в третьем периоде получают доли , , причём d задан экзогенно.

Решим данную задачу с помощью обратной индукции. Сначала вычислим, что происходит, если дело доходит до 2-го периода. Игрок 1 может получить d, если отклонит . С учётом дисконтирования (мы сравниваем стоимость в разных (соседних) периодах) игрок 1 примет тогда и только тогда, когда , – коэффициент дисконтирования. Это значит, что задача игрока 2 состоит в выборе между получением и получением в следующем периоде. Дисконтированная стоимость последнего действия есть , что меньше, чем , а потому игрок 2 во втором периоде предлагает .

Таким образом, если игра доходит до второго периода, то 2-й игрок предложит , и игрок 1 примет это предложение.

Однако игрок 1 может предвидеть, что игрок 2 может получить во втором периоде, отклоняя предложение . В первом периоде стоимость с учётом дисконтирования составит . Значит, игрок 2 принимает тогда и только тогда, когда , или .

Поэтому задача игрока 1 в первом периоде состоит в выборе между получением в этом периоде и получением в следующем периоде. Дисконтированная величина составляет , что меньше, чем . Значит, оптимальное предложение в первом периоде есть . Следовательно, в первом периоде игрок 1 предлагает , а игрок 2 принимает это предложение и получает . Таким образом, выигрыш игроков есть и соответственно.

Модель «инвесторы и банк».

Представим следующую ситуацию. Два инвестора вкладывают по D долларов в банк. Банк инвестировал эти средства в долгосрочный проект. Если форс-мажорные обстоятельства заставляют банк ликвидировать свои инвестиции до того, как проект «созревает», то он покрывает некоторую сумму , где . Если банк позволяет проекту «созреть», то проект принесёт , .

Есть два периода, когда вкладчики могут забрать свой вклад: период 1 – до «созревания», период 2 – после созревания. Для упрощения не будем учитывать дисконтирование. Если оба вкладчика забирают вклады в период 1, то оба получают по r и игра заканчивается. Если только один вкладчик забирает в период 1, то он получает D, а второй получает . Наконец, если ни один вкладчик не забирает в период 1, то проект «созревает», и оба вкладчика забирают свои деньги в период 2, и каждый получает по R. Если только один вкладчик забирает деньги в период 2, то он получает , другой получает D. Если, наконец, ни один не забирает в период 2, то банк возвращает по R каждому.

Дерево игры изображено на рис. 8.16.

Рис. 8.16.

Без строгой формализации игру в период 1 можно изобразить следующим образом:

	Забирать	Не забирать
Забирать	(r, r)	(D, 2r − D)
Не забирать	(2r − D,D)	(Шаг 2)

Для периода 2:

	Забирать	Не забирать
Забирать	(R, R)	(2R − D, D)
Не забирать	(D, 2R − D)	(R, R)

Рассмотрим внимательно матрицу для периода 2. Поскольку и , то в соответствии с принципом последовательной рациональности можем перейти к матрице для периода 1:

	Забирать	Не забирать
Забирать	(r, r)	(D, 2r − D)
Не забирать	(2r − D,D)	(R, R)

Т.к. и , то получаем два равновесия по Нэшу, дающие выигрыши (r, r) и (R, R). Принцип рационализации даёт нам окончательное решение (R, R).