Динамическая модель замкнутого производства как системы линейных однородных дифференциальных уравнений.
Замкнулая си-ма – эк.с-ма, в которой все отрасли являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими отраслями. В замкнутой модели объем затрат каждого сектора равен объему произведенной.
Динамическая модель замкнутой производственно-экономической с-мы, представляющей собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений выглядит так (в матричной записи):
(3)
Решение с-мы (3) характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и F, когда все ресурсы ВВП направляются на расширенное воспроизводство.
1. Общее решение системы (3) имеет следующий аналитический вид:
(4)
Параметры аналитического решения (4) 
, 
, 
получаются в следующей последовательности:
a) 
- корни характеристического уравнения n-го порядка.
(5)
б) 
- соответствующие 
собственные векторы матрицы 
, 
, и являются решениями (бесконечными) алгебраической системы однородных уравнений:
, (6)
где, 0 (“нуль”) – нулевой вектор – столбец размерности 
;
в) 
- постоянные, определяемые из системы уравнений:
(7)
где, Y(0) – вектор–столбец конечного использования продукции отраслей в базисном году.
В общем случае решение (7) содержит несколько отличных от нуля компонент 
. Поэтому, единственная траектория системы (3), выходящая из начальной точки Y(0), представляет собой комбинацию экспонент, растущих с различными темпами.
7. Пусть 
. Для матрицы 
существует теорема Перрона:
а) матрица имеет положительное собственное число 
, которое превосходит модули всех остальных собственных чисел;
б) для , называемого корнем Фробениуса – Перрона, выполняется условие:
.
в) собственному числу отвечает единственный собственный вектор 
, все координаты которого строго положительны и удовлетворяют условию:
8. Так как 
, 
, 
- соответствует вектор 
.
9. Значение 
в межотраслевой динамической модели находит объяснение технологического темпа прироста ВВП, а вектор 
- отраслевой структуры ВВП.
59. Алгоритм численного решения модели динамического МОБа и экономическое содержание его параметров
1.Простейшая динамическая модель МОБа с постоянными коэффициентами выглядит так: 
, (1)
где 
- вектор - столбец объемов производства в году t(t=0,1,2,…,T), (j=1,2,…,n); 
- вектор – столбец абсолютных приростов производства в году t (вектор – столбец производных функций); 
- вектор – столбец потребления (включая непроизводственное потребление) в году t; 
- матрица коэффициентов прямых материальных затрат; 
- матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства.
2. Неоднородная система дифференциальных уравнений (1) эквивалентна системе: 
, (2)
где 
- вектор – столбец конечного использования продукции отраслей в году t, (t=0,1,2,…,T), (i=1,2,…,n); 
- вектор – столбец абсолютных приростов конечной продукции по отраслям.
3.Матрица А продуктивна или неразложима, матрица Fневырожденна 
, 
(поэлементно).
4. Решения системы (2) при 
в силу неотрицательности матриц 
и гарантируют, что 
, 
, 
.
5. Динамическая модель замкнутой производственно – экономической системы, представляющей собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений выглядит так (в матричной записи): (3)
Решение системы (3) характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и F, когда все ресурсы ВВП направляются на расширенное воспроизводство.
6.Общее решение системы (3) имеет следующий аналитический вид: (4)Параметры аналитического решения (4) , , получаются в следующей последовательности:
a) - корни характеристического уравнения n-го порядка.
(5)
б) - соответствующие собственные векторы матрицы , , и являются решениями (бесконечными) алгебраической системы однородных уравнений: , (6)
где, 0 (“нуль”) – нулевой вектор – столбец размерности ;
в) - постоянные, определяемые из системы уравнений: (7)где, Y(0) – вектор–столбец конечного использования продукции отраслей в базисном году.
В общем случае решение (7) содержит несколько отличных от нуля компонент . Поэтому, единственная траектория системы (3), выходящая из начальной точки Y(0), представляет собой комбинацию экспонент, растущих с различными темпами.
7.Пусть . Для матрицы сущ. теорема Перрона:
а)матрица имеет положительное собственное число , которое превосходит модули всех остальных собственных чисел;
б)для , называемого корнем Фробениуса – Перрона, выполняется условие: .в)собственному числу отвечает единственный собственный вектор , все координаты которого строго положительны и удовлетворяют условию:
8. Так как , , - соответствует вектор .
9. Значение в межотраслевой динамической модели находит объяснение технологического темпа прироста ВВП, а вектор - отраслевой структуры ВВП.