Оценка чувствительности результатов расчета оптимальной производственной программы

В реальной жизни при реализации того или иного управленческого решения, в нашем случае оптимальной производственной программы, имеют место возмущения по параметрам системы, обусловленные внешними и внутренними факторами. Эти возмущения приводят к изменению оптимальных значений переменных задачи (объема производства продукции) и целевой функции (прибыли). Поэтому, возникает задача об оценке влияния этих возмущений на управленческое решение и на базе нее формулировки конкретных действий, которые лицо, принимающее решения, должно будет предпринять в этих условиях.

Для решения поставленной задачи будем использовать математический аппарат теории чувствительности.

Пусть мы находимся в классе задач линейного программирования:

где – параметры модели.

Предположим, найдено оптимальное решение задачи, то есть определены выходные характеристики задачи, а именно оптимальные значения переменных и целевой функции . Продукцию, для которой , будем называть «выгодной»; продукцию, для которой - «невыгодной».

Введем в рассмотрение характеристику запасов ресурсов , которая показывает количество ресурса ого вида, оставшегося после реализации оптимального решения.

Если , то ресурс будем называть «дефицитным». Если - ресурс «недефицитный».

Оценим влияние изменения запасов ого ресурса на выходные характеристики задачи. Для этого введем в рассмотрение коэффициенты чувствительности , которые показывают, на сколько изменится значение ой переменной при увеличении запаса ого ресурса на единицу. В теории чувствительности обосновано, что данные коэффициенты отличны от нуля для «дефицитных» ресурсов и равны нулю для «недефицитных».

Коэффициенты чувствительности , показывают, на сколько измениться значение целевой функции при увеличении запаса ого ресурса на единицу.

Проведем анализ чувствительности решения к изменению параметров системы для периода t₀₊₁. Пусть целевой функцией является максимизация прибыли, а ограничениями выступают запасы сырьевых ресурсов.

Найдем оптимальный план:

Так как , следовательно, и первая, и вторая продукция «выгодные».

Определим резервы по ресурсам:

Отсюда делаем вывод, что первый и третий ресурс являются «дефицитными», второй - «недефицитный». Так как, коэффициенты чувствительности для «недефицитного» ресурса равны нулю, следовательно . Для определения оставшихся коэффициентов чувствительности, исключаем из системы ограничений второе неравенство, в двух других перейдем к строгим равенствам и обозначим правые части через и . Получим:

Продифференцируем данную систему по :

или с учетом :

Откуда .

Аналогично, после дифференцирования системы по

определим .

Рассчитаем коэффициенты чувствительности целевой функции к вариациям «дефицитных» ресурсов.

Так как , следовательно

Предположим, что запас первого ресурса увеличился на 30 единиц. Как это повлияет на управленческое решение, а именно на оптимальную производственную программу и прибыль? Воспользуемся коэффициентами чувствительности и .

Так как , следовательно при увеличении запаса первого ресурса на 30 единиц, оптимальный объем производства первой продукции увеличится на единиц.

Так как , следовательно, при увеличении запаса первого ресурса на 30 единиц, оптимальный объем производства второй продукции не изменится.

Так как коэффициент чувствительности , следовательно, при увеличении запаса первого ресурса на 30 единиц, максимальное значение прибыли увеличится на единиц.

Аналогично можно провести анализ чувствительности оптимального решения при изменении запасов по другим ресурсам.