МАТЕМАТИческие методы в управлении

МАТЕМАТИческие методы в управлении

Методические указания к контрольной работе

Для магистрантов заочной формы обучения

Рекомендовано учебно-методической комиссией направления

подготовки 38.04.01 «Экономика» в качестве электронного издания

для самостоятельной работы

Кемерово 2016

Рецензент

В. М. Волков – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики

Николаева Евгения Александровна

Гутова Елена Владимировна

Математические методы в управлении [Электронный ресурс]: методические указания к контрольной работе для магистрантов направления подготовки 38.04.01 «Экономика», заочной формы обучения / сост.: Е. А. Николаева, Е. В. Гутова; КузГТУ. – Кемерово, 2016.

Приведены задания и методические указания по их решению, а также список вопросов для подготовки к экзамену.

Задания в контрольной работе охватывают все темы, изучаемые в I семестре по дисциплине «Математические методы в управлении». Выполнение заданий позволит студенту качественно подготовиться к экзамену.

© КузГТУ, 2016

© Е. А. Николаева.

Е. В. Гутова, составление, 2016

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

n найти строку, соответствующую первой букве фамилии;

n найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

n на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту,

возвращаются непроверенными.

А, В
Б, Ё
Г, Ж
К, О
М, Н
П, Ы
С, У
Р, Т
Х, Ц
Ч, Щ
Д, З
И, Л
Е, Ф
Ш, Я
Э, Ю

ТЕМА 1. Построение математических моделей

Математическая модель – это упрощенная схема реального объекта (системы, процесса), составленная при помощи математических символов и соотношений.

Алгоритм построения математической модели:

1) изучить условия задачи;

2) определить важнейшие факторы;

3) выделить известные и неизвестные параметры;

4) выявить управляемые и неуправляемые параметры;

5) дополнить условия задачи недостающими сведениями;

6) ввести систему обозначений;

7) составить математическую модель задачи.

Пример 1.1.(Задача об использовании ресурсов)

Для изготовления двух видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
P1	P2
S1
S2
S3		–
S4			–

Прибыль, получаемая от единицы продукции 2 и 3 руб. соответственно.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение: Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим x₁, x₂ – число единиц продукции соответственно P₁ и P₂, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (х₁ + 3х₂) единиц ресурса S₁, (2x₁ + 1x₂) единиц ресурса S₂, (x₂) единиц ресурса S₃ и (3x₁) единиц ресурса S₄. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃ и S₄ не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

x₁ + 3 x₂ £ 18,

2 x₁ + x₂ £ 16,

x₂ £ 5,

3 x₁ £ 21,

По смыслу задачи переменные неотрицательны, то есть

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

Суммарная прибыль f составит 2х₁ руб. от реализации продукции Р₁ и 3x₂ руб. – от реализации продукции P₂, т.е.

f(x) = 2 x₁ + 3 x₂ ® max.

Пример 1.2.(Задача о раскрое материалов)

Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составить математическую модель задачи.

Решение: Определим всевозможные способы распила бревен.

Способ распила	Число получаемых брусьев длиной, м
1,2	3,0	5,0
		–	–
			–
	–		–
	–	–

Обозначим: х_i – число бревен, распиленных i-м способом (i = 1, 2, 3, 4); x – число комплектов брусьев.

Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид:

f = x ® max

при ограничениях:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 195,

5x₁ + 2x₂ = 2x,

х₂ + 2х₃ = х,

x₄ = 3х,

x_i ³ 0 (i =1,2, 3,4).

Многопродуктовая статическая модель с ограничениями

ТЕМА 3. Транспортная задача

Постановка задачи.Пусть имеется m пунктов производства с объемами производства a_i, i=1,…,m, и n пунктов потребления с объемами потребления b_j, j=1,…,n. Обозначим c_ij – стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт j. Задача заключается в нахождении объемов перевозок x_ij из пунктов i в пункты j таких, что объемы перевозок из пунктов производства не превосходят объемов производства, в пунктах потребления полностью удовлетворяется спрос и общая стоимость перевозок минимальна.

(1)

(2)

(3)

(4)

Сбалансированная транспортная модель.Если общий объем производства совпадает с общим объемом потребления

(5)

тогда ограничения (2), (3) принимают вид

(6)

(7)

Теорема.Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения.

В случае превышения запасов над потребностью (потребностей над запасами) вводится фиктивный (n+1) - й пункт назначения с потребностью ((m+1) - й пункт производства ) и нулевыми тарифами перевозок.

Пример 4.1.

Седловой точкой является пара (i_о = 3; j_о = 1), при которой n = 2.

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен
2 = = , она не является седловой точкой, так как этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

Свойства решений матричной игры:

Стратегия u¹ игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией u², если А (u¹, w) ³ А (u²,w)(А (u¹, w) > А (u²,w)), w Î W.

Стратегия w¹ игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией w², если А (u, w¹) £ А (u, w²) (А (u,w¹) < А (u,w²)), u Î U.

При этом стратегии u² и w² называются доминируемыми (строго доминируемыми).

Пример 4.2. Рассмотрим игру:

(Здесь стрелками указаны доминируемые стратегии).Получим игру 2×2, в которой все стратегии недоминируемые.

Принцип доминирования можно обобщить на тот случай, когда одна из стратегий доминируется некоторой выпуклой линейной комбинацией других стратегий.

1/3

2/3

Здесь вторая строка доминируется выпуклой линейной комбинацией первой и третьей строк, так как

Следовательно, вторую стратегию можно исключить и рассматривать игру:

Аналогично, если в матрице игры один из столбцов доминируется некоторой выпуклой линейной комбинацией других столбцов, то этот столбец можно исключить.

Решение 2 2–игры. В общем случае игра 2×2 определяется матрицей

.

Прежде всего, необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет решения в чистых стратегиях, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями.

Пусть U = (x,1 - x) – оптимальная стратегия игрока 1. Тогда

; .

Аналогично, если W = (h, 1 – h) – оптимальная стратегия игрока 2, то

.

Графоаналитический метод решения игр 2´n и m×2. Рассмотрим игру 2´n:

Задача игрока 1 состоит в максимизации функции .

Так как , мы имеем .

Таким образом, v является минимумом n линейных функций одной переменной ; можно вычертитьграфики этих функций и затем максимизировать их минимум g( ) графическими методами. Покажем на примере игры 2×3.

Пример 4.3.Рассмотрим игру, заданную матрицей.

На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины С₁С₂, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (u, 1- u). В частности, точке С₁(0; 0) отвечает стратегия С₁, точке С₂(1; 0) – стратегия С₂ и т.д.

В точках С₁ и С₂ восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью Оy) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии С₁, а на втором – при стратегии С₂. Если игрок 1 применит стратегию С₁, то выиграет при стратегии В₁ игрока 2 – 2, при стратегии В₂ – 3, а при стратегии В₃ – 11. Числам 2, 3, 11 на оси Ох соответствуют точки В₁, В₂ и В₃.

Если же игрок 1 применит стратегию С₂, то его выигрыш при стратегии В₁ равен 7, при В₂ – 5, а при В₃ – 2. Эти числа определяют точки В₁¢, В₂¢, В₃¢ на перпендикуляре, восстановленном в точке С₂. Соединяя между собой точки В₁ и В¢₁, В₂ и В¢₂, В₃ и В¢₃ получим три прямые, расстояние до которых от оси Ох определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.

P 02YFIuAU/sPwh8/oUDDT0V3IeNEqeE45yHK0AMF2msY8HFlP5gnIIpe3DxS/AAAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAMBg7t7wBwAAwFYAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9E b2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADhKVm/fAAAACAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAASgoAAGRycy9k b3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABWCwAAAAA= " o:allowincell="f">

B¢1

B¢2

B¢3

B3

B2

B1

х

2 2

y

Рис. 5.

Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломаной В₁MNВ¢₃, определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия u* = (u, 1 - u), а её ордината равна цене игры v. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В₂B¢₂ и В₃B¢₃.

Соответствующие два уравнения имеют вид

.

Следовательно, u^*= при цене игры v= . Таким образом, мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы

.

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, w^*= . (Из рисунка видно, что стратегия B₁ не войдёт в оптимальную стратегию).

Укажем основные этапы нахождения решения игры 2n (m2):

1. Строим прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.

2. Определяем нижнюю (верхнюю) огибающую графиков, соответствующих столбцам (строкам).

3. Находим две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствует две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.

4. Определяем цену игры и оптимальные стратегии.

Задания для контрольной работы

Задание №1. Составить математическую модель задачи принятия решения.

Вариант 1.

Текстильный комбинат производит 2 вида ткани: вид А состоит из 80% шерсти и 20% синтетического волокна, вид В состоит из 20% шерсти и 80% синтетики.

Ткань производится партиями (большими рулонами, бабинами). Время изготовления каждого рулона – 2 часа времени технологического процесса. Технологический процесс может длиться сутки (24 часа). Ткацкий станок может переключаться с производства одного вида ткани на другой.

Для производства ткани вида А ткацкий станок использует 4 ед. шерстяной пряжи и 1 ед. синтетических волокон. Для производства ткани вида В – 1 ед. синтетического волокна и 4 ед. шерстяного волокна. В сутки станок расходует 36 ед. синтетического волокна и 24 ед. шерстяного волокна.

Стоимость 1 рулона ткани вида А – $ 2000, ткани вида В – $ 1000.

Сколько рулонов каждого вида ткани нужно выпускать в день, чтобы выручка была максимальной ?

Вариант 2.

Необходимо распределить площадь пашни между двумя культурами по следующим данным:

Культура	Урожайность (ц/га)	Затраты тракторо-смен на 1 га	Цена (руб. за 1 ц)	Затраты (человеко-дней на 1 га)
А		0,1
В		0,24

Кроме того, заданы ресурсы производства:

земли – не более 1800 га

затраты тракторосмен – не более 300

затраты труда человеко-дней – не более 8000

потребности в культуре А – 10 000 ц; В – 7 500 ц

Критерий оптимальности – максимальная прибыль от реализации.

Вариант 3.

Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 570 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 60% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 10 и 70 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 3 и 8 тыс. руб.

Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.

Вариант 4.

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31, 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовки	Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу
I
II
III
Величина отходов (см3)

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

Вариант 5.

Хозяйству требуется приобрести два вида азотных удобрений: А – аммиачную селитру, В – сульфат аммония. Удобрения вида А необходимо иметь не более 15 т, а удобрения вида В не более 10 т.

Содержание действующего вещества для А и для В соответственно 35% и 25 %. Отпускная оптовая цена удобрения А –53 руб., В – 35 руб за тонну.

Хозяйство может выделить на приобретение удобрений 600 руб. Сколько тонн каждого вида удобрений следует приобрести, чтобы общая масса действующего вещества была максимальной ?

Вариант 6.

В хозяйстве установили, что откорм животных выгоден только тогда, когда животные будут получать в дневном рационе не менее 10 ед. питательного вещества А, не менее 16 ед. вещества В и не менее 5 ед. вещества С. Для откорма животных используют два вида корма. Содержание питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, а также цена 1 кг корма (руб.) величины известные и приведены в таблице:

Питательные вещества	Корма	Дневная норма
I	II
А
В
С
ЦЕНА кормов

Установить, какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на его приобретение были минимальными.

Вариант 7.

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на одно изделие	Общее кол-во ресурсов
стол	шкаф
Древесина (м3) I вида II вида	0,2 0,1	0,1 0,3
Трудоемкость (чел.-ч)	1,2	1,5	371,4
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Вариант 8.

Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены ниже в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-часов) на обработку одного изделия	Общий фонд полезного рабочего времени оборудования (ч)
А	В
фрезерное
токарное
шлифовальное
Прибыль от реализации одного изделия (руб.)

Найти план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Вариант 9.

Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 700 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 80% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 5 и 7 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 2 и 4 тыс. руб.

Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.

Вариант 10.

На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используют три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать	Общее кол-во корма
лисица	песец
I
II
III
Прибыль от реализации одной шкурки (руб.)

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Вариант 11.

Фирма "Лесная пилорама" столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготовляется фанера. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.

Чтобы получить 2,5 м³ коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м³ еловых и 7,5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м³ фанеры требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м³ еловых и 180 м³ пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести, по крайней мере, 10 м³ пиломатериалов и 1200 м³ фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составляет 16 долл., а со 100 м³ фанеры – 60 долл.

Вариант 12.

Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество x₁ чистой стали и какое количество х₂ металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующею сплава) литья для одного, из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 усл. ед., а затраты на 1 т металлолома – 5 усл. ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма «Иерихонская сталь» поставит перед ним такие условия.

Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 т, a запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7 : 8. Производственно-технологические, условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч; при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1 т металлолома – 1 ч производственного времени.

Вариант 13.

Фирмой «Супертранзистор» выпускаются радиоприемники трех различных моделей: модель А, модель В и модель С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15 и 25 соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 моделей приемников модели В и 75 приемников модели С.

Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 ч для изготовления соответствующих деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равняются 3.5, 5 и 1.5ч, а на 10 приемников модели С – 5, 8 и 3. В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей 150 ч, на сборку 200 ч и на упаковку 60 ч.

Для решения задачи производственного планирования требуется построить соответствующую модель.

Вариант 14.

Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает 8 самолетами типа 1, 15 самолетами типа 2, 12 самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: 45 для самолетов типа 1, 7 для самолетов типа 2, 4 для самолетов типа 3.

Авиакомпания обслуживает города А и В. Городу А требуется тоннаж в 20000 т, а городу В – в 30000 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.

Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «Центральный аэродром – пункт назначения», указаны в приведенной ниже таблице:

	тип 1	тип 2	тип 3
город А			1,4
город В			3,8

Обозначим через x_i (i = 1, 2, 3) число самолетов i-го Типа, отправленных в город А, а через y_j (j = 1, 2, 3) число самолетов j-го типа, отправленных в город В. Построить модель оптимальных перевозок.

Вариант 15.

Авиакомпании «Ночной полет» необходимо решить, какое количество топлива для реактивных самолетов следует закупить у фирм поставщиков, если число последних равно трем и имеют место следующие требования и ограничения:

Заправка самолетов производится регулярно в четырех аэропортах.

Нефтяные компании констатируют следующие возможности поставки топлива в течение ближайшего месяца: а) 2500000 л – нефтяная компания 1; б) 5000000 л – нефтяная компания 2; в) 6000000 л – нефтяная компания 3.

Авиакомпании требуется следующее количество топлива: а) 1000000 л в аэропорту 1; б) 2000000 л в аэропорту 2; в) 3000000 л в аэропорту 3; г) 4000000 л в аэропорту 4.

Стоимости 1л реактивного топлива с учетом расходов, связанных с доставкой, имеют значения, приведенные в следующей таблице.

	компания 1	компания 2	компания 3
Аэропорт 1
Аэропорт 2
Аэропорт 3
Аэропорт 4

Построить модель оптимизации управляющего решения.

Вариант 16.

Фирма «Нитроткань» производит определенного типа мелкие детали для промышленных изделий и продает их через своих посредников-оптовиков по фиксированной поставочной цене 2,50 долл. за штуку. Число посредников-оптовиков равняется пяти. Коммерческие прогнозы указывают на то, что объем месячных поставок, составит: посреднику 1 – 3000 штук, посреднику 2 – 3000 штук, посреднику 3 – 10 000 штук, посреднику 4 – 5000 штук, посреднику 5 – 4000 штук.

Фирма располагает следующими производственными мощностями: завод 1 – 5000 деталей в месяц, завод 2 – 10000 деталей в месяц, завод 3 – 12500 деталей в месяц. Себестоимость одной детали, изготовленной на заводе 1, равняется 1 долл., на заводе 2 – 0,90 долл., на заводе 3 – 0,80 долл.

Транспортные расходы (в долларах), связанные с доставкой одной детали в точки оптовой продажи, приведены ниже:

	Компания 1	Компания 2	Компания 3	Компания 4	Компания 5
Завод 1	0,05	0,07	0,10	0,15	0,15
Завод 2	0,08	0,06	0,09	0,12	0,14
Завод 3	0,10	0,09	0,08	0,10	0,15

Требуется построить модель с целью определения оптимальных объемов продукций, подлежащих выпуску на каждом заводе данной фирмы, и количества деталей, поставляемых фирмой своим посредникам-оптовикам.

Вариант 17.

Фирма «Комфорт» производит холодильники, газовые плиты и кухонные раковины. В наступающем году ожидается следующий уровень сбыта:

	Кварталы кварталы
холодильники
газовые плиты
кухонные раковины

Фирма разрабатывает производственный план, который был бы в состоянии удовлетворить указанный спрос. Кроме того, фирмой принято решение в конце каждого квартала иметь запасы в размере 1000 единиц каждого вида продукции. В начале первого квартала запасы отсутствуют.

В течение квартала фирма может израсходовать не более 8000 «приведенных часов» (п. ч.) рабочего времени. На изготовление холодильника требуется 0,5 п. ч., газовой плиты – 2 п. ч., а кухонной раковины – 1,5 п. ч. В четвертом квартале холодильники не могут изготовляться, так как фирма планирует произвести в это время частичное переоборудование предприятия в связи с введением в действие новой конвейерной линии.

Допустим, что хранение каждой единицы продукции на складе в течение квартала обходится фирме в 5 усл. ед. Фирма разрабатывает производственный план с учетом поквартальных лимитов производственного времени, ориентируясь при этом на полное удовлетворение спроса. Она стремится также к минимизации издержек, связанных с хранением продукции на складе.

Вариант 18.

Фирма «Всякая всячина», выпускающая лезвия для бритв, объявила о переходе к производству совершенно новых лезвий улучшенного качества. Реакция потребителей на проведенную фирмой рекламную кампанию оказалась вполне удовлетворительной. Фирма имеет два предприятия и три оптовых склада, размещенных в различных географических пунктах. Лезвия на склады доставляются по железной дороге партиями. Выпуск лезвий в течение одного месяца на предприятиях 1 и 2 составляет S₁ = 100 и S₂ = 200 соответственно. Возможности сбыта на складах 1, 2 и 3 в течение этого месяца равны соответственно D₁=150, D₂=200 и D₃ = 250. Как видно, возможный сбыт, т.е. спрос, значительно превышает поставки, вследствие чего часть потребностей останется неудовлетворенной.

Предположим, что транспортные расходы на доставку одного вагона лезвий с предприятия i на склад j равны tij и что доход от сбыта этого вагона на складе j равен рj. (Фирма может продавать свои лезвия по различным ценам в различных пунктах страны).

Постройте транспортную модель с целевой функцией, тождественной прибыли.

Вариант 19.

Задача о доставке грузов (задача о покрытии). Фирма «Автопегас» должна доставить грузы пяти своим клиентам в течение рассматриваемого дня. Клиенту А нужно доставить груз весом в 1 единицу, клиенту В – в 2 единицы, клиенту С – в 3 единицы, клиенту D – в 5 единиц и клиенту Е – в 8 единиц. Фирма располагает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 – 2 единицы, машина 2 – 6 единиц, машина 3 – 8 единиц, машина 4 – 8 единиц. Стоимость эксплуатации автомашины j составляет cj. Предположим, что одна машина не может доставлять груз обоим клиентам А и С, аналогично одна машина не может использоваться для доставки груза обоим клиентам B и D.

Постройте модель для определения такого назначения автомашин для доставки всех грузов, при котором минимизируются суммарные затраты.

Вариант 20.

Текстильный комбинат производит 2 вида ткани: вид А состоит из 70% шерсти и 30% синтетического волокна, вид В состоит из 10% шерсти и 90% синтетики.

Ткань производится партиями (большими рулонами, бабинами). Время изготовления каждого рулона – 3 часа времени технологического процесса. Технологический процесс может длиться сутки (24 часа). Ткацкий станок может переключаться с производства одного вида ткани на другой.

Для производства ткани вида А ткацкий станок использует 3 ед. шерстяной пряжи и 1 ед. синтетических волокон. Для производства ткани вида В – 1 ед. синтетического волокна и 4 ед. шерстяного волокна. В сутки станок расходует 36 ед. синтетического волокна и 24 ед. шерстяного волокна. Стоимость 1 рулона ткани вида А – $ 2200, ткани вида В – $ 1500.

Сколько рулонов каждого вида ткани нужно выпускать в день, чтобы выручка была максимальной?

Вариант 21.

Необходимо распределить площадь пашни между двумя культурами по следующим данным:

Культура	Урожайность (ц/га)	Затраты тракторо-смен на 1 га	Цена (руб. за 1 ц)	Затраты (человеко-дней на 1 га)
А		0,15		3,5
В		0,25

Кроме того, заданы ресурсы производства:

земли – не более 1750 га

затраты тракторосмен – не более 300

затраты труда человеко-дней – не более 8500

потребности в культуре А – 10 000 ц; В – 7500 ц

Критерий оптимальности – максимальная прибыль от реализации.

Вариант 22.

Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 570 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 65% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 12 и 75 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 13 и 9 тыс. руб.

Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимально