Функции полезности и вероятности в условиях неопределенности

Если предпочтения потребителя в отношении потребления при различных обстоятельствах разумны, то можно использовать для описания этих предпочтений функцию полезности подобно тому, как это делалось нами в другом контексте. Однако тот факт, что рассматривается выбор в условиях неопределенности, все же порождает особую структуру задачи выбора. Вообще, то, как потребитель оценивает потребление при одном исходе по сравнению с потреблением при другом исходе, зависит от вероятности того, что рассматриваемый исход действительно будет иметь место. Предпочтения в отношении потребления при различных состояниях природы зависят от предположений индивида в отношении того, насколько вероятно наступление этих состояний.

Вследствие этого можно представить функцию полезности зависящей не только от уровней потребления, но и от вероятностей. Предположим, что мы рассматриваем множество взаимоисключающих состояний природы. Обозначим через с₁…с_nпотребление в каждом из состояний природы, а через π₁…π_n- вероятности того, что эти состояния наступят.

С учетом сделанных обозначений можно записать функцию полезности в виде . Это функция полезности, представляющая предпочтения, имеющиеся у индивида в отношении потребления в каждом из состояний.

Практически любые из примеров функций полезности могут быть рассмотрены с позиций выбора в условиях неопределенности. Один из примеров такого рода — случай совершенных субститутов. В этом случае взвешивание каждой величины потребления вероятностью того, что это потребление будет иметь место, представляется вполне естественным. Предположим, что мы рассматриваем два взаимоисключающих состояния, таких, как дождь и ясная погода, убытки или их отсутствие, или еще какие-то состояния природы. Обозначим через и потребление в состояниях 1 и 2, а через и — вероятности того, что эти состояния будут в действительности. Если два рассматриваемых состояния взаимоисключающи, так что реально может наступить только одно из них, то . Это дает функцию полезности вида (2).

(10.2)

При анализе выбора в условиях неопределенности выражение такого рода именуют ожидаемым значением – средневзвешенным по вероятностям значением всех возможных результатов.

Пример 3. Предположим, что проезд в автобусе стоит 10 р., а штраф за безбилетный проезд равен 100 р. Если вероятность проверки билета составляет 10%, то ожидаемое значение результата безбилетного проезда составит:

Таким образом, безбилетный проезд в данном случае невыгоден, так как возможные убытки, скорее всего, превысят потенциальные выгоды.

Другой пример функции полезности, которую можно использовать для изучения выбора в условиях неопределенности, — функция полезности Кобба-Дугласа (10.3):

(10.3)

В этом случае полезность, приписываемая любой комбинации потребительских наборов, зависит от структуры потребления нелинейным образом.

Можно провести монотонное преобразование функции полезности, получив в результате функцию, представляющую те же самые предпочтения. Логарифм функции Кобба-Дугласа очень удобен для дальнейшего анализа. Преобразование дает функцию полезности вида (4)

(10.4)

Очень часто для описания функции полезности используется форма, предложенная Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном, которая для состояния природы двух типов выглядит в виде (5)

(10.5)

Она показывает, что функция полезности может быть представлена в виде взвешенной суммы неких функций потребления в каждом состоянии: и , причем соответствующие веса заданы вероятностями и .

Выше в этой форме при была приведена функция полезности для совершенных субститутов (10.2), записанная как ожидаемое значение функции полезности. Функция полезности Кобба— Дугласа (10.3) первоначально была приведена не в этой форме, но после преобразования она приняла линейную форму с (10.4).

Если одно из состояний обязательно наступит, так что, скажем, , то есть полезность определенного потребления в состоянии 1. Аналогичным образом, если , то есть функция потребления в состоянии 2. Таким образом, выражение (10.5) представляет собой среднюю, или ожидаемую, полезность структуры потребления . По этой причине функцию полезности, имеющую форму (10.5), называют функцией ожидаемой полезности.

Говоря, что предпочтения потребителя могут быть представлены с помощью функции ожидаемой полезности, подразумевается возможность выбора функции полезности, имеющей вышеописанную аддитивную форму. Конечно, существует возможность выбрать и другую форму — любое монотонное преобразование функции ожидаемой полезности есть функция полезности, описывающая те же самые предпочтения. Но аддитивная форма представления предпочтений оказывается особенно удобной. Если предпочтения потребителя описываются функцией , то они также могут быть описаны функцией . Однако последняя форма представления предпочтений не обладает свойством ожидаемой полезности, в то время как предыдущая — обладает.

С другой стороны, функцию ожидаемой полезности можно подвергнуть монотонным преобразованиям различного рода и при этом она по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности.

Функция является положительным линейным преобразованием, если она может быть записана в форме: где . Положительное линейное преобразование означает просто умножение на положительное число и прибавление константы. Оказывается, если подвергнуть функцию ожидаемой полезности положительному линейному преобразованию, то полученная в результате этого функция не только будет представлять те же самые предпочтения (что очевидно, поскольку линейное преобразование — не что иное, как особый вид монотонного преобразования), но и по-прежнему будет обладать свойством ожидаемой полезности.

Функция ожидаемой полезности определяется с точностью до монотонного преобразования. Это означает, что к ней можно применить линейное преобразование и получить другую функцию ожидаемой полезности, представляющую те же самые предпочтения. Однако преобразование любого другого рода разрушит свойство ожидаемой полезности.

То, что в качестве исходов случайного выбора выступают варианты потребления при различных обстоятельствах, означает, что, в конечном счете, лишь один из этих исходов будет иметь место в действительности. Сам способ постановки задачи выбора подразумевает, что реально наступит только один из возможных исходов и, следовательно, фактически будет реализован лишь один из обусловленных планов потребления.

При выборе в условиях неопределенности при различных исходах существует естественная «независимость» потребления, так как соответствующие варианты потребления реализуются раздельно - при разных состояниях природы. Выбор, планируемый экономическими агентами при одном состоянии природы, должен быть независим от вариантов выбора, планируемых ими для других состояний природы. Эта предпосылка известна как предпосылка о независимости. Из нее вытекает специфическая структура функции полезности для обусловленного потребления: аддитивность по различным наборам обусловленного потребления.

Иными словами, если и представляют собой потребление при различных исходах, а и - это вероятности наступления указанных трех различных исходов, то при соблюдении предпосылки о независимости функция полезности должна принять вид (10.6).

(10.6)

Функция ожидаемой полезности удовлетворяет тому свойству, что предельная норма замещения одного из двух товаров на другой не зависит от того, сколько у нас имеется третьего товара. Предельная норма замещения, скажем, товара 2 товаром 1 (MRS₁₂) принимает вид (10.7).

(10.7)

Эта предельная норма замещения зависит только от имеющегося количества товаров 1 и 2, и не зависит от имеющегося количества товара 3.