Кривые безразличия, их свойства и виды

Вышеназванные аксиомы (1-6) позволяют описать потребительские предпочтения с помощью непрерывной функции полезности, так как ставят в соответствие каждому набору «А» некоторое значение полезности U (А). Таким образом,"U(A)>U(B)" это то же самое, что " А>В". Кривые безразличия тогда представлены линией, на которой все наборы Х характеризуются тем, что U(X)= const.

Какие именно значения полезности присваиваются каждой кривой безразличия, не играет роли; необходимо только, чтобы более предпочтительному набору благ соответствовало большее число. Следовательно, мы рассматриваем порядковую функцию полезности U, которая позволяет осуществлять монотонные преобразования.

Как правило, любое положительное преобразование является монотонной трансформацией. Например: умножение функции полезности на положительное число; сложение;прибавление (вычитание) постоянной; возведение в нечетную степень для всех значений функции полезности и возведение в четную степень для положительных значений функции полезности; логарифмирование, извлечение корня и т.д.

В результате подобных преобразований новая функции полезности будет представлять те же предпочтения, что и исходная функция полезности.

Сделанные выше предположения о свойствах предпочтений становятся свойствами функции полезности, описывающей эти предпочтения.

Аксиома ненасыщения (4) определяет следующие свойства функции полезности:

1. полезность должна расти и по товару X, и по товару Y',

2. кривые безразличия, выступающие как линии уровня функции полезности, имеют отрицательный наклон.

(Аксиома выпуклости кривой безразличия к началу координат (6) при увязывании с функцией полезности, сначала требует рассмотрения третьего и четвертого свойства функции полезности).

3. Предельная полезность (MUх), характеризующая изменение полезности при малом изменении потребления одного блага: MUх (Х_o)= dU/ dX в точке Х_о, является важной характеристикой функции полезности. Но MUх - есть первая производная функции полезности, поэтому она характеризует наклон непрерывной функции U в данной точке. Убывание MUх выражает неизменность полезности при малом изменении потребления блага X. Из этого следует, что, при росте потребления Х и при неизменном потреблении Y полезность растет убывающим темпом.

4. При движении вдоль кривой безразличия предельная норма замещения благом Х блага Y (MRSxy), выражающая наклон кривой безразличия, взятый с обратным знаком, равна отношению предельных полезностей двух благ MRSxy =-dY/dX= MUх/MUy. Таким образом, с помощью функции полезности можно измерить MRSxy, которая выражает субъективную предельную готовность индивида заплатить за дополнительную единицу блага Х некоторым количеством блага Y, если считать данное количество блага Y, отдаваемое за одну дополнительную единицу блага X, реальной мерой полезности, получаемой от блага X. (Примем следующий порядок в обозначениях: в MRSxy на первом месте пишем значок того блага, которым заменяем, т.е. Х, а на втором –то благо, от которого отказывается, т.еY).

5. Рассмотрение третьего и четвертого свойства функции полезности позволяет объяснить выпуклость кривых безразличия к началу координат убыванием предельной полезности блага Х (MU х) при росте предельной полезности блага Y (MUy) по мере замены потребления товара Y на товар Х.

Виды кривых безразличия

1. Кривые безразличия нормального (традиционного) вида (рис.2.3).

Кривые безразличия нормального (традиционного) вида могут быть представлены функцией полезности Кобба-Дугласа U(X, Y)= (X^a, Y^b),где Х и Y – количество товаров, a и b– положительные параметры.

Пример. Картофель и мясо; одежда и продукты питания и т.п.

Предельная норма замещения в точке оптимального выбора равна отношению предельной полезности блага Х предельной к полезности блага Y, т.е. MRS_xy=МU_x/MU_y. Предельная полезность товара является частной производной функции полезности по отношению к объему данного блага , поэтому предельная полезность по благу Х будет:

МU_x=dU/ dX= aX^a-1 Y^b ,

а по благу Y:

МU_y=dU/ dY= bX^aY^b-1, т.е. MRS_xy = МUx/MUy= aY/bX,

Предпочтения нормального вида являются гомотетичными, т.е. предельная норма замещения зависит только от соотношения благ в наборе (aY/bX), а не от абсолютной величины объемов благ. Если потребитель предпочитает набор (X₁, Y₁) набору (X₂,Y₂;), то дня любого а> 0 он предпочтет набор (аX₁, аY₁) набору (аХ₂, аY₂). Поэтому кривые безразличия как бы параллельны друг другу, и это дает возможность на основании исследования одной кривой делать вывод о поведении потребителя в целом.

Для гомотетичных функций полезности MRS_xy одинакова в каждой точке вдоль проходящего через начало координат луча с положительным наклоном, т.е. все кривые безразличия имеют в точке пересечения с таким лучом одинаковый наклон.

2. Кривые безразличия для взаимозаменяемых товаров (совершенных субститутов).

Функцию полезности для совершенных субститутов можно записать как U(X,Y)=aX+bY, где а > 0 и b>0 , параметры.MRS_xy = k, где k – константа. Если одна единица блага меняется на единицу другого блага, то MRS_xy =1(рис.2.4).

Примеры: кока-кола и сок, мороженое и пирожное, молоко и кефир и т.д.

Угол наклона кривых безразличия не всегда равен -1. Он зависит от степени заменяемости благ. Например, набор благ, состоящий из пакета кефира и двух йогуртов, дает угол наклона -1/2. В общем случае угол наклона определяется как -а/b.

3.Кривые безразличия для взаимодополняемых благ (совершенных комплементов).

Функцию полезности для совершенных комплементов (рис.2.5) можно представить как U(X,Y)=min{X,Y}, MRS_xy=0 если товары дополняют друг друга в потреблении, то заменить один другим невозможно)

Примеры: компьютер и программное обеспечение, видеокамера и кассета к ней, монитор и процессор, инсулин и шприц, телевизор и антенна т.п.

Угловая точка определяется как минимальное отношение параметров объемов благ, соответствующих предпочтениям потребителя. Например, если вы предпочитаете пить только одну чашечку кофе только с одной ложечкой сахара, и для вас это лучшее решение, то вторая ложка сахара или вторая чашка кофе вам будут не нужны.

4. Кривые безразличия для независимых (безразличных) благ, или строгое предпочтение (рис.2.6).

Функцию полезности для набора (X,Y) c предпочитаемым благом Х и с безразличным благом Y можно представить в виде U(X, Y)= U(Y), U(X)=0

Пример. Сок и спиртные напитки, если потребитель любит сок и никогда не пьет ничего спиртного.

5. Благо и антиблаго

Функцию полезности для набора (X.Y) с благом Х можно и антиблагом Y можно представить в виде U(X,Y)=aX-bY, где X- благо, Y- антиблаго; а > 0 и b>0 , параметры.

Кривые безразличия для наборов, включающих благо и антиблаго, имеют положительный наклон (рис. 2.7). Потеря полезности от увеличения потребления антиблага Y должна компенсироваться приростом полезности от увеличения потребления блага Х . Большая полезность соответствует тем кривым безразличия, которые расположены ближе к оси ОХ, т.е. U₃>U₂>U₁>U₀ (меньше антиблага Y при том же количестве блага Х), Графически определить, благом или антиблагом является товар, можно, лишь обозначив направление изменения совокупной полезности. На рис. 1.7. полезность потребителя возрастает при увеличении объема блага Х и сокращении объема блага Y (см. направление стрелок на графике).

Поскольку предельная полезность антиблага отрицательна, то предельная норма замены также будет отрицательной. MRS_xy<0,

Итак, увеличение объема антиблага в товарном наборе потребителя не приведет к изменению совокупной полезности набора только в том случае, если объем блага возрастет еще больше, чтобы компенсировать отрицательную полезность антиблага.

6. Несовместимые товары

Эти товары лучше не потреблять вместе (рис.2.8). Пример: молоко и свежие огурцы, коньяк и селедка и т.д.

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде U(X,Y)=X²+Y²

7. Квазилинейные предпочтения.

Функцию полезности для набора (X.Y)можно представить как U(X, Y)= V(X)+ Y , где V(X) – нелинейная часть функции полезности, Y -линейная часть функции полезности (рис.2.9)

При квазилинейных предпочтениях каждая кривая безразличия фактически есть вертикально смещенный вариант одной и той же кривой безразличия. Квазилинейная, или «частично линейная» функция полезности линейная по Y, но, возможно, нелинейная по X. Линейная часть представляет собой товар, потребляемый в относительно больших количествах в сравнении с нелинейным товаром, потребление которого практически не изменяется или изменяется сравнительно незначительно при росте второго товара.

Пример. Одного маркера хватает на подготовку большого количества слайдов для проектора.

8. Лексикографические предпочтения

Особенность лексикографических предпочтений - в невозможности быть представленными непрерывными кривыми безразличия (2.10).

Это ранжирование предпочтений названо лексикографическим из-за сходства с порядком слов в словаре: буква А всегда предшествует букве Б. Но если оба слова начинаются с А, то они располагаются уже с учетом того, какая буква следует за А. Здесь же в роли букв выступают товары.

Для лексикографических предпочтений предельная норма замещения не определяется, поскольку из-за особенностей построения наборов благ данного вида невозможно вывести функцию полезности и рассчитать предельные полезности товаров.

Пример. Вы предпочитаете набор, в котором есть скатерть, независимо от того, есть ли в нем салфетки. Но если в набор входит и скатерть и салфетки, то он будет предпочитаться, только если будет включать больше салфеток. Опишем то же самое ранжирование предпочтений более формализовано. Пусть потребительский набор состоит из двух товаров - Х и Y. Тогда предпочтения потребителя таковы, что если имеется два набора A=(Х₁,Y₁) и B=(X₂,Y₂) , то:

а) Х₁>Х₂ ,подразумевает, что А f В,

б) X₁ =Х_2: и Y₁ > Y₂ подразумевают, что А f В.

Потребитель всегда предпочитает набор, в котором больше Х, независимо от количества Y; и только если оба набора содержат одинаковое количество Х, количество Y приобретает значение 1. На рис. 2.10. наборы, принадлежащие области V, включая и наборы, обозначенные точками на жирной линии выше набора А, предпочитаются А, поскольку наборы справа от А содержат больше товара X, а наборы на указанной линии содержат столько же Х и больше Y. В области W, включая тонкую линию вниз от А, располагаются наборы, которым предпочитается набор А (поскольку наборы слева от А содержат меньше X, а наборы на тонкой линии - столько же X, но меньше Y). Но если все наборы области V предпочитаются набору А, а набор А предпочитается всем наборам области W, то не может существовать наборов, между которыми и набором А потребитель не делает различия. Это означает, что множество "безразличных" потребителю наборов представлено единственным набором А. Данное рассуждение поясняет нам, почему лексикографические предпочтения не могут быть описаны непрерывными кривыми безразличия.

9. Дискретные (неделимые) блага

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде:

U= f(X,Y) , X N (рис. 2.11).

Пример. Домашний кинотеатр и все остальные товары.

10.Набор с точкой насыщения

Функцию полезности для набора (X.Y) можно представить в виде

U=Z- (Х- Х)²+(Y- Y)², где Х и Y – потребляемые товары, Х и Y – точки насыщения, т.е. объемы благ Х и Y, которые насыщают потребителя. Z –максимальная полезность набора насыщения (рис.2.12).

Пример. Если потребителю для «полного счастья» необходимо выпить ровно 1л кока колы и съесть 5 пирожных.

Бюджетные ограничения

Бюджетное ограничение представляет собой совокупность всех товарных наборов, доступных потребителю при данных доходе и ценах (рис.2.13).

Мы предполагаем, что потребитель свой доход М полностью тратит на покупку блага Х по цене Рх и блага Y по цене Рy.

Бюджетное ограничение:

М= РхХ+ РyY. (2.1)

Таким образом, бюджетная линия, представляет собой прямую линию, т.е. мы рассматриваем ограничения, соответствующие постоянным относительным ценам двух товаров.

Решив равнение (2.1) относительно Х и Y, получим:

Y =М/ Рy - (Рy/Рх) Х(2.2),

где Рy / Px - наклон бюджетной линии, его величина показывает норму замещения товаров при условии, что сумма затраченных денег остается неизменной.

Х=М/ Рх - (Рх/Рy)Y (2.3)

Бюджетная линия показывает различные комбинации двух продуктов, которые могут быть приобретены при фиксированной величине денежного дохода и сложившихся ценах на товары.

Наклон бюджетной линии отражает пропорцию, в которой потребитель сможет заменить один товар другим. Наклон бюджетной линии равен относительной стоимости двух товаров, т.е. цены одного из них по отношению к цене другого. Это означает, например, что если единица Q₁ стоит 10 р., а единица Q₂ — 20 р., то при перемещении влево по бюджетной линии потребитель должен отказаться от приобретения двух единиц продукта Q₁ по 10 р. каждая, чтобы получить в свое распоряжение 20р., необходимых для покупки одной единицы продукта Q₂.

Пример. Предположим, что доход М = 12. Цена товара Рх= 4, цена товара Р_Y = 3 (рис. 2). Подставим эти значения в бюджетное ограничение (1). Если Y = 0, т.е. весь доход тратим на товар X, то X =M/Р_X=12/4=3. Если X = 0, то Y =M/P_Y =12/3=4.

Свойства бюджетной линии:

1. Изменение дохода.

При росте дохода (M) линия бюджетного ограничения пройдет правее. Если, например, доход вырос в 2 раза, то линия бюджетного ограничения будет лежать в 2 раза правее. Сокращение денежного дохода перемещает линию бюджетного ограничения влево параллельно самой себе. Направление сдвига бюджетной линии при изменении дохода зависит от характера потребляемого блага. Если благо нормальное, т.е. растет с ростом дохода, то бюджетная линия с ростом дохода, смещается вверх. Если благо – инфериорное (низкокачественное), то его потребление с ростом дохода сокращается и бюджетная линия смещается вниз (рис.2.14).

Изменение цены.

Изменение цены одного товара при неизменной цене другого, приводит к движению бюджетной линии против (или по) часовой стрелки, если цена товара X падает (растет), т.е. потребитель сможет данного блага купить больше (меньше) (рис. 2.15).

Если пропорционально снижаются (растут) цены на оба продукта, то это приводит к смещению линии бюджетного ограничения вправо (влево).

В реальной жизни возникают ситуации, которые могут быть представлены ломаными бюджетными линиями. Это происходит из-за изменения в какой-то момент времени альтернативной стоимости одного из двух товаров, выраженной в единицах другого товара.

Государство, осуществляя экономическую политику повышения уровня жизни населения, может воздействия на доход потребителя (т.е. фактически на его бюджетное ограничение).

Например, если потребление одного товара нормируется, то часть бюджетного множества, выходящая за рамки того количества, которое было нормировано, отсекается. Потребитель может приобрести благо Х только в объеме Х₁. Тогда бюджетная линия приобретает вид, изображенный на рис. 2.16 а.

Правительство может для поддержания наиболее бедных слоев населения осуществить программу повышения их благосостояния путем введения продовольственных талонов, которые позволяют по льготным ценам приобретать продовольствие. Фактически программа продовольственных талонов представляет собой долевую субсидию.

Например, в США в 1979г. действовала программа, по которой семья, по уровню своего дохода претендующая на поддержку со стороны правительства могла приобрести на 25 долларов талонов, которые позволяли ей фактически купить товаров на 153 доллара. Это составляет субсидию на покупку продовольствия примерно на 84%. Таким образом, наклон бюджетной линии при субсидии будет более пологим, чем при ее отсутствии, Поэтому бюджетная линия будет иметь излом в точке окончания действия субсидии (рис.2.16 б).

В России существуют льготные категории граждан, которые могут получать некоторые виды лекарств за 50% их стоимости или совсем бесплатно. (В качестве самостоятельного упражнения проиллюстрируйте, какую форму в этом случае будут иметь бюджетные множества).

Может возникнуть ситуация, когда до определенного уровня потребитель имеет возможность потреблять товар X по цене Р_X1 до определенного уровня (X₁ на рис. 2.17.). Наклон бюджетной линии на этом участке составляет -Р_X/P_Y.

Дальнейшее увеличение потребления (сверх Х₁) возможно лишь при уплате налога t за каждую дополнительную единицу блага Х. В этом случае бюджетное ограничение потребителя будет иметь вид ломаной линии (рис. 2). Наклон бюджетной линии справа от Х₁ составит теперь – (Р_X+ t)/P_Y. (рис.2.17 )

Потребительский выбор

Базовая модель потребительского выбора сводится к максимизации полезности, т.е. к выбору лучшего набора из (возможных) при данном бюджетном ограничении.

Мы исходим из того, что потребители делают выбор рационально, т.е. так, чтобы достичь максимального удовлетворения своих потребностей при заданном ограниченном бюджете. Оптимальный потребительский набор должен отвечать двум требованиям:

1) находиться на бюджетной линии, т.е. быть в пределах имеющегося дхода);

2) предоставить потребителю наибольшее удовлетворение (т.е. наиболее предпочтительное сочетание товаров и услуг) — находиться на самой высокой из доступных кривых безразличия.

На рис. 2.18 кривые безразличия дают описание предпочтений человека относительно продуктов питания и одежды. Кривая безразличия U₃ (самая крайняя) дает наибольшее удовлетворение.

Точка D на кривой безразличия U₁ не является наиболее предпочтительным выбором, так как перераспределение дохода, при котором больше тратится на продовольствие и меньше на одежду, может увеличить степень удовлетворения потребностей.

Двигаясь к точке Е, потребитель расходует то же количество денег, но достигает более высокого уровня удовлетворения потребностей (кривая безразличия U₂ > .U₁).

Набор потребительских благ (товаров или услуг), лежащий справа и выше кривой безразличия, например, в точке С на кривой безразличия U₃, обеспечивает еще более высокий уровень удовлетворения потребностей. Но он не может быть достигнут при имеющемся доходе. Таким образом, именно в точке Е достигается максимальное удовлетворение потребностей потребителя.

Набор, который обеспечивает максимальное удовлетворение потребностей, должен находиться в точке касания самой высокой кривой безразличия и бюджетной линии (т. Е на рис. 2.18).

В точке оптимального выбора потребителя наклон бюджетной линии равен наклону кривой безразличия, так как бюджетная линия является касательной к кривой безразличия, и максимальное удовлетворение потребностей (при заданном бюджетном ограничении) достигается в точке, где MRS_XY = Р_X/Р_Y.

Данное выражение показывает, что удовлетворение потребностей максимизируется, когда предельная норма замещения MRS_XY (благом X заменяется благо Y) равна соотношению цен благ (Р_X/ Р_Y).

Итак, главным условием оптимальности выбора потребителя является равенство предельной нормы замены (MRS_XY) и соотношения цен (Р_x/Р_y)

Можно соотнести концепцию предельной полезности с проблемой максимизации полезности.

Рассмотрим маленькое смещение вниз по кривой безразличия. Дополнительное потребление продуктов питания (обозначаемого DX) даст дополнительную или предельную полезность МU_x для каждой единицы. Это приводит к общему росту полезности МU_x х DX. В то же время потеря потребления одежды (обозначим ее DY) снизит полезность на единицу (на МU_y), приводя к общей потере МU_y х DY_.

Поскольку все точки на кривой безразличия обеспечивают одинаковый уровень полезности, увеличение в потреблении продуктов питания (набор X) должно уравновесить уменьшенное потребление одежды (набора Y)_, поэтому,

MU_x*ΔX + MU_y*ΔY = 0 (2.4)

Из выражения 2.4. получим:

MU_x=MU_{y *} ΔY/ΔX, (2.5)

или

MU_x/MU_y = - ΔY/ ΔX, (2.6)

Но так как – ΔY/ΔX есть предельная норма замещения Y на X, то MRS =MU_x/MU_y, т.е. предельная норма замещения МRS является отношением предельной полезности блага X к предельной полезности блага Y. Когда потребитель жертвует все большим благом Y, чтобы получить больше блага X, предельная полезность МU_x падает, а МU_y растет. Выше мы видели, что, когда потребители максимизируют удовлетворение своих потребностей, предельная норма замещения блага X на благо Y равна соотношению цен этих благ.

При максимальном удовлетворении потребностей MRS_XY =Р_x/Р_y, а так как MRS_XY = MU_x/MU_y, то MU_x/MU_y = P_x/P_y, или правило максимизации полезности:

MU_y/P_y = MU_x/P_x(2.7)

Это выражение показывает, что максимум полезности достигается, когда бюджет распределен так, что предельная полезность одного рубля расходов одинакова для каждого товара. Этот принцип равной предельной полезности является важным принципом оптимизации в микроэкономике.

Итак, для кривых безразличия, имеющих типичную форму, оптимум потребителя достигается в точке касания наиболее высокой (из доступных) кривой безразличия и бюджетной линии (рис.2.19). В этой точке наклон кривой безразличия (MRSxy) равен наклону бюджетной линии (Рх / Ру). Экономический смысл этого условия заключается в том, что если субъективная норма замещения товара Y товаром Х (MRSxy) равна "объективной", рыночной, норме обмена Y на X индивид платит за одну единицу товара Х на рынке именно столько, сколько хочет уплатить, и потому не имеет стимула к дальнейшему обмену Y на X.

В реальной жизни потребителю приходится, осуществлять выбор из бесконечного множества благ. Модель потребительского выбора может использоваться и в этой ситуации. Для этого выбирается конкретное благо Х, а Y выступает в роли композитного блага, представляющнго набор из всех других товаров. Его можно рассматривать как часть дохода потребителя, которая останется у него после покупки блага X. В качестве допущения цену единицы композитного блага считают равной 1. Тогда, если доход потребителя составляет M, наклон бюджетной линии будет равен – Рх (см. рис. 2.19)

Для поиска оптимального выбора потребителя максимизирующего его полезность используется метод Лагранжа. Запишем вспомогательную функцию Лагранжа ( Лагранжиан):

Z = U(X, Y) - l(P_x*X + P_y*Y – M),

l - множитель Лагранжа (на нее умножается ограничение).

Находим первых производных Лагранжиана по X, Y и l и приравниваем их к нулю,:

¶Z / ¶X = ( U (X’,Y’) / ¶X ) - l P_x = 0 (2.8)

¶Z / ¶Y = ( U (X’,Y’) / ¶Y ) - l P_y = 0 (2.9)

¶Z / ¶l = P_x*X + P_y*Y – M = 0 (2.10)

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными даст возможность определить значения X' и Y’, (определяющие точку оптимального выбора потребителя), выраженные через Р_x, Р_у и I. (Рассмотренные уравнения справедливы только для внутренних максимумов - точек, в которых покупается некоторое положительное количество каждого блага).

Экономический смысл l (множителя Лагранжа):

Выразим из первых двух уравнений l и приравняем его значения

l = ¶U (X’,Y’) / ¶ X *P_x = ¶U (X’,Y’) / ¶ Y *P_y), (2.11)

но так как:

¶U (X’,Y’) / ¶ X = MU_x, а ¶U (X’,Y’) / ¶ Y = MU_y, то отсюда

l = MU_x / P_x = MU_y,/ P_y., (2.12)

Таким образом, _,в точке максимизации полезности каждый рубль, дополнительно затрачиваемый на покупку каждого блага, должен приносить одинаковую дополнительную полезность. Множитель Лагранжа и представляет собой величину этой добавочной полезности на единицу добавочных затрат. Поэтому l можно считать предельной полезностью рубля, дополнительно затрачиваемого на потребление, или "предельной полезностью дохода".

Поскольку числитель l представляет собой предельную полезность единицы блага (X или Y), а знаменатель - предельные издержки, связанные с покупкой этой дополнительной единицы блага, то множитель Лагранжа выступает и как коэффициент "затраты-результат". И в точке оптимального выбора потребителя он одинаков для всех благ, входящих в данный набор.

Множитель Лагранжа показывает, как общее ослабление бюджетного ограничения может повлиять на значение функции полезности U. Высокий коэффициент l свидетельствует о возможности значительного увеличения полезности при ослаблении бюджетного ограничения. Низкий коэффициент l , свидетельствует о незначительном выигрыше в полезности от ослабления бюджетного ограничения. Если l = 0, то это говорит о том, что бюджетное ограничение не является "связывающим".

Условие касания кривой безразличия и бюджетной линии является необходимым и достаточным для существования так называемого внутреннего оптимума. При других формах кривых безразличия это условие может не соблюдаться или из-за неопределенности или множественности касаний (рис. 2.20 и 2.21), или из-за отсутствия касания как такового (рис. 2.22). Но в точке любого оптимума (внутреннего ли, краевого ли), всегда выполняется условие не пересечения кривой безразличия бюджетной линии.

В случае краевого оптимума потребитель полностью отказывается от потребления одного из благ. Такая ситуация может иметь место при нетипичных предпочтениях.

На рис. 2.22 представлен краевой оптимум для благ, легко заменяющих друг друга. MRSxy при замене блага Y благом Х убывает. Но равенство этих наклонов не достигается из-за того, что наклон кривых безразличия меньше, чем наклон бюджетной линии.

Ситуация выбора из двух совершенных субститутов (если их цены различны - рис.2.23, и если цены совпадают – рис.2.24) и несовместимых благ, у которых MRSxy растет (рис.2.25), также представлена краевым оптимумом

Краевой оптимум может возникнуть и в случае дискретных предпочтений (рис. 2.26), и в случае безразличных благ (рис. 2.27) и антиблаг.

Для краевых решений, при которых потребление одного из товаров равно нулю, условия первого порядка в функции Лагранжа несколько меняются :

¶Z / ¶X = ¶U / ¶X - lP_x £ 0; (2.13)

¶Z / ¶Y = ¶U / ¶Y - lP_y £ 0, (2.14)

и если

¶Z / ¶X = ¶U / ¶X - lP_x < 0, (2.15)

то X = 0.

Можно записать уравнение (2.15) как

P_x > (¶U / ¶X) / l (2.16)

Таким образом, любой товар (в данном случае, X), цена которого превышает его предельную ценность для потребителя (MU_x / l), не будет приобретен (Х = 0). Потребитель не станет покупать те товары, которые, с его точки зрения, не стоят запрашиваемой за них цены.

При квазилинейных предпочтениях потребитель будет выбирать одно и то же количество блага Y независимо от цен на благо Х (рис.2.28).

Пример. Выбор налога

Теорию потребительского выбора, можно применять при анализе ситуации, в которой надо определить, какой вид налогов следует использовать правительству для решения определенных проблем. Можно ввести налог на объем продаж, то есть налог на потребление товара, например, налог на бензин по ставке t; или подоходный налог, т.е. налог на доход. При сопоставлении подоходного налога и налога на объем продаж следует иметь в виду, что доход от введения налогов должен быть одинаков. Чтобы решить, использование какого налога более выгодно, проанализируем последствия введения каждого из налогов.

Сначала рассмотрим последствия введения налога на объем продаж. Пусть исходное бюджетное ограничение (1) имеет вид:

P_XX+P_YY=M (2.16)

и исходный выбор представлен точкой А₀ с координатами (Х₀,Y₀)

Если ввести налог на потребление товара Х в размере t с каждой единицы продукции, то результат будет таким же, как если бы цена товара Х выросла на величину t. Таким образом, новое бюджетное ограничение (2) можно записать в виде:

(P_X + t)X+P_YY=M (2.17)

Следовательно, налог на объем продаж повышает цену для потребителя и влияет на его спрос на данное благо. Оптимальный выбор, включающий в себя набор благ (Х*,Y*), удовлетворяющий бюджетному ограничению: (P_X + t)X*+P_YY*=M (2.18)

будет достигнут в точке А₁ (рис.2.29.). Полученный в результате введения этого налога доход, составит: R* = tХ*. Если ввести подоходный налог, который будет приносить такую же сумму дохода, то бюджетное ограничение примет вид:

P_XX+P_YY=M - R* (2.19)

Подставив в (.2.19) выражение для R*, получим:

P_XX+P_YY= M - tX * (2.20)

Данная бюджетная линия (3) имеет тот же наклон —P_X/P_Y что и исходная бюджетная линия (1), но в случае введения подоходного налога должна пройти через точку А₁ с координатами (Х*,Y*) (рис.2.29). Подставим (Х*,Y*) в бюджетное ограничение (2.20) и увидим, что выражение:

P_XX*+P_YY*= M - tX * (2.21)

является результатом преобразования уравнения (2.20).

Таким образом, мы установили, что точка А₁ с набором благ (Х*,Y*) принадлежит бюджетной линии (3) для случая подоходного налога, т.е. данный набор доступен для потребителя,. В точке А₁ MRS равна —(P_X+t)/P_Y. Но при подоходном налоге мы можем обменивать товары в пропорции — P_X/P_Y. Таким образом, бюджетная линия (3) в точке А₁ пересекает кривую безразличия U₃, а это значит, что при введении подоходного налога набор, представленный точкой А₁, не является для потребителя оптимальным выбором. Поэтому должна существовать на бюджетной линии (3) некоторая точка А₂, в которой данная бюджетная линия будет являться касательной к более высокой кривой безразличия U₃ и набор благ (Х₁*,Y₁*) будет предпочтительнее набора (Х*,Y*), т.е. благосостояние потребителя повысится.

В нашем примере подоходный налог предпочтительнее налога на объем продаж, поскольку позволяет получить от потребителя ту же сумму дохода, сохранив при этом более высокий уровень его благосостояния.

Данная модель рассматривает действие налогов на отдельного потребителя. В реальной же действительности потребители ведут себя по-разному, т.к. некоторые из них, которые мало или совсем не потребляют данное благо, скорее всего, предпочли бы введение налога с продаж. Кроме того, введение налога на доход может значительно ослабить стимулы к труду, что может привести к большему снижению дохода, чем от изъятия налога и т.д. Тем не менее наши рассуждения при определенных условиях могут дать достаточно достоверный результат и способствовать выбору различных способов воздействия на благосостояние потребителей.