Тема 2. «Проверка статистических гипотез»
Задача 8. С вероятностью 0,95 проверить гипотезу о том, что генеральная
совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена по
нормальному (Гауссову) закону распределения случайной величины.
Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности,
которой принадлежит исследуемая выборка, с доверительной вероятностью
γ проверяется с помощью 
- критерия согласия Пирсона (критерия хи –
квадрат). Приведем алгоритм проверки гипотезы с помощью этого критерия.
Сравниваем полигон частот выборочной совокупности с
Графиком функции плотности
идеального нормального распределения (рисунок 7). Если они похожи, то переходим к следующему пункту алгоритма. В противном случае утверждаем, что с помощью имеющейся совокупности проверить гипотезу невозможно.
Сравниваем кумулятивную кривую с графиком интегральной функции
идеального нормального распределения (рисунок 8). Выводы аналогичны пункту 1 алгоритма.
 |
 |
Рис. 7
 |
 |
 |
 |
| |
 |
Рис. 8По знаку асимметрии и эксцесса устанавливаем вид распределения (см. таблицу 9).
Таблица 9
| as es | <0 | >0 | |
| Правостороннее | Левостороннее | ||
| <0 | Туповершинное | правостороннее туповершинное | левостороннее туповершинное |
| >0 | Островершинное | правостороннее островершинное | левостороннее островершинное |
4. По величине асимметрии и эксцесса устанавливаем тип распределения:
а) если as = es =0 – идеальное нормальное распределение;
б) если |as|<0,1,|es|<1 - нормальное распределение;
в) если |as|<0,5, |es|<0,5 – распределение, близкое к нормальному;
г) если |as|<1, |es|<1 – распределение нормального типа.
5. Производим частот теоретических частот 
каждого из интервалов группировки (α;β), рассчитанных в предположении, что выборочная совокупность распределена по нормальному закону распределения:
,
, 
,
где 
- функция Лапласа, значения которой приведены в таблице 1 Приложения. Заметим, что функция Лапласа – нечетная, то есть 
.
6. Чтобы убедиться, что теоретические частоты адекватно описывают эмпирические данные, на одном чертеже строим кривую нормального распределения 
и полигон частот.
7. Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:
.
8. С вероятностью γ выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит выборка. Для этого по таблице 2 Приложения критических значений критерия Пирсона определяем критическое значение
, α = 1-γ, ν = k -3,
k – число интервалов группировки. Выводы производятся на основании следующего утверждения: если
,
То гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, принимается с указанной вероятностью. В противном случае гипотеза отвергается с той же вероятностью.
Сравнивая рисунки 4 и 7, делаем вывод об их похожести.
Сравнивая рисунки 6 и 8, делаем вывод об их похожести.
Согласно задаче 4 (или 5)
, 
,
следовательно (см. таблицу 9) рассматриваемое распределение является левосторонним островершинным.
Так как одновременно
, 
,
то наше распределение имеет нормальный тип.
Используем результаты решения задач 4 и 5:
n = 100, 
, 
.
Тогда, теоретические частоты рассчитываются так:
,
, 
.
Находим их в расчетной таблице:
| (α;β) |  |  |  |  |  |  | |
| (18;19) | 18,5 | -1,63 | -0,8969 | -2,29 | -0,9780 | 4,055 | |
| (19;20) | 19,5 | -0,97 | -0,6679 | -1,63 | -0,8969 | 11,450 | |
| (20;21) | 20,5 | -0,30 | -0,2358 | -0,97 | -0,6679 | 21,605 | |
| (21;22) | 21,5 | 0,36 | 0,2812 | -0,30 | -0,2358 | 25,850 | |
| (22;23) | 22,5 | 1,02 | 0,6923 | 0,36 | 0,2812 | 20,555 | |
| (23;24) | 23,5 | 1,68 | 0,9070 | 1,02 | 0,6923 | 10,735 | |
| (24;25) | 24,5 | 2,35 | 0,9812 | 1,68 | 0,9070 | 3,710 | |
| (25;26) | 25,5 | 3,01 | 0,9974 | 2,35 | 0,9812 | 0,810 |
На одном графике (рисунок 9) строим кривую теоретических частот (сплошная линия) и полигон частот (пунктирная линия).
Рис. 9
Сравнение графиков наглядно показывает, что найденные результаты расчетов адекватно описывают эмпирические данные.
Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Расчеты производим в таблице:
| | | |  |  |  |
| 18,5 | 4,055 | -1,055 | 1,113025 | 0,3710 | |
| 19,5 | 11,450 | -0,450 | 0,202500 | 0,0184 | |
| 20,5 | 21,605 | 5,395 | 29,106025 | 1,0780 | |
| 21,5 | 25,850 | 2,150 | 4,622500 | 0,1651 | |
| 22,5 | 20,555 | -1,555 | 2,418025 | 0,1273 | |
| 23,5 | 10,735 | -5,735 | 32,890225 | 6,5780 | |
| 24,5 | 3,710 | -0,710 | 0,504100 | 0,1680 | |
| 25,5 | 0,810 | 3,190 | 10,176100 | 2,5440 | |
 | - | - | - | - | 11,0499 |
Итак,
.
Доверительная вероятность γ = 0,95, отсюда уровень значимости
α = 1-0,95 = 0,05. Число интервалов группировки k = 8, тогда ν = 8 -3 = 5. Отсюда, критическое значение согласно таблице 2 Приложения равно
.
Так как
11,0499<11,1,
то гипотеза о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена нормально, принимается с вероятностью 0,95.
|