Медианой группированного статистического ряда называется
величина х, делящая вариационный ряд значений признака (то
Есть расположенных в порядке неубывания) на две равные по
числу элементов части. Интервал с нижней границей , длиной
и частотой
- медианный (содержит медиану), если для него
Первый раз, начиная от первого интервала, величина разности
между полусуммой частот и накопленной частотой
становится
отрицательным числом. Если - накопленная частота
интервала, предшествующего медианному, то медиана равна:
.
Квартили, децили и перцентили делят выборочную
Совокупность на 4, 10 и 100 равных по числу элементов частей.
Различают верхние и нижние такие параметры. Их расчет и поиск
интервала, их содержащих, аналогичен нахождению медианы:
- нижний параметр;
- верхний параметр, р равно 0,25 (квартиль), 0,1 (дециль), 0,01 (перцентиль).
Рис. 6
Составляем расчетную таблицу. В ней выделяем первые отрицательные разности и по ним смотрим интервалы, содержащие искомые параметры. Также выделяем максимальную частоту, которой соответствует модальный интервал. Напомним, что в рассматриваемой задаче объем выборки равен 100, а длина каждого интервала группировки равна1.
(α;β) | х | ![]() | ![]() | 50- ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
25- ![]() | 75- ![]() | 10- ![]() | 90- ![]() | 1- ![]() | 99- ![]() | |||||
(18;19) | 18,5 | -2 | ||||||||
(19;20) | 19,5 | -4 | -13 | |||||||
(20;21) | 20,5 | -16 | -31 | -40 | ||||||
(21;22) | 21,5 | -19 | -44 | -59 | -68 | |||||
(22;23) | 22,5 | -38 | -63 | -13 | -78 | -87 | ||||
(23;24) | 23,5 | -43 | -68 | -18 | -83 | -3 | -92 | |||
(24;25) | 24, | -46 | -71 | -21 | -86 | -6 | -95 | |||
(25;26) | 25,5 | -50 | -75 | -25 | -90 | -10 | -99 | -1 |
Получаем:
(мм);
(мм);
(мм),
(мм);
(мм),
(мм);
(мм),
(мм).
Делаем выводы.
1. Наиболее часто встречающийся диаметр детали в выборочной совокупности составляет 21,1 мм.
2. В интервале (18;21,32) находится 50% деталей с минимальной величиной диаметра, а в интервале (23,32;26) – 50% деталей с максимальной величиной диаметра.
3. В интервалах (18;20,41), (18;19,64), (18;18,33) находятся соответственно 25%, 10% и 1% деталей с минимальным значением признака, а такая же доля деталей с максимальным значением признака принадлежит интервалам (22,32;26), (23,4;26), (25,75;26).
Задача 4.Для выборки из задачи 1 найти среднее значение и
показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию,
расчет которой произвести двумя способами, то есть по определению и
по формуле разностей, среднее квадратическое отклонение,
коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).
Согласно соответствующим определениям, имеем:
Среднее значение (средняя арифметическая)
;
Среднее линейное отклонение
;
Дисперсия, рассчитанная по определению
;
Дисперсия, рассчитанная по формуле разностей
,
Где
;
Среднее квадратическое отклонение
;
Коэффициент вариации
;
Асимметрия
;
Эксцесс
.
Среднее значение, среднее линейное отклонение и среднее
Квадратическое отклонение являются именованными величинами.
Дисперсия, асимметрия и эксцесс – неименованные величины. Если
коэффициент вариации меньше 33%, то выборочная совокупность
Явялется плотной, однородной и по ней можно делать выводы,
Осуществлять прогнозы, выдвигать гипотезы.
Расчеты удобно производить в следующей таблице:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
18,5 | 55,5 | 1026,75 | -2,96 | 8,88 | 26,2848 | -77,8030 | 230,2969 | |
19,5 | 214,5 | 4182,75 | -1,96 | 21,56 | 42,2576 | -82,8249 | 162,3368 | |
20,5 | 553,5 | 11346,75 | -0,96 | 25,92 | 24,8832 | -23,8879 | 22,9324 | |
21,5 | 602,0 | 12943,00 | 0,04 | 1,12 | 0,0448 | 0,0018 | 0,0001 | |
22,5 | 427,5 | 9618,75 | 1,04 | 19,76 | 20,5504 | 21,3274 | 22,2273 | |
23,5 | 117,5 | 2761,75 | 2,04 | 10,20 | 20,808 | 42,4483 | 86,5946 | |
24,5 | 73,5 | 1800,75 | 3,04 | 9,12 | 27,7248 | 84,2834 | 256,2215 | |
25,5 | 2601,00 | 4,04 | 16,16 | 65,2864 | 263,7571 | 1065,5785 | ||
![]() | - | 112,72 | 227,84 | 227,3472 | 1846,1880 |
Получаем:
(мм);
(мм);
;
,
;
(мм);
;
;
.
Задача 5. Для выборки из задачи 1 методом моментов найти среднее
значение дисперсию, асимметрию и эксцесс.
1. Находим шаг варьирования , то есть разность между любыми