Разложение функции в степенной ряд
Числовые ряды. Основные понятия
№ п/п | Понятие | Определение и обозначение | ||
1. | Ряд | ![]() | ||
2. | Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда | ![]() ![]() | ||
3. | Частичные суммы ряда | ![]() | ||
4. | Последовательность частичных сумм | ![]() | ||
5. | Сходящиеся ряды | ![]() ![]() ![]() | ||
6. | Расходящиеся ряды | ![]() | ||
7. | Остаток ряда | ![]() ![]() | ||
Основные свойства сходящихся рядов | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | |||
Необходимый признак сходимости ряда | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ||
Замечание: ![]() | ![]() | ![]() | ||
Числовые ряды с положительными членами
Определение ![]() ![]() | ||||||||
Некоторые ряды и их поведение | Гармонический ряд ![]() | |||||||
Обобщенный гармонический ряд ![]() ![]() ![]() | ||||||||
Ряд геометрический | ![]() ![]() | |||||||
В частности при ![]() | ![]() | |||||||
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами | ||||||||
Признаки сравнения | Интегральный признак Коши | Признак Даламбера | Признак Коши | |||||
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | |||||
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Þ | ![]() ![]() | а) ![]() ![]() | а) ![]() ![]() | ||||
2. а) ![]() | Þ | ![]() | Замечание: 1. Если ![]() ![]() ![]() | |||||
б) ![]() | Þ | ![]() | ||||||
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды ![]() ![]() | ||||||||
Знакопеременные числовые ряды
Определение | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов | 1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов | ||||
Признак абсолютной сходимости | Признак Лейбница | |||
![]() ![]() ![]() ![]() | 1) ![]() | ![]() | ||
2) ![]() | Þ | ![]() | ||
3) ![]() | ![]() | |||
Замечание: 1. В сходящемся знакочередующемся ряде ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Алгоритм исследования знакопеременного ряда ![]() | ||||
1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Функциональные ряды. Основные понятия
Понятие | Определение и обозначение | ||||
1. Функциональный ряд | ![]() | ||||
2. Члены ряда | ![]() ![]() | ||||
3. Сходимость ряда в точке ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
4. Область сходимости ряда | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
5. Последовательность частичных сумм | ![]() ![]() ![]() | ||||
6. Сумма сходящегося ряда | ![]() | ||||
7. Остаток ряда | ![]() | ||||
8. Равномерная сходимость ряда ![]() ![]() | ![]() ![]() | ||||
9. Абсолютная и равномерная сходимость ряда (признак Вейерштрасса) | 1. ![]() ![]() ![]() | Þ | ![]() ![]() | ||
Свойства равномерно сходящихся рядов | |||||
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Þ | 1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Þ | 1. ![]() ![]() ![]() | |||
Степенные ряды
Определение и обозначение | (1) ![]() |
(2) ![]() ![]() | |
Радиус сходимости. Основная теорема | Для рядов (1) и (2) ![]() ![]() ![]() |
1) ![]() ![]() | ![]() |
2) ![]() ![]() | ![]() |
Свойства степенных рядов | 1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Алгоритм определения интервала сходимости | 1.Найти ![]() ![]() ![]() ![]() |
Разложение функции в степенной ряд
Ряд Тейлора (по степеням ![]() | ![]() |
Ряд Маклорена (по степеням ![]() | ![]() |
Алгоритм разложения функции в степенной ряд. | 1. Найти все производные ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды