Как перейти от неравенства к уравнению

Переход от неравенств к уравнениям в задачах математического программирования

Все неравенства, описанные выше определяют некоторое множество значений величин х₁, х₂, х_n, которые удовлетворяют этим неравенствам. Покажем как от системы неравенств перейти к равенстам вводя дополнительные переменные.

Рассмотрим линейное неравенство:

a₁х₁+а₂х₂+…+x_nx_n b, (7)

добавим к левой части некоторую неотрицательную величину х_n+1 0 (8) Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Математика вычисление интеграла [an error occurred while processing this directive]

Неотрицательное значение переменной х_nн 0 называется дополнительной переменной.

Перепишем сформулированные выше задачи в виде условий типа равенств с введением дополнительных переменных.

Задача использования сырья

Найти максимальное значение функции Z=с₁x₁+…с_nx_n +0*x_n+m (9)

(10)

где х_n+1,… х_n+m - дополнительные положительные переменные, соответствующие им коэффициенты в целевой функции с_n+1=…c_n+m=0

53-54. Общая задача оптимизации. Постановка и различные формы записи задач линейного программирования (ЗЛП).

Опр.1Стандартной (или симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального для «≤» (минимального для «≥») значения функции при выполнении условий и , где k = m, s = n.

Канонической формой ЗЛП называется такая, в которой все ограничения представляют уравнение с неотрицательными свободными членами.

55. Определение плана, невырожденного и вырожденного опорного плана (ОП), оптимального плана.

План, соответствующий вершине допустимой области, называется опорным планом.

Заметим, что для всех полученных решений число заполненных
(отличных от нуля) клеток транспортной таблицы в точности равно числу базисных переменных задачи, т. е. 6.

Определение 4.3.Если при решении транспортной задачи число заполненных клеток транспортной таблицы равно т+п-1, где т – число производителей, п – число потребителей, то план перевозок невырожденный.

Определение 4.4. Если число заполненных клеток транспортной таблицы меньше т+п-1, то план перевозок вырожденный.

Вырожденный план перевозок получится, если на каком-то шаге одновременно удовлетворяется спрос потребителя и исчерпывается предложение соответствующего поставщика, т. е. одновременно вычеркивается строка и столбец.

Для нахождения оптимального плана перевозок необходимо уметь расценивать полученный план наоптимальность. Как это сделать, не имея в распоряжении всех возможных планов перевозок, которые можно было бы сравнить между собой? Для оценки плана на оптимальность вводится понятие косвенных затрат. Косвенные затраты — это затраты, получаемые для маршрутов, по которым не осуществляются перевозки при данном плане. Рассчитанные косвенные затраты сравниваются с реальными затратами, которые имели бы место, если бы перевозки по данным маршрутам осуществлялись. Если для всех невыбранных маршрутов косвенные затраты не больше реальных, то данный план перевозок является оптимальным. Если хотя бы для одного маршрута косвенные затраты больше реальных, то план перевозок может быть улучшен путем введения в него данного маршрута. Ввод нового маршрута в план перевозок соответствует вводу в список базисных переменных переменной транспортной задачи, соответствующей этому маршруту. Эти рассуждения лежат в основе ряда методов, применяемых для нахождения оптимального плана перевозок. Рассмотрим один из них — метод потенциалов.

Получение оптимального плана транспортной задачис использованием метода потенциалов

Шаг 1.Получение начального плана перевозок по методу "северо-западного" угла, минимального элемента, Фогеля или любым другим методом.

Шаг 3.Проверка плана на невырожденность. Если полученный план вырожденный, формально заполняют нулями некоторые из свободных клеток так, чтобы общее число занятых клеток было равно т+п-1. Нули надо расставлять так, чтобы не образовался замкнутый цикл из занятых клеток. (Определение цикла будет дано чуть ниже)

Шаг 3.Проверка плана на оптимальность.

Шаг 3.1.Определение потенциалов производителей и потребителей. Составляют систему уравнений для заполненных клеток транспортной таблицы: U_i + V_j = С_ij , где i,j – номера строк и столбцов на пересечении которых стоят заполненные клетки, U_i – потенциал i-го поставщика,
V_j – потенциал j-го потребителя, С_ij – тариф на перевозку из пункта i
в пункт j. Число уравнений в системе равно т+п-1, а число неизвестных U_i – и V_j равно т+п. Для решения данной системы одно из неизвестных выбирают произвольно. Обычно полагают U_i = 0. Решая систему уравнений, находят значения потенциалов U_i и V_j, ; .

Шаг 3.2.Определение суммы потенциалов (косвенных тарифов) для свободных клеток: C1_qp = U_q + V_p , где q и р – номера строк U столбцов, на пересечении которых стоит свободная клетка, U_q – потенциал q-гo поставщика, V_p – потенциал р-го потребителя, C1_qp – косвенные тарифы.

Шаг 3.3.Проверка на оптимальность.

Для каждой свободной клетки транспортной таблицы составляется разность между C1_qp и C_qp (косвенным и реальным тарифами) ∆ _qp =
= C1_qp – C_qp. Если все ∆ _qp ≤ 0, то полученный план оптимален. Если хотя бы для одной свободной клетки ∆ _qp > 0, то план может быть улучшен. Переход к шагу 4.

Шаг 4.Улучшение плана.

Шаг 4.1.Выбор переменной, вводимой в список базисных переменных.

Выбирают клетку, которой соответствует максимальное положительное значение разности, полученной на шаге 3.3. Если имеется несколько одинаковых значений, то из них выбирают любое.

Переменная транспортной задачи, соответствующая этой клетке, вводится в список базисных переменных, т. е. данная клетка транспортной таблицы заполняется.

Шаг 4.2.Выбор переменной, выводимой из списка базисных переменных.

Заполнение клетки, выбранной на шаге 4.1, происходит следующим образом. Строят цикл, начинающийся и заканчивающийся в выбранной свободной клетке, содержащий в качестве вершин заполненные клетки таблицы и состоящий из горизонтальных и вертикальных отрезков. При этом в каждой клетке таблицы, являющейся вершиной цикла, соединяют обязательно горизонтальный и вертикальный отрезки. В свободной клетке условно ставят знак "+", а в остальных вершинах цикла, чередуясь, ставят "-" и "+". Затем происходит перераспределение продукции по циклу. Для этого выбирают клетку со знаком "-" , которой соответствует наименьшее число единиц продукции. Это значение прибавляют к значениям, стоящим в клетках со знаком "+" , и отнимают от значений, стоящих в клетках со знаком "-" . При таком перераспределении общий баланс не изменяется. Свободная клетка заполняется. А клетка со знаком "-" , которой соответствует наименьшее количество продукции, становится свободной; соответствующую ей переменную исключают из списка базисных.

Для нового плана повторяют все действия, т. е.. переходят к шагу 3.