Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур)

Чтобы построить линию пересечения двух непроецирующих поверхностей т, нужно выполнить следующие операции:

1. Задать поверхность-посредник (напоминаем, что в этом качестве чаще всего берутпроецирующую плоскость);
2. Построить линии пересечения а и b поверхности-посредника с заданными поверхностями;
3. Найти точки пересечения построенных линий;
4. Повторять построения столько раз, сколько необходимо для того, чтобы линия пересечения поверхностей выявилась полностью;
5. Определить видимость линии пересечения m и самих поверхностей.

Следует напомнить, что:

а) Решение 2 ГПЗ необходимо начинать с анализа характера пересечения поверхностей для определения количества линий пересечения m^|;

б) Плоскость-посредник необходимо выбирать так, чтобы она пересекала обе поверхности по графически простым линиям - прямым или окружностям.

Рассмотрим алгоритм решения на пространственной модели (рис. 3-41):

Рис. 3-41

1. Ф Ç D = m; 2ГПЗ, 3 алгоритм .
2. Отмечаем очевидные точки пересечения - М и Р.
3. Вводим плоскость-посредник S (как правило - проецирующую.)
4. Ç Ф = а; S Ç D = b;
5. а Ç b = K.

1. Для построения линии m нужно найти такое количество точек, которое определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостей-посредников.
2. Определяем видимость линии пересечения m и поверхностей.

Задача: Построить линию пересечения конуса Ф со сферой D (рис. 3-42).

Алгоритм: 2ГПЗ , 3 алгоритм.

Рис. 3-42

1. Вначале определяем, что должно быть общим элементом в результате пересечения и количество общих элементов. Пересекаются две поверхности вращения второго порядка, характер пересечения - вмятие, следовательно, должна получиться одна пространственная кривая линия m. Кроме того, поверхности имеют общую плоскость симметрии (это плоскость фронтального меридиана W). Это означает, что линия пересечения симметрична относительно плоскости W, и на П₂ две её ветви должны слиться в одну видимую линию.

2. Построения начинаем с характерных точек (рис.3-43), не требующих дополнительных построений для их нахождения. К ним относятся точки М и Р, лежащие в плоскости W и принадлежащие очерковым образующим конуса и сферы на П₂ – М₂ и P₂. М₁ и Р₁ находим с помощью линии связи.

Рис. 3-43

3. Все остальные точки находим одинаково: задаём плоскость-посредник S (рис. 3-44). В её качестве выбираем горизонтальную плоскость уровня S₂. Эта плоскость пересекает конус Ф по окружности а, радиусом R₁ (от оси до очерка конуса). Проводим на П₁ эту окружность а₁ из центра конуса S₁.

Рис. 3-44

Эта же плоскость пересекает сферу D по окружности b, радиусом R₂ (от оси до очерка сферы). Проводим на П₁ эту окружность b₁ из центра О₁ сферы.

Окружности, пересекаясь, дают нам точки К₁ и К₁', принадлежащие линии пересечения m. К₂ и К₂' находим с помощью линии связи по принадлежности плоскости S.Остальные точки находим аналогично.

4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют точки А и А', лежащие в плоскости экватора с сферы (рис. 3-45). На П₁ они принадлежат окружности с₁. Все точки, расположенные ниже А₂ и А₂', на П₁ будут невидимыми, в том числе и точки Р₁, К₁ и К₁'.

Рис. 3-45

5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости S ', проходящей через точку встречи левой очерковой образующей конуса с перпендикуляром, проведённым из точки пересечения оси конуса с плоскостью экватора сферы (рис. 3-46). Построения проводим так, как описано в п.3.

Рис. 3-46

6. Конечный результат построений с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей приведен на рис. 3-47. Как мы и предполагали на основе анализа в п.1, линия пересечения m одна, симметрична относительно плоскости фронтального меридиана W, симметричные ветви её на П₂ слились в одну видимую линию.

Рис. 3-47

Алгоритмическая запись решения:

Ф Ç D = m. 2ГПЗ, 3 алгоритм .

1. Точки М и Р Î W Þ М₂; Р₂ Þ М₁; Р₁.

2. S - плоскость-посредник; S || П₁,

3. S Ç Ф = а Þ а₁; S Ç D = b Þ b₁; b₁ Ç a₁ = K₁; K₁' Þ K₂; K₂'.

4. Аналогично строим остальные точки: m₁ Þ m₂.

5. Видимость m относительно П₁: точки А, А' Î с.

Вывод: Решение 2ГПЗ в случае пересечения непроецирующих фигур проводят по единому - третьему алгоритму и осуществляют с помощью плоскостей-посредников, которых берётся такое количество, чтобы линия пересечения выявилась полностью.