Решение частично целочисленной задачи
Максимизировать целевую функцию вида:
При ограничениях:
; - целoе.
a) Метод Гомори для частично целочисленных задач.
Решаем исходную задачу линейного программирования. Ее решение приведено в пункте 1.3. Последняя симплексная таблица имеет вид:
Таблица 2.2.1 | |||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
x5 | -5 | -2 | |||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | ||||||
x2 | 7/4 | -2 | 1/4 | -1 | 1/2 | ||||
x3 | 5/4 | -1 | -1/4 | 1/2 | |||||
Y | -16 |
Значения целевой функции и переменных:
Значение переменной не удовлетворяет требованиям целочисленности.
В соответствии с правилами формирования коэффициентов ограничений метода Гомери для частично целочисленных задач имеем:
Вводим дополнительную свободную переменную:
Выражаем новое ограничение в форме Куна-Таккера:
Решаем новую расширенную задачу линейного программирования:
Таблица 2.2.2 | ||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 |
x5 | -5 | -2 | ||||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | |||||||
x2 | 7/4 | -2 | 1/4 | -1 | 1/2 | |||||
x3 | 5/4 | -1 | -1/4 | 1/2 | ||||||
x9 | -1/2 | -1 | -1/2 | |||||||
Y | -16 |
Таблица 2.2.3 | ||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 |
x5 | -5 | -2 | ||||||||
x1 | -1 | |||||||||
x2 | 3/2 | -5/2 | -1 | 1/2 | ½ | |||||
x3 | 3/2 | -1/2 | 1/2 | -1/2 | ||||||
x6 | -2 | |||||||||
Y | -17 |
Полученное оптимальное решение удовлетворяет поставленным ограничением и требованию целочисленности переменной .
Ответ: .
б) Метод ветвей и границ.
Проанализировав ограничения определим границы следующим образом:
Т.к. о целевой функции ничего не известно, примем .
Решаем Задачу 1 – исходную задачу линейного программирования. Ее решение приведено в пункте 1.3. Последняя симплексная таблица имеет вид:
Таблица 2.2.4 | |||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
x5 | -5 | -2 | |||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | ||||||
x2 | 7/4 | -2 | 1/4 | -1 | 1/2 | ||||
x3 | 5/4 | -1 | -1/4 | 1/2 | |||||
Y | -16 |
Значения целевой функции и переменных:
Принимаем
Полученное решение не удовлетворяет требованиям целочисленности для переменной .
Поэтому составляем относительно первой задачи две новых порожденных задачи:
Задача 2.
Максимизировать целевую функцию вида:
При ограничениях:
;
- новое ограничение.
Преобразуем новую систему ограничений Задачи 2, введя свободные переменные и приведя их к форме Куна-Таккера:
Воспользуемся симплекс методом и решим Задачу 2.
Таблица 2.2.5 | ||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 |
x5 | -3 | -1 | -2 | |||||||
x6 | -9 | -2 | ||||||||
x7 | -5 | -1 | -1 | |||||||
x8 | -2 | -1 | -1 | |||||||
x9 | ||||||||||
Y | -3 |
Таблица 2.2.6 | ||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 |
x5 | 3/2 | -2 | -1 | -1/2 | ||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | |||||||
x7 | -1/2 | -1 | -1/2 | |||||||
x8 | 5/2 | -2 | -1/2 | |||||||
x9 | -1/2 | 1/2 | ||||||||
Y | -18 | -3 |
Таблица 2.2.6 | ||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 |
x5 | 5/2 | -2 | -3 | 1/2 | -2 | |||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | |||||||
x2 | ½ | -1 | -1 | 1/2 | -1 | |||||
x8 | 5/2 | -2 | -1/2 | |||||||
x9 | -1/2 | 1/2 | ||||||||
Y | -37/2 | -2 | 3/2 |
Допустимого решения Задачи 2 не существует.
Поэтому примем
Выбираем и решаем Задачу 3.
Максимизировать целевую функцию вида:
При ограничениях:
;
- новое ограничение.
Преобразуем новую систему ограничений Задачи 3, введя свободные переменные и приведя их к форме Куна-Таккера:
Воспользуемся симплекс методом и решим Задачу 2.
Таблица 2.2.7 | |||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
x5 | -3 | -1 | -2 | ||||||||
x6 | -9 | -2 | |||||||||
x7 | -5 | -1 | -1 | ||||||||
x8 | -2 | -1 | -1 | ||||||||
x9 | -5 | -1 | |||||||||
x10 | |||||||||||
Y | -3 |
Таблица 2.2.8 | |||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
x5 | 3/2 | -2 | -1 | -1/2 | |||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | ||||||||
x7 | -1/2 | -1 | -1/2 | ||||||||
x8 | 5/2 | -2 | -1/2 | ||||||||
x9 | -1/2 | -1 | -1/2 | ||||||||
x10 | 3/2 | 1/2 | |||||||||
Y | -18 | -3 |
Таблица 2.2.8 | |||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
x5 | 5/2 | -2 | -3 | 1/2 | -2 | ||||||
x1 | 9/2 | -1 | -1/2 | ||||||||
x2 | 1/2 | -1 | -1 | 1/2 | -1 | ||||||
x8 | 5/2 | -2 | -1/2 | ||||||||
x9 | -1/2 | -1 | -1/2 | ||||||||
x10 | 3/2 | 1/2 | |||||||||
Y | -37/2 | -2 | 3/2 |
Таблица 2.2.9 | |||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
x5 | -2 | -4 | -2 | ||||||||
x1 | -1 | ||||||||||
x2 | -1 | -2 | -1 | ||||||||
x8 | -1 | -1 | |||||||||
x6 | -2 | ||||||||||
x10 | |||||||||||
Y | -20 | -2 |
Таблица 2.2.10 | |||||||||||
БП | СЧ | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
x5 | -5 | -2 | |||||||||
x1 | -1 | ||||||||||
x2 | 3/2 | -5/2 | -1 | 1/2 | 1/2 | ||||||
x3 | 3/2 | -1/2 | 1/2 | -1/2 | |||||||
x6 | -2 | ||||||||||
x10 | |||||||||||
Y | -17 |
Полученное оптимальное решение удовлетворяет поставленным ограничением и требованию целочисленности переменной . Поэтому принимаем
Т.к. список задач, подлежащих решению пуст, то можно сделать вывод о том, что решение задачи целочисленного программирования завершено.
Ответ:
Рис 2.2.1 Блок схема решения.
На основе полученных результатов решения задачи методом Гомори и методом ветвей и границ, можно сделать вывод о том, метод Гомори менее трудоемок. Однако, стоит учесть простоту решаемой задачи, в которой требование целочисленности наложено всего на одну переменную из трех. Метод Гомори в данном случае позволяет получить оптимальное решение с использованием всего одного уравнения отсекающей плоскости и решением одной расширенной задачи. Используя метод ветвей и границ, приходится решать уже две порожденных задачи, т.е. использование этого метода в данном случае менее эффективно. Таким образом можно сделать вывод о том, что метод ветвей и границ вообще мало эффективен для решения простых задач, где не требуется получение всех локальных оптимумов. В таких случаях разумнее воспользоваться методом Гомори для частично целочисленных задач.