Исследование N – канальной СМО с ожиданием
Цель работы: изучить систему массового обслуживания с ожиданием и ее характеристики.
Краткие теоретические сведения
СМО с N-каналами обслуживает простейший поток требований. При занятости всех n узлов обслуживания поступившее требование ставится в очередь и обслуживается после некоторого ожидания. Общее число требований, находящихся в системе на обслуживании и в очереди, обозначим и назовем состоянием системы. При
величина k характеризует число занятых каналов в системе, при
число занятых каналов равно
, а разность
определяет длину очереди. Параметр интенсивности обслуживания потока v определяется числом занятых узлов, и в первом случае
зависит от состояния системы k, а во втором
имеет постоянное значение v.
Введем понятие загрузки системы r равное отношению интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания:
.
Отметим, что при интенсивности поступающей нагрузки r, равной или больше числа узлов обслуживания системы N, с вероятностью равной 1 постоянно будут заняты все узлы обслуживания и длина очереди будет бесконечной – явление «взрыва». Поэтому, чтобы система могла функционировать нормально и очередь не росла безгранично, необходимо выполнить условие .
Вероятность того, что система в установившемся режиме находится в состоянии k (Pk) определяем по формуле (второе распределение Эрланга)
, (22)
где .
К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят следующие.
Вероятность наличия очереди Pоч есть вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов:
.
Вероятность занятости всех узлов системы Pзан
.
Среднее число требований в системе МТР
.
Средняя длина очереди Mоч
.
Среднее число свободных узлов Мсв
.
Среднее число занятых узлов Мзан
.
Среднее время ожидания начала обслуживания Тож для требования, поступившего в систему
.
Общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в систему за единицу времени, Тоож
.
Среднее время Ттр, которое требование проводит в системе обслуживания
.
Суммарное время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени, Тстр
.
Порядок выполнения работы
2.1. Построить график вероятности состояний Pk от k для N-канальной СМО с ожиданием, если на вход поступает простейший поток требований с интенсивностью и обслуживание требований производится с интенсивностью
, где Nп – номер по списку, m – номер группы, N - число каналов обслуживания. Число каналов обслуживания определяется из таблицы 1.
Таблица 1
Nn | 1,5,9,13,17,21 | 2,6,10,14,18,22 | 3,7,11,15,19,23 | 4,8,12,16,20,24 |
N |
НАПРИМЕР. Для СМО с ожиданием график распределения Pk, построенный в системе MathCad, показан на рис.2.
Рис. 1. График вероятностей Pk
2.2. Определить характеристики качества обслуживания.
1. Вероятность наличия очереди Pk.
2. Вероятность занятости всех узлов системы Pзан.
3. Среднее число требований в системе МТР.
4. Среднюю длину очереди Mоч.
5. Среднее число свободных узлов Мсв.
6. Среднее число занятых узлов Мзан.
7. Среднее время ожидания Тож.
8. Общее время пребывания требований в очереди за единицу времени Тоож.
9. Среднее время пребывания требований в системе Ттр.
10. Суммарное время, которое проводят все требования в системе за единицу времени, Тстр.
2.3. Вывод.
3. Контрольные вопросы
1. Что такое явление «взрыва» в СМО с ожиданием?
2. Определить вероятность любого состояния системы с ожиданием.
3. Дать понятие состояния СМО с ожиданием.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6