Корреляционный анализ дискретных сигналов
Корреляционный анализ может быть применен для проверки наличия полезного сигнала на фоне присутствующих шумов и помех, а также для проверки эффективности работы цифровых фильтров. В первом случае рассчитывается нормированная корреляционная функция между фрагментом полезного сигнала и числовым рядом дискретизированного входного зашумленного сигнала. По графику корреляционной функции визуально обнаруживают присутствие искомого сигнала в зашумленном входном сигнале.
Во втором случае, с целью проверки эффективности фильтрации, сначала рассчитывается корреляционная функция полезного эталонного сигнала, представленного числовым рядом, и отфильтрованного сигнала. После чего путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции получают коррелограмму. На полученном графике строят линию критического уровня с учетом ошибки фильтрации с использованием критерия Стьюдента. Эффективность фильтрации определяют визуально: выше критического уровня должны находиться только составляющие спектральной плотности полезного сигнала.
Для большей наглядности и объективности рассчитывается выборочный коэффициент корреляции между числовыми рядами эталонного (исходного полезного) и отфильтрованного сигналов. Коэффициент корреляции может принимать значения в интервале –1…1. Отрицательные значения говорят о том, что эталонный и отфильтрованный сигналы коррелируют в противофазе, т.е. при инверсии отфильтрованного сигнала. В случае если цифровой фильтр обладает хорошей эффективностью фильтрации от помех и шумов, коэффициент корреляции принимает значения, близкие к 1 или –1. Качество разных цифровых фильтров применительно к конкретному сигналу может быть определено путем сравнения рассчитанных коэффициентов корреляции.
Расчет корреляционной функции дискретных сигналов производится следующим образом. Для дискретных сигналов Х(i) и Y(i), i = 1…N выбирается фрагмент массива Y(i), i = 1…N/2 и рассчитывается корреляционная функция
,
где 
– величина сдвига в дискретах.
Коррелограмму или спектр корреляционной функции получают путем применения прямого дискретного преобразования Фурье к корреляционной функции:
- действительная часть спектра
;
- мнимая часть спектра
;
- модуль спектральной плотности корреляционной функции
Частоты, соответствующие значениям спектра 
,
,
где 
– период дискретизации входного сигнала.
Расчет коэффициента корреляции между дискретными сигналами (числовыми рядами) Х(i) и Y(i), i = 1…N производится следующим образом.
Средние значения (математические ожидания) для числовых рядов Х(i) и Y(i):
; 
.
Дисперсии
; 
.
Второй смешанный центральный момент
.
Выборочный коэффициент корреляции
.