Основы спектрального анализа дискретных сигналов

Спектральный анализ дискретных сигналов предназначен для исследования частотного состава сложного сигнала при условии, что такой сигнал может считаться периодическим и может быть представлен в виде суммы гармонических сигналов. Исходный для спектрального анализа сигнал должен быть получен в виде числового ряда, содержащего количество чисел , где – целое число. Такой числовой ряд получают на выходе аналого-цифрового преобразователя, который с постоянной частотой дискретизации преобразует амплитудное значение входного сигнала в двоичный цифровой код. Частота дискретизации , согласно теореме Котельникова, должна быть минимум в два раза больше, чем максимальная частота спектра аналогового сигнала, подлежащего оцифровке: .

Длина числового ряда данных – объем выборки , используемая для получения спектра частот исходного сигнала, определяет предельное число спектральных линий, получаемых при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье. Максимальное число спектральных линий . Возможно выбрать , где – целое число, . Так, например, если длина выборки , то максимальное число спектральных линий .

Число дискретов (объем выборки ) вместе с периодом дискретизации сигнала определяет частотное разрешение спектра. Частотное разрешение спектра показывает расстояние (в герцах) между двумя соседними спектральными линиями. Например, при Гц получим период дискретизации с. Частота -й спектральной линии

, .

Частотное разрешение спектра сигнала

Гц.

Таким образом, если требуется улучшить частотное разрешение спектра при неизменной частоте дискретизации входного сигнала , необходимо увеличить объем выборки .

По графику полученного при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье частотного спектра исследуемого сигнала можно визуально определить наличие частотных составляющих периодических помех и «белого шума». Далее путем анализа спектральной плотности помех можно выбрать цифровой фильтр с необходимой передаточной функцией для выделения на фоне шумов и помех полезного сигнала с минимальными его искажениями.

Алгоритм прямого дискретного преобразования Фурье числового ряда Х(j), j = 1…N:

- действительная часть спектра

;

- мнимая часть спектра

;

- модуль спектральной плотности

.

Частоты, соответствующие значениям спектра ,

.

После получения спектрограммы (графика зависимости спектральной плотности от частоты) проводится расчет критического уровня, выше которого спектральная плотность значима. Например, для размера выборки и величины ошибки (достоверность ) порог обнаружения сигнала по критерию Стьюдента составляет . Для числового ряда Х(j), j = 1…N рассчитывается дисперсия (при нулевом математическом ожидании):

.

Критический уровень

.

Алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье:

,

где соответствующие значениям Y(i) моменты времени , а частоты

.