Число сочетаний с повторениями

Число r-сочетаний с повторениями из n-множества равно

.

– доказательство с помощью рекуррентной формулы.

Метод базируется на получении формулы, позволяющей вычислять значения искомой величины шаг за шагом, исходя из известных начальных значений и значений, вычисленных на предыдущих шагах.

Рекуррентная формула r-го порядка – формула вида

a_n= f(n, a_n-1, a_n-2, … , a_n-r).

Формула выражает при n>r каждый член последовательности {a_i} через предыдущие r членов. Построение рекуррентной формулы состоит из следующих шагов.

1. Выработка начальных условий исходя из каких-либо очевидных соотношений.

Обозначим через f(n,r). Очевидно, что

(1)

2. Логические рассуждения. Зафиксируем какой-либо элемент во множестве S. Тогда относительно любого r-сочетания с повторениями из n-множества S можно сказать, содержит ли оно данный зафиксированный элемент или нет.

Если содержит, то остальные (r-1) элемент можно выбрать f(n, r-1) способами.

Если не содержит (в выборке этого элемента нет), то r-сочетание составлено из элементов (n-1)-множества (множество S за исключением данного зафиксированного элемента). Число таких сочетаний f(n-1, r).

Т.к. эти случаи взаимоисключающие, то по правилу суммы

(2)

3. Проверка формулы на некоторых значениях и вывод общей закономерности.

1) Вычислим f(n,0). Из (2) следует

. (3)

Тогда f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). Из (1) f(n,1)=n, f(n-1,1)=n-1.

Следовательно, f(n,0)=n-(n-1)=1= .

2) f(n,1)= f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n-1 = n = = .

3) f(n,2)= f(n,1)+f(n-1,2) = n+f(n-1,1)+f(n-2,2) = n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 = .

(сумма арифметической прогрессии)

4) f(n,3) = f(n,2)+f(n-1,3) = +f(n-1,2)+f(n-2,3) = + +f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

.

(сумма геометрической прогрессии)

5) f(n,4) =

На основе частных случаев можно предположить, что

Проверка начальных условий с помощью полученной формулы.

,

что согласуется с (1) #

19, 20) Число бинарных деревьев с n вершинами равно C(n), где C(n) – это n-ое число Каталана.

Количество бинарных деревьев из n вершин называется числом Каталана, которое обладает множеством интересных свойств. N-ое число Каталана считается по формуле (2n)! / (n+1)!n!, которая растёт экспоненциально. (В Википедии предложено несколько доказательств, что это форма числа Каталана.) Число бинарных деревьев данного размера

0 1
1 1
2 2
4 14
8 1430
12 208012
16 35357670

Подстановка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Это статья о подстановке как о синтаксической операции над термами. Возможно, вас интересует перестановка.

В математике и компьютерных наукахподстановка — это операция синтаксической замены подтермов данного терма другими термами, согласно определённым правилам. Обычно речь идёт о подстановке терма вместо переменной.

Содержание 1 Определения и обозначения 2 Подстановка переменной в λ-исчислении 3 Подстановка переменной в программировании 4 См. также 5 Ссылки

Определения и обозначения

Для подстановки не существует универсальной, согласованной нотации, равно как и стандартного определения. Понятие подстановки варьируется не только в рамках разделов, но и на уровне отдельных публикаций. В целом, можно выделить контекстную подстановку и подстановку «вместо». В первом случае место в терме, где происходит замена, задаётся контекстом, то есть частью терма, «окружающим» это место. В частности, такое понятие подстановки используется в переписывании. Второй вариант более распространён. В этом случае подстановка обычно задаётся некоторой функцией из множества переменных в множество термов. Для обозначения действия подстановки, как правило, используют постфиксную нотацию. Например, означает результат действия подстановки на терм .

В подавляющем большинстве случаев требуется чтобы подстановка имела конечный носитель, то есть, чтобы множество было конечным. В таком случае её можно задать простым перечислением пар «переменная-значение». Поскольку каждую такую подстановку можно свести к последовательности подстановок, замещающих всего по одной переменной каждая, не ограничивая общности можно считать, что подстановка задаётся одной парой «переменная-значение», что обычно и делается.

Последнее определение подстановки является, видимо, самым типичным и часто используемым. Однако и для него не существует единой общепринятой нотации. Наиболее часто для обозначения подстановки a вместо x в t используется запись t[a/x], t[x:=a] или t[x←a].

Подстановка переменной в λ-исчислении

В λ-исчислении, подстановка определяется структурной индукцией. Для произвольных объектов , и произвольной переменной результат замещения произвольного свободного вхождения в считается подстановкой и определяется индукцией по построению :

(i) базис: : объект совпадает с переменной . Тогда ;

(ii) базис: : объект совпадает с константой . Тогда для произвольных атомарных ;

(iii) шаг: : объект неатомарный и имеет вид аппликации . Тогда ;

(iv) шаг: : объект неатомарный и является -абстракцией . Тогда [ ;

(v) шаг: : объект неатомарный и является -абстракцией , причем . Тогда:

для и или ;

для и и .